2021年湖南省衡阳市中考数学试卷

2021年湖南省衡阳市中考数学试卷

一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.）

1.（3分）8的相反数是（）

A.-8B.8C.-AD.±8

8

2.（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利.现

标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫.数98990000用科学记数法表示为（）

A.98.99X106B.9.899X107

C.9899X104D.0.09899X108

3.（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

4.（3分）下列运算结果为小的是（）

一)

A.B.a%/C.（招）2D.2

2

5.（3分）下列计算正确的是（）

A.A/16=±4B.（-2）°=1C.V2+V5=V7D.我=3

6.（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛.某参赛

小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85,82,86,82,83,92.关于这组数据,

下列说法错误的是（）

A.众数是82B.中位数是84C.方差是84D.平均数是85

7.（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（)

8.（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37°,大厅

两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°=0.6,cos37°-0.8,tan37°

-0.75）（）

A.7.5米B.8米C.9米D.10米

9.（3分）下列命题是真命题的是（）

A.正六边形的外角和大于正五边形的外角和

B.正六边形的每一个内角为120°

C.有一个角是60°的三角形是等边三角形

D.对角线相等的四边形是矩形

10.（3分）不等式组［x+l<0的解集在数轴上可表示为（）

I-2x46

，L11II1，1，1>

A.-5-4-3-2-1012

--------1----1।1।--1-----1->

B.-5-4-3-2-1012

C.-5-4-3-2-1~6~1~2_>

D.-5-4-3-2-1012

11.（3分）下列说法正确的是（）

A.为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式

B.某彩票的中奖机会是1%,买100张一定会中奖

C.从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是反

4

D.某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学

生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳

绳的有1360人

12.（3分）如图，矩形纸片ABC。，AB=4,BC=8,点、M、N分别在矩形的边AD、BC上,

将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边4。上，记为点P,点。落在G处，

连接尸C,交MN于点Q,连接CM.下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A

重合时，MN=5；③的面积S的取值范围是4WSW5.其中所有正确结论的序号

是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

13.（3分）若二次根式J启有意义，则x的取值范围是.

14.（3分）计算：.

aa

15.（3分）因式分解：3a2-9"=.

16.（3分）底面半径为3,母线长为4的圆锥的侧面积为.（结果保留n）

17.（3分）“绿水青山就是金山银山”.某地为美化环境，计划种植树木6000棵.由于志愿

者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%,结果提前3天完成任务.则实际

每天植树棵.

18.（3分）如图1,菱形A8C。的对角线AC与BQ相交于点。，P、Q两点同时从。点出

发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为O-A-0-0,

点。的运动路线为0-。-8-。.设运动的时间为》秒，P、。间的距离为y厘米，y与

x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A段上运动且P、Q两点间的距离最

短时，尸、。两点的运动路程之和为____________________厘米.

三、解答题（本大题共8个小题，19〜20题每题6分，21〜24题每题8分，25题10分，

26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）

19.（6分）计算：（x+2y）之+（x-2y）（x+2y）+xCx-4y）.

20.（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求证:

/\ABC^/\DEF.

21.（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020

年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.某学

习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如

图所示.

（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；

（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元.若我市某天生

活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？

（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派

2名学生参赛.甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛,

求所抽取的学生中恰好一男一女的概率.

22.(8分)如图，点E为正方形ABC。外一点，NAEB=90°,将绕A点逆时针

方向旋转90°得到△AOF,OF的延长线交BE于4点.

(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；

(2)已知BH=7,BC=13,求。，的长.

23.(8分)如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时,

售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度(单层部分与双

层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为xcm,

单层部分的长度为W%经测量，得到表中数据.

双层部分长度工(cm)281420

单层部分长度y(cm)148136124112

(1)根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；

(2)按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长.请计算此时双层部

分的长度；

(3)设背带长度为Lem,求L的取值范围.

里层部分

调行扣一►

24.(8分)如图，A8是。。的直径，。为。0上一点，E为俞的中点，点C在54的延长

线上，且/CD4=NB.

(1)求证：8是。。的切线；

(2)若DE=2,NBDE=30°,求CD的长.

25.(10分)如图，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(6,0),动点P、

。同时从点。出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和

每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动.过点Q作MN//OB分别交AO、

AB于点例、N,连接?例、PM设运动时间为f(秒).

