数学同步练习：正弦定理和余弦定理余弦定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1.2余弦定理1．若三角形的三条边长分别为4,5，7,则这个三角形是（)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．钝角或锐角三角形2．在△ABC中，（a＋b－c)（a＋b＋c)＝ab，则∠C为（）A．60°B．90°C．120°D．150°3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是__________．4．在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则∠B的大小为__________．答案：1．C设长为7的边对应的角为α，则由余弦定理得72＝42＋52－2×4×5cosα，∴cosα＝－eq\f(1,5)〈0.∴角α为钝角．2．C由已知，得（a＋b）2－c2＝ab,∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC.∴cosC＝－eq\f（1，2).∵∠C∈(0，π），∴∠C＝120°.3．锐角三角形设三边为a,b，c，其中c为斜边，各边增加的长度为x，则三角形的最大内角的余弦cosC＝eq\f(（a＋x）2＋(b＋x）2－（c＋x）2，2（a＋x)（b＋x)）＝eq\f（2（a＋b－c)x＋x2,2（a＋x）（c＋x））〉0，∴∠C为锐角．∴新三角形为锐角三角形．4.eq\f(π,3)由sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，得a∶b∶c＝5∶7∶8.设a＝5k，b＝7k,c＝8k，由余弦定理可得∠B＝eq\f(π，3).课堂巩固1．在△ABC中,若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2〈b2＋c2，则∠A的取值范围是（）A．（eq\f（π,2),π)B．(eq\f(π,4),eq\f（π，2))C．（eq\f（π,3)，eq\f（π,2)）D．(0,eq\f（π,2））3．在△ABC中，有一个内角为60°,它的对边长为7，面积为10eq\r(3），则另两边长分别为________．4．在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是__________．5．在△ABC中，已知∠A>∠B>∠C,且∠A＝2∠C,b＝4，a＋c＝8,求a,c的长．6．（2009全国高考卷Ⅰ,理17）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b。答案:1．C由正弦定理和余弦定理得2·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)·a＝c，整理，得a2－b2＝0，即a＝b。∴△ABC为等腰三角形．2．C∵a是最大边，∴∠A〉eq\f（π,3）。又a2〈b2＋c2，由余弦定理，得cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc)>0，∴∠A<eq\f（π,2).∴eq\f(π,3)<∠A<eq\f(π，2）.3．8和5设两边长分别为a、b，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(a2＋b2－72,2ab)＝\f（1,2)，,\f（1,2）absin60°＝10\r（3)。））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝8,，b＝5））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝5，,b＝8。）)4．等边三角形由余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2，2ac)和∠B＝60°,得a2＋c2－b2＝ac.又b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即（a－c)2＝0。∴a＝c.又∠B＝60°，∴三角形为等边三角形．5．解:由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC).∵∠A＝2∠C，∴eq\f（a，sin2C）＝eq\f（c,sinC)。∴a＝2ccosC。又a＋c＝8，∴cosC＝eq\f（8－c，2c)。①又由余弦定理及a＋c＝8,得cosC＝eq\f（a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f（a2＋42－c2，8a)＝eq\f((8－c）2＋42－c2，8（8－c))＝eq\f（10－2c,8－c)。②由①②，知eq\f(8－c,2c)＝eq\f（10－2c，8－c），整理得5c2－36c＋64＝0.∴c＝eq\f(16,5）或c＝4。∵∠A＞∠B＞∠C，∴a＞b＞c.∴c≠4。∴a＝8－c＝eq\f（24，5)。故a＝eq\f（24，5），c＝eq\f(16，5).6．解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0,所以b＝2ccosA＋2。①又sinAcosC＝3cosAsinC,sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC.sin（A＋C)＝4cosAsinC,sinB＝4sinCcosA.由正弦定理得sinB＝eq\f(b,c）sinC.故b＝4ccosA。②由①②解得b＝4。1．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量p＝（a＋c，b），q＝(b－a，c－a），若p∥q，则角C的大小为(）A.eq\f(π,3）B。eq\f（π,6)C。eq\f(2π,3)D。eq\f（5π,6）1．答案：A由p∥q可得（a＋c）(c－a）－b（b－a）＝0,即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab）＝eq\f(1,2).又0〈∠C〈π，∴∠C＝eq\f（π，3)。2．