2025届高三数学一轮总复习 第九章 第七讲 条件概率、二项分布与正态分布配套课件

第七讲条件概率、二项分布与正态分布2025年高考一轮总复习第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布1.条件概率2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立.3.全概率公式4.贝叶斯公式【名师点睛】5.独立重复试验与二项分布(1)伯努利实验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下特征：①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果相互独立.(2)二项分布6.正态分布(1)正态分布的定义及表示则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.(2)正态曲线：函数f(x)＝，x∈R.其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R).我们称函数f(x)的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(3)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交.②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称.④当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.⑤曲线与x轴之间的面积为1.⑥当σ一定时，曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图9-7-1(1)所示.

⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图9-7-1(2)所示.(1)(2)图9-7-1

考点一条件概率1.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝“两次的点数均为奇数”，B＝“两次的点数之和为4”，则P(B|A)＝()A.

112

1B. 4

2C. 9

2D. 3

解析：由题意知事件A包含的样本点为(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)共9个，在A发生的条件下，事件B包含的样本点为(1，3)，(3，1)共2个，所以答案：C＝0.6.故选D.2.(2023年吉安市校级开学)已知事件A，B满足P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(AB)＝0.42，则P(B|A)的值是()A.0.7B.0.42C.0.5D.0.6解析：由题意知，P(B|A)＝答案：D

3.报名足球俱乐部的有50人，报名乒乓球俱乐部的有60人，报名足球或乒乓球俱乐部的有70人.若已知某人报了足球俱乐部，则其报了乒乓球俱乐部的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1答案：A【题后反思】求条件概率的常用方法考点二全概率公式与贝叶斯公式考向1全概率公式

[例1]有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解：设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi

为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3.如图9­7­2，B1∪B2∪B3＝S，图9-7-2由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3).

P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.

考向2贝叶斯公式

[例2](2023年泰州市校级期中)医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果.根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%.专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则某人在单次检验的结果为阴性的前提下，是感染者的概率是()A.

2173B.

1173C.1%D.10%答案：A【题后反思】“化整为零”求多事件的全概率问题图9-7-3

(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.

【变式训练】

1.(考向1)(2023年合肥市校级期末)假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()

解析：设Ai表示从第i(i＝1，2)箱中取一个零件，B表示取出的零件是次品，则P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝P(A1)·P(B|A1)＋答案：C

2.(考向2)某学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次及格的概率为________.解析：设“该学生第i次及格”为事件Ai，i＝1，2.考点三独立重复试验与二项分布考向1相互独立事件的概率回答这道题正确”分别为事件A，B，C，则P(A)＝(1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率.解：(1)记“甲回答这道题正确”“乙回答这道题正确”“丙[例4]已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为

，某植物考向2独立重复试验研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的.(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；

(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率.解：(1)第一小组恰有两次失败的概率考向3二项分布

[例5]某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”卡和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是

.”问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只(1)求抽奖者获奖的概率；

(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值.【题后反思】(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定n和k的值，再准确利用公式求概率；

②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率.【考法全练】解析：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，答案：ACD

2.(考向2)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有

3.(考向3)(2022年汕头市一模)足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，例如第4轮结束时，双方进球数比为2∶0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是

.在一次赛前训亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.

(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中(需要分出胜负)相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，需进行“点球大战”决出胜负.设甲队每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.(2)记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A，

由题意可知，在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，则甲、乙两队进球数之比为3∶0或3∶1.“甲、乙两队进球数之比为3∶0”记为事件A1，“甲、乙两队进球数之比为3∶1”记为事件A2，则A＝A1＋A2，且A1与A2互斥，考点四正态分布

[例6](2023年惠州市模拟)某网络平台开展了一项有奖闯关活动，并根据难度对每一关进行赋分，竞猜活动共5关，规定：上一关通过则进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过则闯关失败，且各关能否通过相互独立.已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动.

(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给2500名参加者中得分前400名发放奖励， ①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，甲能否获得奖励？请说明理由；

②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.

附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解析：(1)设A＝“甲通过了第一关”，B＝“甲通过了第二关”.

(2)设此次闯关活动的分数记为X，X服从正态分布，故X～N(μ，σ2).0.16，μ＋σ＝261，

所以前400名参赛者的最低得分高于261.因为甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励.所以X≥μ＋3σ为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件.根据小概率事件的定义可以认为其发生的可能性较小，但却又发生了，故可认为乙所说大概率为假.【题后反思】正态分布下两类常见的概率计算

(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.

(2)注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定他们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个.【变式训练】

(2023年佛山市校级月考)在某次考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(100，100).已知参加本次考试的学生有1000人，则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有________人.[参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973]解析：学生的数学成绩X服从正态分布N(100，100)，所以μ＝100，σ＝10.3σ)]≈0.84，故本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生人数大约为1000×0.84＝840.答案：840

⊙二项分布与超几何分布模型识别问题(数据分析、数学建模)

教科书和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别.[例7]写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？

(1)X1

表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数； (2)X2

表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和； (3)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件数为X3； (4)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n