(1)求点M的坐标(用含，的式子表示)；

(2)求四边形MNB尸面积的最大值或最小值；

(3)是否存在这样的直线/,总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线/

的解析式；如果不存在，请说明理由；

(4)连接AP,当NOAP=/8PN时，求点N到。4的距离.

26.（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”.例

如（1,1）,（2021,2021）…都是“雁点”.

（1）求函数y=4图象上的“雁点”坐标；

X

（2）若抛物线y=/+5x+c上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x轴交于M、N两

点（点M在点N的左侧）.当时.

①求c的取值范围；

②求NEMN的度数；

（3）如图，抛物线），=-f+2x+3与x轴交于A、8两点（点A在点B的左侧），P是抛

物线y=-f+2x+3上一点，连接BP,以点尸为直角顶点，构造等腰Rt^BPC,是否存

在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

2021年湖南省衡阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.）

1.（3分）8的相反数是（）

A.-8B.8C.-AD.±8

8

【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是-8.

故选：A.

2.（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利.现

标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫.数98990000用科学记数法表示为（）

A.98.99X106B.9.899X107

C.9899X104D.0.09899X108

【解答】解:98990000=9.899X107,

故选：B.

3.（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

【解答】解：A.是轴对称图形，故本选项符合题意;

B.不是轴对称图形，故本选项不合题意;

C.不是轴对称图形，故本选项不合题意;

D.不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

4.（3分）下列运算结果为小的是（)

A.a?.滔B.a12-?«2C.(/)2D.(At?3)2

2

【解答】解：A.。2加3=〃5,故此选项不合题意；

B.故此选项不合题意；

C.(a3)2=小,故此选项符合题意；

D.(1«3)2=弱6,故此选项不合题意；

24

故选：C.

5.(3分)下列计算正确的是()

A.716=±4B.(-2)°=1C.A/2+V5=V7D.^yg=3

【解答】解：16的算术平方根为4,即J正=4,故4不符合题意；

根据公式a°=l(“#O)可得(-2)°=1,故8符合题意；

、后、、而无法运用加法运算化简，故加可片产⑴，故C不符合题意；

V9=3＞故。不符合题意；

故选：B.

6.(3分)为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛.某参赛

小组6名同学的成绩(单位：分)分别为：85,82,86,82,83,92.关于这组数据，

下列说法错误的是()

A.众数是82B.中位数是84C.方差是84D.平均数是85

【解答】解：将数据重新排列为82,82,83,85,86,92,

4、数据的众数为82,此选项正确，不符合题意；

B、数据的中位数为巡空=84,此选项正确，不符合题意；

2

C、数据的平均数为82+82+83+85+86+92=85,

6

所以方差为工义[(85-85)2+(83-85)2+2X(82-85)2+(86-85)2+(92-85)2]

6

=12,此选项错误，符合题意；

D、由C选项知此选项正确；

故选：C.

7.(3分)如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是()

正面

主视图左视图俯视图

故选：A.

8.（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯A8的倾斜角为37°,大厅

两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯A8的长约为（sin37°«=0.6,cos37°~0.8,tan37°

D.10米

【解答】解：在Rt^ABC中，NACB=90°,BC=6米,

；sinNBAC=K=sin37。七0.6=2，

AB5

.•.AB%$8C=aX6=10（米），

33

故选：D.

9.（3分）下列命题是真命题的是（）

A.正六边形的外角和大于正五边形的外角和

B.正六边形的每一个内角为120°

C.有一个角是60°的三角形是等边三角形

D.对角线相等的四边形是矩形

【解答】解：4每个多边形的外角和都是360°,故错误，假命题；

B.正六边形的内角和是720°,每个内角是120°,故正确，真命题；

C.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；

D.对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题.

故选：B.

10.（3分）不等式组［x+l<0的解集在数轴上可表示为（）

I-2x46

-------1----1L,I.L-1..>

A.-5-4-3-2-1012

--------1—1—।——---------1—>

B.-5-4-3-2-1012

C.-5-4-3-2-1~0~1~2~>

II1I1I---1---1-->

D.-5-4-3-2-1012

【解答】解：解不等式x+l<0得，x<-1,

解不等式-2xW6得,G-3,

・・・不等式组的解集为：-3WxV-1,在数轴上表示为：

-------i----1---1-----------1----------1---->

-5-4-3-2-1012

故选：A.