在△ABC中，∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则eq\f(sinB,sinC）的值为(）A。eq\f(8，5)B。eq\f（5,8)C。eq\f(5，3）D。eq\f（3，5）2．答案：D由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA得49＝25＋AC2－2×5·AC·cos120°,解得AC＝3，由正弦定理得eq\f（sinB，sinC）＝eq\f（AC，AB)＝eq\f（3,5)。3．在△ABC中，∠A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为(）A．2B．3C．4D．53．答案：C设△ABC的最大边长和最小边长分别为a，b，第三边长为c.∵a，b是方程x2－7x＋11＝0的两根,∴a＋b＝7，ab＝11.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos60°＝a2＋b2－ab＝(a＋b）2－3ab＝72－3×11＝16,∴c＝4.4．(江南十校联考)已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(eq\r（2）a－b)sinB(其中a、b分别是∠A、∠B的对边)，那么∠C的大小为(）A．30°B．45°C．60°D．90°4．答案：B根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b，sinB）＝eq\f（c,sinC）＝2R，得sinA＝eq\f（a,2R），sinB＝eq\f（b，2R)，sinC＝eq\f(c,2R），代入已知式，得2R［eq\f(a2,(2R)2）－eq\f(c2，（2R)2）]＝（eq\r(2)a－b)·eq\f(b，2R）,化简，得a2＋b2－c2＝eq\r（2）ab，即eq\f（a2＋b2－c2,ab)＝eq\r（2)。由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab)＝eq\f（\r（2）,2），∴∠C＝45°。5．已知钝角三角形ABC三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，则k的取值范围为__________．5．答案:2<k<6∵c〉b〉a，∴角C为钝角．∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab）〈0，即a2＋b2－c2〈0。整理，得k2－4k－12〈0，即－2〈k〈6。又k＋（k＋2)〉k＋4，∴k〉2。∴2〈k〈6.6．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2,b＝100，则a＝__________。6．答案:60eq\r（5)∵tanB＝1，∴sinB＝eq\f(\r(2）,2）.∵tanC＝2,∴sinC＝eq\f（2\r（5),5）。由正弦定理eq\f(c,sinC）＝eq\f(b,sinB）,得c＝eq\f（100，\f(\r(2）,2）)·eq\f(2\r(5),5)＝40eq\r(10），又cosA＝－cos（B＋C)＝－cosBcosC＋sinBsinC＝eq\f(\r（10）,10)，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝18000，∴a＝60eq\r（5).7．在△ABC中，a＋b＝10，cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根,则△ABC周长的最小值为__________．7．答案：10＋5eq\r(3）∵cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，解得x＝－eq\f（1，2)或2,∴cosC＝－eq\f（1,2）.又c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝100－ab＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，∴当a＝5时，c最小为5eq\r（3).∴△ABC周长的最小值为10＋5eq\r(3）.8。(2009浙江高考，文18)在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，且满足coseq\f(A,2)＝eq\f（2\r（5)，5)，Aeq\x\to（B）·Aeq\x\to(C)＝3。(1）求△ABC的面积；（2）若c＝1,求a的值．8．答案:解：(1）因为coseq\f(A，2)＝eq\f(2\r(5），5)，所以cosA＝2cos2eq\f(A,2）－1＝eq\f（3，5)，sinA＝eq\f(4，5）。又由A·A＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝eq\f(1，2)bcsinA＝2.(2）由（1)知,bc＝5，又c＝1，所以b＝5。由余弦定理,得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝2eq\r(5).9．已知△ABC的周长为eq\r(2)＋1，且sinA＋sinB＝eq\r（2）sinC.（1）求边AB的长；(2）若△ABC的面积为eq\f(1，6)sinC，求角C的度数．9。答案：解:（1）由题意及正弦定理,得AB＋BC＋AC＝eq\r(2）＋1，BC＋AC＝eq\r（2）AB,两式相减，得AB＝1.(2）由△ABC的面积eq\f(1,2）BC·AC·sinC＝eq\f(1，6)sinC,得BC·AC＝eq\f(1,3)，由余弦定理,得cosC＝eq\f（AC2＋BC2－AB2，2AC·BC）＝eq\f(（AC＋BC）2－2AC·BC－AB2,2AC·BC）＝eq\f(1,2),所以∠C＝60°。10．（2009天津高考，文17)在△ABC中，BC＝eq\r(5），AC＝3，sinC＝2sinA.（1）求AB的值；（2)求sin(2A－eq\f（π，4)）的值．10．答案：解:(1）在△ABC中,根据正弦定理,eq\f（AB，sinC)＝eq\f（BC,sinA).于是AB＝eq\f（sinC