数学同步训练：等比数列的前N项和

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3.2等比数列的前n项和5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1。在等比数列{an｝中，Sn=65，n=4，q=,则a1=_____________。解析:Sn==65，即：a1=27。答案:272。等比数列｛an}中，a1=3，q=2,则S6=_____________.解析：S6==189。答案:1893.求和：x+x2+x3+…+xn=_____________.解析：当n=1时，Sn=n；当n=0时，Sn=0，当x≠1，0时,Sn=,当x=0时也满足。故x+x2+…xn=答案：n（x=1)或4.等比数列｛an｝的各项都是正数,若a1=81，a5=16,则它的前5项和是_____________。解析：设等比数列｛an｝的公比为q，a1=81,a5=16，得q=±,又等比数列的各项都是正数，则其公比q=，所以S5==211,即S5=211。或利用S5==211。答案：21110分钟训练（强化类训练,可用于课中)1。计算：1+3+3+…+的值是（)A。B.C。D。解析：此数列是以1为首项，为公比的等比数列，而=1×(）n-1=(）9,∴n=10，∴S10=.故选D.答案：D2。在等比数列｛an}中，a1=2,前n项和为Sn，若数列{an+1｝也是等比数列,则Sn等于（）A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n—1解析:因数列｛an}为等比数列，则an=2qn—1,因数列{an+1}也是等比数列,则（an+1+1）2=(an+1）（an+2+1)an+12+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+2=2an+1an（1+q2—2q）=0q=1.即an=2，所以Sn=2n.答案：C3.某人为了观看2008年奥运会,从2001年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元)为(）A.a(1+p)7B。a(1+p）8C.[（1+p)7—（1+p）]D。［(1+p）8—（1+p）］解析：2001年存入的a元到2008年所得的本息和为a(1+p）7，2002年存入的a元到2008年所得的本息和为a(1+p)6，依此类推，则2007年存入的a元到2008年的本息和为a（1+p）,每年所得的本息和构成一个以a（1+p）为首项，1+p为公比的等比数列，则到2008年取回的总额为a（1+p)+a（1+p)2+…+a（1+p）7=［（1+p)8-（1+p）］.答案:D4.数列｛an}中，an+1=，已知该数列既是等差数列又是等比数列，则该数列的前20项和S20=_______________。解析:设数列中的每一项为a,代入到已知等式中，得：a=，求出a=5，a=0(舍去）。S20=20×5=100。答案：1005。求等比数列1，2，4,…从第5项到第10项的和。解：由a1=1，a2=2得q=2，∴S4==1023.从第5项到第10项的和为S10—S4=1008。6。在等比数列｛an}中S3=4,S6=36，求an.解：∵，∴q≠1，∴S3==36,两式相除得1+q3=9,∴q=2。将q=2代入S3=4,得a1=，∴an=×2n-1=×2n+1。30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1。一条信息，若一人得知后用一天时间将信息传给2人，这2人每人又用一天时间传给未知此信息的另外2人,如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需时间大约是()A.3个月B。1个月C。10天D。20天解析:本题即为求等比数列1,2,22,23，…，2n-1,…的前n项和为100万时n为多少的问题。于是=106，∴2n=106+1，两边取对数得：nlg2=lg106，n=≈20。答案：D2。等比数列{an}中，已知a1=1，且共有偶数项，若其奇数项之和为85,偶数项之和为170，则公比q=__________,项数共有____________项.解析：设项数为2k（k∈N*)，则(a1+a3+a5+…+a2k-1）·q=a2+a4+a6+…+a2k。∴q==2。又∵a1=1,∴Sn=2n-1.又∵Sn=170+85=255,∴n=8。即共有8项.答案：283。设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q的值为____________.解析：Sn=,2Sn=Sn+1+Sn+2，则有2·=，∴q2+q—2=0，∴q=—2.答案：—24.有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数为____________。解析：要求底层点灯的盏数，所以设底层为a1盏,作为数列的首项.共381盏灯，列出前n项和。即：S7==381a1=192.答案：1925。已知数列｛an｝是等比数列，且a1+an=66，a2an-1=128，且前n项和Sn=126，求n及公比q。解:∵a1an=a2an—1=128，a1+an=66,∴a1、an可看作方程x2—66x+128=0的两根,解得x1=2，x2=64.∴a1=2,an=64或a1=64，an=2.若a1=2，an=64，显然q≠1,由=126，得2-64q=126—126q,∴q=2。由an=a1qn—1，得2n—1=32，∴n=6。若a1=64，an=2，同理可求得q=，n=6.综上述可知，n的值为6，公比q为2或.6。已知数列｛an｝的通项公式为an=n·an(a＞0且a≠1)，求Sn。解：Sn=a+2a2+3a3+…+n·an①①×a得：aSn=a2+2a3+…+（n—1)an+nan+1②①-②得：（1—a)Sn=a+a2+a3+…+an-n·an+1=。∴Sn=.7。设等比数列｛an}的前n项和为Sn，已知S4=1,S8=17，求｛an｝的通项公式。解：设｛an}的公比为q，由S4=1,S8=17知q≠1，所以得=1.①=17，②由①②式整理得=17，解得q4=16。所以q=2或q=-2.将q=2代入①式得a1=，所以a=.将q=—2代入①式得a1=,所以an=.8。某工厂去年的产值是100万元，计划今后3年内一年比一年产值增长10％，从今年起的第三年，这个工厂的年产值是多少万元？这三年的总产值是多少万元？(精确到万元，1。13≈1.33）解：设去年的产值为a1万元，今年的产值以及以后各年的产值依次为a2万元,a3万元……由于an+1=an（1+0。1），故数列{an}是等比数列,则第三年该厂的年产值为a4=a1q3=100×1.13≈133（万元).这三年的总产值为S4-a1=—100≈364（万元）。9。数列｛an｝的前n项和为Sn,且a1=1，an+1=Sn，n=1，2，3，…，求:（1)a2，a3，a4的值及数列{an｝的通项公式；（2）a2+a4+a6+…+a2n的值.解：（1)由a1=1，an+1=Sn,n=1，2,3，…，得a2=S1=a1=,a3=S2=(a1+a2)=，a4=S3=（a1+a2+a3）=，由an+1-an=(Sn—Sn—1）=an(n≥2）,得an+1=an（n≥2）.又a2=，所以an=（)n-2(n≥2)，∴数列｛an｝的通项公式为an=（2)由（Ⅰ）可知a2，a4,…，a2n是首项为，公比为(）2，项数为n的等比数列，∴a2+a4+a6+…+a2n=·.10.某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起,每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；(2）求2024年底的住房面积。（计算结果以万平方米为单位，且精确到0。01）解：（1）2005年底的住房面积为：1200（1+5%）—20=1240(万平方米)，2006年底的住房面积为:1200（1+5％）2—