11.（3分）下列说法正确的是（）

A.为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式

B.某彩票的中奖机会是1%,买100张一定会中奖

C.从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是旦

4

D.某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学

生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳

绳的有1360人

【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式，

•••A选项错误，

彩票的中奖机会是1%说的是可能性，和买的数量无关，

.♦•B选项错误，

根据概率的计算公式，C选项中摸出红球的概率为3,

7

；.C选项错误，

200名学生中有85名学生喜欢跳绳，

跳绳的占比为篇X100%=42.5%，

.♦.3200X42.5=1360（人），

二。选项正确，

故选：D.

12.（3分）如图，矩形纸片ABC。，AB=4,BC=8,点M、N分别在矩形的边A。、BC上,

将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P,点力落在G处，

连接尸C,交MN于点Q,连接CM.下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A

重合时，MN=5；③△PQM的面积S的取值范围是4WSW5.其中所有正确结论的序号

是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【解答】解：

NPMN=NMNC,

NMNC=NPNM,

：.NPMN=ZPNM,

：.PM=PN,

,:NC=NP,

:*PM=CN,

'.'MP//CN,

：.四边形CNPM是平行四边形，

,:CN=NP,

.••四边形CNPM是菱形，

故①正确；

如图1,当点P与A重合时，设BN=x,则AN=NC=8-x,

在RtaABN中，AB2+B7V2,

即42+X2=(8-%)2,

解得x=3,

；.CN=8-3=5,

\'AB=4,BC=8,

.MC=、AB2+BC2=4泥,

：.CQ=XAC=2y[S>

；・3=寸CN?-CQ2=后

:.MN=2QN=2娓,

故②不正确；

由题知，当MN过点。时，CN最短,如图2,四边形CMPN的面积最小,

止匕时5=%菱形GWW=」X4X4=4,

44

当P点与A点重合时，CN最长，如图1,四边形CMPN的面积最大，

此时S=』X5X4=5,

4

.♦•4WSW5正确，

B

图2

G

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

13.（3分）若二次根式＞/言有意义，则x的取值范围是x23

【解答】解：根据题意，得

x-3N0,

解得，x23；

故答案为：元23.

14.（3分）计算：—1.

aa

【解答】解：原式="ltL=i.

a

故答案为：I.

15.（3分）因式分解：3a1-9ab=3。分-36）.

【解答】解：3a2-9ab

—3a（a-3b）,

故答案为：3a（a-3b）.

16.（3分）底面半径为3,母线长为4的圆锥的侧面积为121T.（结果保留n）

【解答】解：圆锥的侧面积=2irX3X4+2=12n.

故答案为：12ir.

17.（3分）“绿水青山就是金山银山”.某地为美化环境，计划种植树木6000棵.由于志愿

者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%,结果提前3天完成任务.则实际

每天植树500棵.

【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，

依题意得：6000_6000=3,

x（1+25%）x

解得：x=400,

经检验，x=400是原方程的解，且符合题意，

(1+25%)x=500.

故答案为：500.

18.(3分)如图1,菱形ABCZ)的对角线AC与8。相交于点O,P、Q两点同时从。点出

发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点尸的运动路线为O-A-O-O,

点Q的运动路线为0-C-8-0.设运动的时间为尤秒，P、。间的距离为y厘米，y与

x的函数关系的图象大致如图2所示，当点尸在A-O段上运动且P、Q两点间的距离最

短时，P、Q两点的运动路程之和为(2、历+3)厘米.

图1图2

【解答】解：由图分析易知I：当点P从O-A运动时，点。从OfC运动时，y不断增大,

当点P运动到4点，点。运动到C点时，由图象知此时y=PQ=2j&«i,

♦.•四边形ABC。为菱形，

.\ACLBD,OA—OC—^^—yf^cm,

当点尸运动到。点，。运动到B点，结合图象，易知此时，y=BD=2cm,

：.0D=OB=LD=1cm,

2

在中，4。=7°卜2对口2=寸(“)2+12=2(CM，

如图，当点P在4-0段上运动，点尸运动到点E处，点。在C-B段上运动，点。运

图1

此时，0E=0F=OA-OD=立*[=晶,

AD22

AE=AF=而三加1=在|=尚,

...当点P在A-。段上运动且P、。两点间的距离最短时，P、。两点的运动路程之和为:

O

（«号）X2=2«+3（的）

故答案为：（2/§+3）.

