2025届高三数学一轮总复习 第九章 第三讲 二项式定理配套课件

第三讲二项式定理2025年高考一轮总复习第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布1.二项式定理2.二项式系数的性质【名师点睛】二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.

(4)(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但两个展开式的通项不同.

(5)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指

它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且与a，b的值有关.考点一二项展开式中的特定项或系数A.－40B.40C.－80D.80令5－2r＝1，可得r＝2.即含x的项为第3项，∴T3＝80x，故x的系数为80.故选D.答案：D为无理数的项数为()A.2B.3C.4D.5答案：B3.(2023年长春市校级模拟)已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为__________.答案：－84【题后反思】与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r的值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r的值，最后求出其参数.的展开式中，各项系数和与二项式系数和考点二二项式系数的和与各项的系数和问题[例1](1)在之比为64∶1，则x3

的系数为()A.15B.45C.135D.405答案：C(2)若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝()A.1B.513C.512D.511

解析：令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.

答案：D【题后反思】求解系数和问题常用的“赋值法”

赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法.求解有关系数和问题的关键点如下： (1)赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有－1，0，1等.(2)求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值.(3)求值，根据题意，得出指定项的系数和.【变式训练】1.(2023年重庆市校级月考)若(x－1)(1＋2x)7＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)2＋…＋b8(x＋1)8，则b0＋b2＋b4＋b6＋b8＝(

)解析：令x＝0，得b0＋b1＋…＋b8＝－1.令x＝－2，得b0－b1＋b2－b3…＋b8＝38.两式相加，得2(b0＋b2＋b4＋b6＋b8)＝38－1，答案：B

2.(一题两空)(2023年北京市校级期末)已知(1＋2x)n的展开式的二顶式系数之和为32，则n＝________；各项系数之和为________(用数字作答).解析：(1＋2x)n

的展开式的二顶式系数之和为32，所以2n＝32，则n＝5.令x＝1，(1＋2)5＝35＝243.答案：5243

考点三二项式系数的性质考向1二项式系数的最值问题项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为()A.第4项C.第6项

B.第5项D.第7项故展开式中二项式系数最大的项为第6项.答案：C考向2项的系数的最值问题答案：－8064－15360x4

(2)二项展开式系数最大项的求法：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系【考法全练】1.(考向1)在(a＋b)n

的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝()A.4B.5C.6D.7

解析：在(a＋b)n

的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式共有7项，∴n＝6.故选C.

答案：C答案：4240x-8y2⊙几个多项式的展开式问题为()A.5B.10C.15D.20答案：C[例5](2x2－3x＋a)5

的展开式的各项系数之和为1，则该展开)式中含x7

项的系数是( A.－600 C.－1080B.－840 D.－2040解析：因为(2x2－3x＋a)5

的展开式的各项系数之和为1，令x＝1，得(－1＋a)5＝1，解得a＝2. 所以该展开式中含x7

项的系数是－2040.答案：D【反思感悟】(1)求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路①若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解；②观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(2)求解三项式问题的思路

①对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或因式分解，转化成二项式定理的形式去求解；或看成几个因式的乘积，再利用组合数公式求解.

②求三项式展开式的项时，可看作是把次数“分配”给不同的项.如(a＋b＋c)10的展开式