概率统计9-一维连续型随机变量的密度函数-教学设计

《概率统计II》教学设计一维连续性随机变量的密度函数PAGEPAGE1一维连续型随机变量的密度函数教学设计【教学题目】§2.3一维连续型随机变量的密度函数【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：理解并能熟练应用密度函数【教学思想】1、连续型随机变量的密度函数的引入，是微元分析法的进一步运用，蕴含了无限和有限、近似和准确、量变和质变等范畴的对立统一的辩证法教学思想。2、采用“类比”法，将连续型随机变量的概率与非均匀细杆的质量计算做类比，引入概率密度函数的概念；3、概率密度函数与分布函数体现了导函数与原函数之间的关系。4、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生求解连续型随机变量的密度函数和分布函数的目的，体现“授人以渔”。【教学分析】 1、本次课主要包括以下内容：（1）回顾高等数学的导数和积分公式。（2）密度函数的定义和性质。（3）密度函数和分布函数的求解。2、重难点分析：密度函数是连续型随机变量的标杆，已知连续型随机变量，关键就在于求其密度函数；已知一个变量的密度函数，就能明确该变量是连续型随机变量。密度函数的求解是重点。本节课的难点是分布函数的求解。含参变量的积分是学生学习的难点。【教学方法和策略】 黑板板书结合PPT演示，采用启发式、提问式教学，由表及里、层层递进、步步设问，利用实例引导学生主动思考，达到理解并掌握知识点的目的。【教学安排】前面，我们已经对离散型随机变量进行了研究。下面将要研究另一类十分重要而且常见的随机变量，它与离散型随机变量不同，试验结果不止取可列个值，如测量误差、分子运动速度、电灯泡的寿命等，相应的随机变量能取某区间内的一切值，这类随机变量无法像离散型随机变量那样，列出所有可能取值对应的概率、写出分布律。我们只能去关心这样的随机变量X落在某个区间[a,b]内的概率P{a≤X≤b}。这种类型的随机变量就是我们要研究的连续型随机变量。教学引入（3分钟）通过PPT展示，引入密度函数P{a≤X≤b}该如何求呢？ 概率是对随机事件发生可能性的一种度量，它本质上与长度、质量等没有区别。给定一非均匀细杆，设该细杆的线密度为f(x)，则其质量即为f(x)在区间[a,b]上的定积分：类似地，如果能知道单位长度上的概率f(x)，那么X落在某个区间[a,b]内的概率也应该为：这种单位长度上的概率f(x)叫做概率密度。由上所述，对于一个连续型随机变量，若能找到一个与它相联的这样一个函数f(x)，那么X落于数轴上任意区间[a,b]上的概率就等于f(x)在这个区间上的积分。因此，这样一个函数f(x)完全刻画了连续型随机变量X的概率密度，而且显然f(x)是非负的。由此可以引入连续型随机变量的定义。教学内容（14分钟）：2、先在黑板板书连续型随机变量的定义和性质，再在PPT上给出几个注意点。首先在黑板上写出该定义。 定义设X是随机变量，F(x)是它的分布函数。如果存在某个非负函数f(x)，使对任意的实数，有（*）则称随机变量X为连续型随机变量，并称f(x)为随机变量X的密度函数。然后再在黑板上写出密度函数的性质，并在PPT上分析：性质（1）图图2-3随机变量落在区间[a,图图2-3随机变量落在区间[a,b]上的概率计算（3）按分布函数的性质，对于任意的（）有：该式的几何意义是：随机变量落在区间[a,b]上的概率，恰好等于在区间[a,b]上由曲线形成的曲边梯形的面积（如图所示）。而（2）式表明，曲线以下，轴以上的面积为1。（4）由分布函数的定义，在的可导点处，有3、通过对具体例子说明密度函数和分布函数的求解方法。例1设随机变量的密度函数为：，（1）求系数；（2）求；（3）求分布函数主要包括：（1）问题分析：问题（1）就是待定系数法的确定，可利用密度函数的性质；问题（2）、（3）就是求解随机变量落在某一区间上的概率，应对密度函数进行积分；（2）求解步骤：根据密度函数的性质，分步骤在黑板上写下求解过程：解：(1)由定义知函数作为随机变量的密度函数，必有，即，，有故(2)思考与讨论（2分钟）：在PPT上展现1、如果对令则有此式表明，连续型随机变量取在一指定值的概率为０。这里事件并不一定是不可能事件，但却有。这就是说，一方面若是不可能事件，则必有；另一方面，即使，但并不一定意味着是不可能事件。由于，因而在计算连续型随机变量落在某一区间内的概率时，可以不必区分该区间是开区间还是闭区间或是半闭区间，均有2、一个随机变量的密度函数不是唯一的。由定义，只要非负函数满足（*）式，那么它就是X的密度函数。例如，设随机变量X的一个密度函数为那么也是X的密度函数。因此，在写连续型随机变量的密度函数时，不用在意x的范围是“小于”还是“小于等于”之类的问题。内容小结(1分钟)：总结本节课的学习的知识要点：1、密度函数是连续性随机变量的标杆，已知连续性随机变量，关键就在于求其密度函数