三、解答题（本大题共8个小题，19〜20题每题6分，21〜24题每题8分，25题10分，

26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）

19.（6分）计算：（x+2y）2+（.X-2y）Cx+2y）+xCx-4y）.

【解答】解：原式=（7+4*尹4;/）+（%2-49）+（7-4孙）

=x2+4xy+4y2+A2-4）^+^-4xy

=3x2.

20.（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求证:

△ABC@LDEF.

...NC4B=NU»风两直线平行，同位角相等），

又,：BC//EF,

...NC8A=NFEC（两直线平行，同位角相等），

在△ABC和△DEF中，

'NCAB=/FDE

.AB=DE,

ZCBA=ZFED

...AABC^ADEF（ASA）.

21.（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020

年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.某学

习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如

图所示.

（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是64.8度:

（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元.若我市某天生

活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？

（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派

2名学生参赛.甲班经选拔后,决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛,

【解答】解：（1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：1-20%-7%-55%=18%,

其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：360°X18%=64.8°,

故答案为：64.8；

（2）500X20%=100（吨），

100X0.2=20（万元），

答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元；

（3）由题意可列树状图：

开始

22.（8分）如图，点E为正方形ABC。外一点，ZAEB=90°,将Rt^ABE绕A点逆时针

方向旋转90°得到△/!£＞「，£＞尸的延长线交BE于H点.

（1）试判定四边形AH/E的形状，并说明理由；

（2）已知B”=7,BC=13,求。，的长.

DC

【解答】解：(1)四边形4H/E是正方形，理由如下：

•.•□△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,

ARtA/lBE^RtA/ADF,

AZAEB=ZAFD=90Q,

AZAFH=9Q°,

VRtAABE^RtAADF,

ZDAF=NBAE,

又,.•NQAF+/E4B=90°,

/BAE+N砌B=90°,

：.ZFAE=90a,

在四边形中，ZME=90°,NAEB=90°,NAFH=9Q°,

...四边形AF"£是矩形，

5L'：AE=AF,

，矩形AFHE是正方形；

(2)设AE=x.则由(1)以及题意可知：AE=EH=FH=AF=x,BH=1,BC=AB=13,

在Rt"EB中，AB2=AE2+BE1,

即132=X2+(X+7)2,

解得：x=5,

：.BE=BH+EH=5+7=\2,

：.DF=BE=\2,

又•：DH=DF+FH,

£>”=12+5=17.

23.（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时,

售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双

层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcs,

单层部分的长度为“九经测量，得到表中数据.

双层部分长度x（cm）281420

单层部分长度y（cm）148136124112

（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；

（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130C7W时为最佳背带长.请计算此时双层部

分的长度；

（3）设背带长度为Lc〃?，求L的取值范围.

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为），=履+6,

由题知（148=2k+b,

I136=8k+b

解得『=-2,

lb=152

与x的函数关系式为＞=-2^+152；

（2）根据题意知卜3=13°,

ly=-2x+152

解得卜=22,

ly=108

二双层部分的长度为22c7”；

（3）由题知，当x=0时，y=152,

当y=0时，x=76,

；.76WLW152.

24.（8分）如图，4B是的直径，。为上一点，E为BD的中点，点C在BA的延长

线上，且/CD4=N8.

(1)求证：C£>是。。的切线；

(2)若OE=2,NBDE=3G°,求CD的长.

【解答】解：(1)证明：连结0£>,如图所示:

是直径，

；.NBDA=90°,

：.ZBDO+ZADO=9QQ,

又.：OB=OD,ZCDA^ZB,

：.NB=NBDO=ZCDA,

：.ZCDA+ZADO=90°,

：.OD±CD,且0。为OO半径,

...cn是。0的切线；

(2)连结0E,如图所示：

:NBDE=30°,

；.NBOE=2/BDE=60°,

又为面的中点，

/.ZEOD=60°,

，△EO。为等边三角形,

：.ED=EO=OD=2,

又•.•/BOO=N8OE+/EO£>=120°,

.,./£>OC=180°-ZBOD=180°-120°=60°,

在Rt/XOOC中，NDOC=60°,0。=2,

.•.tan/QOC=tan60°=生=型=«,

0D2

:.CD=2M.

