数学同步训练：二次函数的性质与图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2.2二次函数的性质与图象5分钟训练1.抛物线y=x2-2x+1的对称轴是(）A.直线x=1B。直线x=-1C。直线x=2D。直线x=—2答案：A解析一：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是y=，将已知抛物线中的a=1,b=—2代入,求得x=1.解析二：可将抛物线配方为y=a（x-h)2+k的形式,对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=（x-1）2，所以对称轴x=1。2。设集合A={x｜|x—2|≤2，x∈R},B={y｜y=—x2,-1≤x≤2｝,则(A∩B)等于（)A.RB.｛x|x∈R，x≠0｝C.{0}D.答案：B解析：A=［0，2］,B=［-4，0］，所以（A∩B)={x|x∈R,x≠0｝。3。函数y=ax2+bx+c的图象与函数y=3x2+2x—1的图象关于原点对称，则a=_____________，b=_____________,c=_____________。答案：-321解析：设点(x，y）在y=3x2+2x-1的图象上，那么点（—x，—y）在y=ax2+bx+c的图象上。所以-y=a（-x）2+b（—x）+c，即y=-ax2+bx—c。从而a=-3，b=2，c=1.4。下列四个函数中:A.y=x2-3x+2B.y=5-x2C。y=-x2+2xD。y=x2-4x+4(1）图象经过坐标原点的函数是_____________；（2）图象的顶点在x轴上的函数是_____________；(3)图象的顶点在y轴上的函数是_____________。答案：(1）C（2)D(3）B10分钟训练1。函数y=—ax+1与y=ax2在同一坐标系的图象大致是图中的(）答案：D解析:因为函数y=ax2一定经过坐标原点，所以先排除答案A、B。对a＞0、a＜0两种情况进行讨论、分析、验证.2.当a、b为实数，二次函数y=a(x-2）2+b有最小值-1时,则有（)A。a＜bB。a=bC.a＞bD。a与b的大小无法确定答案：C解析：二次函数有最小值—1，所以a＞0，b=—1。所以a＞b.3.已知函数f（x）=x2+2（a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是（）A。a≤-3B。a≥—3C。a≤5答案：A解析:二次函数的对称轴x=1-a在x=4的右侧,即1-a≥4.∴a≤-3.4.若0<x〈，则函数y=x（1—2x)的最大值为____________.答案：解析：y=-2（x)2+。∵∈（0，)，∴ymax=.5。已知二次函数f（x）满足f(2+x)=f(2-x)(x∈R),且f(x)在(2,+∞）上是减函数，则f(5）,f(-2）,f（3）的大小关系为____________.答案：解析：依题意,二次函数f（x）的对称轴是x=2，且在（-∞,2）上是增函数。∵f（5）=f（—1)，且，∴.6。某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次,如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次,每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢能载乘客110人。问这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少车厢才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.解：设每日来回y次,每次挂x节车厢,由题意,得y=kx+b。当x=4时y=16,当x=7时y=10，得下列方程组解得k=—2，b=24.∴y=—2x+24。由题意,知每日挂车厢最多时,营运人数最多，设每日营运S节车厢，则S=xy=x（—2x+24)=-2x2+24x=—2（x—6）2+72.所以当x=6时,Smax=72，此时y=12.则每日最多运营人数为110×6×12=7920(人）。30分钟训练1.（2006陕西高考,文2）函数f(x)=（x∈R)的值域是（）A。（0,1)B。(0,1］C。［0,1）D。［0，1]答案：B解析：函数f(x）=（x∈R)，∴1+x2≥1。∴原函数的值域是（0，1］。2.设b〉0，二次函数y=ax2+bx+a2—1的图象为下图之一,则a的值为（）A.1B。—1C。D。答案：B解析：∵b〉0,∴不是前两个图形,从后两个图形看〉0,∴a〈0.故应是第3个图形。∵过原点，∴a2-1=0.结合a<0.∴a=—1。3。若函数y=x2-3x-4的定义域为［0，m］,值域为[,—4],则m的取值范围是（)A。（0，4］B.［，4］C。［，3］D。[,+∞）答案：C解析：∵y=(x)2,∴当x=时,ymin=.∴m≥.令x2—3x-4=—4，得x=0或x=3.∴≤m≤3。4。（探究题)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,值为正数的有（）A.4个B。3个C.2个D。1个答案:B解析：∵二次函数的图象开口向上,∴a>0.又∵图象与x轴有两个交点,∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，即Δ=b2-4ac〉0。二次函数图象的对称轴在原点右侧、直线x=1的左侧,故0<<1，即—b〈2a，2a+b〉0。观察图象可知f（1)=a+b+c<0。5.如图,在同一直角坐标系中,二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A(-1，0）、点B(3，0)和点C(0,—3)，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点.（1）二次函数的解析式为______________。(2）当自变量______________时,两函数的函数值都随x增大而增大。(3）当自变量______________时，一次函数值大于二次函数值。（4）当自变量______________时,两函数的函数值的积小于0.答案：（1）y=x2-2x-3(2）x≥1(3)0〈x<3（4）x<—1解析：（1）设二次函数的解析式为y=a(x+1)（x—3）（a〉0)。∵图象过(0，—3），∴-3=a×1×(-3)，a=1.∴函数解析式为y=x2-2x-3。（2)函数的对称轴方程为x=1,当x≥1时,两函数的函数值都随x增大而增大.（3)当0<x〈3时，一次函数的图象在二次函数图象的上方.（4）当x〈-1时,两函数的函数值的积小于0.6.设函数f(x)=若f（-4）=f（0),f(-2）=—2，则f（x)的解析式为f(x)=_________.答案：解析:由题意,得∴f(x）=7.（创新题)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲:对称轴是直线x=4;乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3。请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：。______________________.答案：y=或y=或y=，或y=。解法一：设所求解析式为y=a（x-x1)(x-x2）,且设x1〈x2，则其图象与y轴两交点分别是A(x1，0)，B（x2，0），与y轴交点坐标是（0，ax1x2）。∵抛物线的对称轴是直线x=4，∴x2-4=4-x1，即x1+x2=8。①∵S△ABC=3,∴(x2-x1)·|ax1x2｜=3,即x2—x1=。②①②两式相加减,可得x2=.∵x1、x2是整数,ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数,共可取值为±1,±3。当ax1x2=±1时,x2=7，x1=1,a=±;当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±。因此,所求解析式为y=±(x—7)(x—1）或y=±（x-5）（x-3），即y=或y=或y=或y=。解法二:用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A（5，0)，B(3,0）。再由题设条件求出a，看c是否是整数。若是,则猜测得以验证，填上即可.8。已知二次函数的对称轴为x=,截x轴上的弦长为4,且过点（0,-1),求函数的解析式。解：∵二次函数的对称轴为x=,可设所求函数为f（x)=a(x+）2+b，又∵f（x)截x轴上的弦长为4,∴f（x)过点(+2，0）和（-2，0)，f(x)又过点(0，—1）.∴∴f(x)=（x+)2-2.9。心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分)之间满足函数关系：y=-0。1x2+2。6x+43(0<x<30）.y值越大,表示接受能力越强.（1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分时，学生的接受能力是什么?（3)第几分时,学生的接受能力最强?解：(1）y=-0.1x2+2。6x+43=—0.1（x—13）2+59。9，所以当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强;当13<x≤30时，学生的接受能力逐步下降.（2)当x=10时,y=-0.1×（10—13)2+59。9=59。第10分时，学生的接受能力为59。(3)当x=13时，y取得最大值。所以在第13分时,学生的接受能力最强.