数学同步训练：函数的零点

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.4函数与方程2.4。1函数的零点5分钟训练1。观察下面的四个函数图象，则在(-∞，0）内,函数y=fi(x）(i=1,2,3，4）有零点的是(）A。①B.①②C。①②③D.②④答案：B解析：在区间（-∞，0）内，函数f1(x）、f2(x）的图象与x轴有交点.2.函数y=2x2-4x-3的零点个数是(）A。0B。1C。2答案：C解析：∵Δ=（—4)2—4×2×(-3)=40〉0,∴方程2x2—4x-3=0有两个不相等的实根，即函数y=2x2—4x-3有2个零点.3。函数f（x)=x3—x2-x+1在［0，2］上()A.有三个零点B.有两个零点C。有一个零点D。没有零点答案:C解析：由于f(x）=x3-x2-x+1=（x-1)2(x+1)，令f（x)=0得x=±1,因此函数在［0,2］上有一个零点。4.若函数f(x）的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f（x)的零点所在的区间为______________。（只填序号)①(-∞，1］;②[1,2］；③［2，3］;④［3,4］；⑤［4,5］；⑥［5,6］；⑦［6，+∞)。x123456f(x）136.12315.542-3.93010.678-50。667—305.678答案：③④⑤10分钟训练1。已知函数f（x)=2ax+4，若在区间[-2，1]上存在x0,使f（x0）=0，则实数a的取值范围是（)A.（-∞，—2］∪[1，+∞）B.［-1，2］C。［—1,4］D。［—2,1]答案：A解析：f（-2）f（1）≤0(-4a+4)（2a+4）≤0a≤-2或a≥1.2.函数f（x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2，4］上的零点必定在内.（）A。[-2，1］B。［，4]C。［1，］D.［,］答案：D解析：由于f（—2）＜0，f（4)＞0,=f（1）＜0，＞0，＜0，∴零点介于［］内。故选D.3。函数y=—x2+8x—16在区间［3，5］上(）A.没有零点B.有一个零点C。有两个零点D。有无数个零点答案：B解析：函数y=-(x—4)2有一个二重零点4，故在区间［3,5］上有一个零点.4.若函数f(x）=ax+b有一个零点是2，那么函数g（x)=bx2-ax的零点是()A。0，2B.0，C。0,D。2,答案：C解析：∵2a+b=0,b=—2a，∴g（x)=-2ax2—ax=—a(2x2+x)=—ax(2x+1）。∴函数g(x）的零点是0，.5。已知y=x2+ax+3有一个零点为2,则a的值是_____________。答案：解析：由题意可知x=2是方程x2+ax+3=0的一个根，代入可得a=.6.判定方程（x—2）(x-5）=1有两个相异的实数解,且一个大于5，一个小于2。解：考虑函数f(x）=（x—2)（x—5）—1,有f（5）=（5-2）(5—5）-1=-1，f(2）=（2—2)(2-5）—1=-1。又因为f（x)的图象是开口向上的抛物线(如图),所以抛物线与横轴在（5，+∞）内有一个交点,在（—∞,2）内也有一个交点。所以方程(x—2)（x—5)=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.30分钟训练1.已知方程（m-1）x2+3x—1=0的两根都是正数，则m的取值范围是(）A。＜m＜1B.≤m＜1C。＜m≤1D。m≤或m＞1答案:B解析：利用方程根与系数的关系求解。2。已知f（x）=（x-a）（x-b）-2,并且α、β是方程f（x)=0的两根，则实数a、b、α、β的大小关系可能是（)A。α＜a＜b＜βB.a＜α＜β＜bC.a＜α＜b＜βD。α＜a＜β＜b答案：A解析：f（a）=—2，f（b)=-2,f（α)=f（β)=0，f（x）的开口向上,所以a、b在α、β之间.3。已知函数f（x）是定义在（-∞，0)∪（0,+∞）上的偶函数,在(0，+∞)上单调递减，且f（）>0〉f（—3)，则函数y=f(x）的零点的个数为（)A.0B.1C答案：C解析:由于函数是偶函数，且在（0,+∞）上单调递减，因此在（-∞，0)上递增。又因为f(）〉0〉f（）=f（),所以函数f(x）在(,)上与x轴有一个交点，必在（,）上也有一个交点，故函数y=f（x)的零点的个数为2.4。二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：x—3—2-101234y60-4-6—6—406则不等式ax2+bx+c＞0的解集是________________。答案：(—∞，—2)∪(3,+∞）解析：由于y=ax2+bx+c是二次函数，由图表联想到二次函数的有关性质，不难获得答案，函数的零点就是此函数的分水岭,所以找出函数的零点-2、3是解决本题的关键.5.（创新题）若函数f（x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g（x)=bx2—ax—1的零点是__________.答案：,解析:由题意可得a=2+3=5，b=-6.所以g(x)=—6x2—5x-1=-(2x+1）（3x+1），零点为,.6.奇函数f（x)的定义域为R,在（0，+∞)上,f(x)为增函数,若-3是f（x）的一个零点，则f(x）另外的零点是______________。答案：0,3解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0)=0.因为f(—3）=—f（3)=0,所以f（3）=0。所以f（x）另外的零点是0,3。7.已知m∈R时，函数f（x）=m（x2-1）+x-a恒有零点，则实数a的取值范围是______________。答案：-1≤a≤1解析：（1）当m=0时，f（x）=x-a=0，得x=a恒有解，此时x∈R。（2）当m≠0时，f（x)=0，即mx2+x—m—a=0恒有解，∴Δ1=1-4m（—m—a)≥0恒成立，即4m2∴Δ2=16a2—16≤0，解得—1≤a≤1。因此对m∈R，函数恒有零点，有—1≤a≤1。8.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(—2,0）内,另一个根在（1,3)内，求a的取值范围。解：设f(x)=3x2-5x+a，则f（x)为开口向上的抛物线(如图所示）.∵f（x）=0的两根分别在区间（-2,0)，(1,3）内,∴即解得-12〈a〈0.所求a的取值范围是—12<a<0。9.(探究题)试找出一个长度为1的区间,在这个区间上函数y=至少有一个零点。解:函数f（x）=的定义域为（—∞,）∪（,+∞）。取区间［，］。∵f（)=<0,f（）=〉0,∴在区间［，］内函数f（x）至少有一个零点.∴［，]就是符合条件的一个区间.10。求函数f(x）=x3-x的零点,并画出它的图象。解：因为x3—x=x(x2—1)=x(x-1)(x+1），令f(x)=0,即x(x