25.(10分)如图，△O4B的顶点坐标分别为。(0,0),A(3,4),B(6,0),动点P、

。同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和

每秒2个单位，点P到达点B时点P、。同时停止运动.过点。作MN〃0B分别交A。、

AB于点M、N,连接PM、PN.设运动时间为f(秒).

(1)求点用的坐标(用含f的式子表示)；

(2)求四边形MNBP面积的最大值或最小值；

(3)是否存在这样的直线/,总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线/

的解析式；如果不存在，请说明理由；

(4)连接AP,当NO4P=/BPN时，求点N到。4的距离.

【解答】解：(1)过点A作x轴的垂线，交MN于点、E,交OB于点F,

由题意得：0Q=2f,0P=3f,P8=6-3f,

VO(0,0),A(3,4),B(6,0),

：.OF=FB=3,AF=4,OA=AB^^^+^-^,

'：MN//OB,

：.ZOQM=ZOFA,ZOMQ=ZAOF,

•OQQM

"AF=OF"

•.•2t=QM»

43

.•.点M的坐标是(修"t,2t)-

(2)'：MN//OB,

四边形QEF。是矩形，

：.QE=OF,

：.ME=OF-QM=3-3十，

21

"：OA=AB,

：.ME=NE,

：.MN=2ME=6-3t,

AS忖边肋MNBP=S&MNP+S&BNP

=AWOQ+」・BP・OQ

22

=_^(6-3t)*2t+y*(6-3t),2t

=-6产+⑵

=-6(r-l)2+6,

•••点P到达点8时，P、。同时停止，

.•.0WW2,

.1=1时，四边形MNBP的最大面积为6.

(3),:MN=6-3t,BP=6-3t,

：.MN=BP,

'：MN//BP,

：.四边形MNBP是平行四边形,

平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点,

设中点为H(x,y).

:呜t,2t)>B(6,0),

,r—1z3八=3c)

••x-q.(Q+6)——1+3

„_2t+0

=t，

y+3,

化简得：y=t-4,

3

直线/的解析式为:y=t-4

3

(4)'：OA=AB,

：.ZAOB=ZPBN,

又,：NOAP=ZBPN,

AAOPsAPBN,

•••-O-A-=OP,

BPBN

._5____3t

,*6-3t=5'

解得：

■:MN=6-3nAE=AF-OQ,ME=3-

:.MN=6-3x11,^25,

186

1125

AE=4-2X百「

11.25

ME=3-2X18"12

25、2_125

/</IM==2225

VME+AE=.12

设点N到。4得距离为〃，

S^AMN——,MN*AE——,AM,h,

22

.125251125,

269236

解得：仁改.

.•.点N到OA得距离为此.

26.(12分)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”.例

如(1,1),(2021,2021)…都是“雁点”.

(1)求函数y=匹图象上的“雁点”坐标；

X

(2)若抛物线上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x轴交于M、N两

点(点M在点N的左侧).当”>1时.

①求c的取值范围;

②求NEMN的度数;

(3)如图，抛物线y=-7+2x+3与x轴交于4、B两点(点A在点8的左侧)，P是抛

物线y=-/+2x+3上一点，连接BP,以点P为直角顶点，构造等腰RtZXBPC,是否存

在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

当方=±2时，y=A=±2,

X

故“雁点”坐标为（2,2）或（-2,-2）；

（2）①•..“雁点”的横坐标与纵坐标相等，

故“雁点”的函数表达式为丫=%

•.•物线y="+5x+c上有且只有一个“雁点”E,

贝（1ax2+5x+c—x,

则4=25-4ac=0f即ac=4,

Vtz>l,

故c<4；

②〃c=4,则ax2+5x+c=0为ax2+5x+A=0,

a

解得x=-邑或-工，即点M的坐标为（-生0）,

解得x=-2,即点E的坐标为（-2,-2）,

aaa

故点后作E”_Lx轴于点〃，

则"£*=2,MH=XE-XM=---（--）=2=HE,

aaaa

故NEMN的度数为45°；

（3）存在，理由：

由题意知，点C在直线y=x上，故设点C的坐标为（f,f）,

过点P作x轴的平行线交过点C与y轴的平行线于点M,交过点8与y轴的平行线于点

N,

图2

设点尸的坐标为（/H,-〃P+2m+3）,

则BN=-in1+2m+3,PN=3-m,PM=m-t,CM=-nr+2m+37,

•：NNPB+NMPC=90°,NMPC+NCPM=90°,

:・/NPB=/CPM,

*.•ZCMP=ZPNB=90°,PC=PB,

:.丛CMP”丛PNB（A4S）,

:.PM=BN,CM=PN,

即〃2-f=|-m2+2〃2+3|,-ZW2+2AW+3-Z=|3-m\,

解得切=1+国（舍去）或1-Y页或旦，

222

故点P的坐标为（22叵，3）或（S,至）.

2224

2021年河北省中考数学试卷

一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1〜10小题各3分，11〜16小题各2分。在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）如图，已知四条线段〃，b,c,d中的一条与挡板另一侧的线段机在同一直线上,

请借助直尺判断该线段是（）

m

C.cD.d

2.（3分）不一定相等的一组是（

A.a+b与b+aB.3a与a+a+a

C./与”.4.qD.3(a+b)与3a+/)

3.（3分）已知则一定有-44口-48,“口”中应填的符号是（）

A.>B.<c.2D.=

4.（3分）与432_22_12结果相同的是（)

A.3-2+1B.3+2-1C.3+2+1D.3-2-1

5.（3分）能与-（1-A）相加得o的是（)

45

A-1-1B.c.-2+3D.-3+2

45545445

6.（3分）一个骰子相对两面的点数之和为7,它的展开图如图，下列判断正确的是（)

D.B代

7.（3分）如图1,0ABe。中，AD>AB,/ABC为锐角.要在对角线30上找点MM,

使四边形4NCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）

D

BC

图1

取3。中点。，作作AN1BD于N作.凡CM分别平分

BN=NOQM=MDZB.4D.ZBCD

I______________________________

图2

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

8.（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示,

平

水

线

图1图2

A.\cinB.2cmC.3cmD.4cm

9.（3分）若相取1.442,计算加-3对-98对的结果是（)

A.-100B.-144.2C.144.2D.-0.01442

10.（3分）如图，点。为正六边形A8COEF对角线阳上一点,SAAFO-S,SACDO=2,则

S正六边边ABCDEF的值是（）

BE

B.30

D.随点。位置而变化

11.（2分）如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为

Ql,Q2,43,44,〃5,则下列正确的是（）

a\ai03OA

A.〃3>0B.|ai|=|o4|

C.m+。2+。3+。4+。5=0D.。2+。5<0

12.（2分）如图，直线/，机相交于点O.尸为这两直线外一点，且。尸=2.8.若点P关于

直线/,加的对称点分别是点P,尸2,则P,尸2之间的距离可能是（）

・八

13.（2分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

己知：如图，NAC力是△ABC的外角.求证：ZACD=ZA+ZB.

证法1：如图，

VZA+ZB+ZACB=180°（三角形内角和定理）,

又；NAC£）+/AC8=180°（平角定义），

AZACD+ZACB^ZA+ZB+ZACB（等量代换）.

AZACD=ZA+ZB（等式性质）.

证法2：如图，

VZA=76°,NB=59°,

且NACQ=135°（量角器测量所得）

又•.T35°=76°+59°（计算所得）

NACO=N4+NB（等量代换）.

下列说法正确的是（）

A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B.证法1用严谨的推理证明了该定理

C.证法2用特殊到一般法证明了该定理

D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

14.（2分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2

（柱的高度从高到低排列）.条形图不小心被撕了一块，图2中“（）”应填的颜色是

图1图2

A.蓝B.粉C.黄D.红

15.（2分）由（工0-工）值的正负可以比较A=上工与工的大小，下列正确的是（）

2+c22+c2

A.当c=-2时，A=—B.当c=0时，A#2

22

C.当c<-2时，D.当c<0时，AV工

22

16.（2分）如图，等腰△A08中，顶角/A08=40°,用尺规按①到④的步骤操作：

①以。为圆心，04为半径画圆；

②在。。上任取一点尸（不与点A,8重合），连接AP；

③作A8的垂直平分线与。。交于N：

④作AP的垂直平分线与交于E,F.

结论I：顺次连接用，E,N,尸四点必能得到矩形；

结论II：。。上只有唯一的点P,使得Sis形FOM=S用形AOB.

对于结论I和II,下列判断正确的是（）

A.I和n都对B.I和II都不对c.I不对n对D.I对n不对

二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每