河北省2020年中考数学试题（原卷版）

2020年河北省初中毕业生升学文化课考试

数学试卷

一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1〜10小题各3分小题各2分.在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.如图，在平面内作已知直线机的垂线，可作垂线的条数有（）

m

A.0条B.1条。C.2条。D.无数条

2.墨迹覆盖了等式中的运算符号，则覆盖的是（）

A.+B.-°C.xD.：

3.对于①x—3肛=x（l—3y）,②（X+3）（X—1）=X2+2X—3,从左到右的变形，表述正确的是（）

A.都是因式分解。B.都是乘法运算

C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解

4.如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）

//

正面正面

A.仅主视图不同B.仅俯视图不同

C.仅左视图不同D.主视图、左视图和俯视图都相同

5.如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是。元/千克，发现这四个单价的中位数

恰好也是众数，则。=（）

C.7«D.6

6.如图1,已知NABC,用尺规作它的角平分线.

如图2,步骤如下，

第一步:以8为圆心，以。为半径画弧，分别交射线BA,BC于点、D,E；

第二步：分别以为圆心，以匕为半径画弧,两弧在NABC内部交于点P;

第三步：画射线3R射线3P即为所求.

下列正确的是（）

C.a有最小限制，。无限制D.«>0,的长

2

7.若疝b,则下列分式化简正确的是（）

a+2_aa-2a

A.B.

b+2b~b^2~~h

8.在如图所示的网格中,以点。为位似中心，四边形A3CD的位似图形是（）

A.四边形NPMQB.四边形NPM/?

C.四边形NHMQD.四边形NHMR

9.若二1)("二1)=8x10x12,贝必=()

k

A.12B.10C8D.6

10.如图，将AASC绕边AC的中点。顺时针旋转180。.嘉淇发现，旋转后的ACZM与AABC构成平行四边

形,并推理如下：

点A,C分别转到了点C,A处，

而点8转到了点。处.

,/CB=AD,

四边形ABCD是平行四边形.

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“：C6=A。，”和四边形……”之间作补充.下列正确的是

()

A.嘉淇推理严谨，不必补充。B.应补充:且AB=CO,

C.应补充:且AB〃a»D.应补充:且。4=0C,

11.若人为正整数，则=()

k个k

A.小。B.守+iC.2/D.k2+k

12.如图，从笔直的公路/旁一点P出发，向西走6km到达/;从尸出发向北走6km也到达/.下列说法箱送

的是()

北

A.从点P向北偏西45。走3km到达/

B.公路/的走向是南偏西45°

C.公路/的走向是北偏东45°

D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达/

13.已知光速为300000千米秒，光经过r秒(1K7K10)传播的距离用科学记数法表示为ax10"千米，则"

可能为()

A5B.6C.5或6»D.5或6或7

14.有一题目：“已知;点。为AABC的外心，ZBOC=130°,求NA.“嘉嘉的解答为：画AA3C以及它的

外接圆。，连接OB,OC,如图.由ZBOC=2ZA=130°,得NA=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全,NA

还应有另一个不同的值.“，下列判断正确的是（）

A.淇淇说的对，且NA的另一个值是115。

B.淇淇说的不对，/人就得65°

C.嘉嘉求的结果不对，NA应得50°

D.两人都不对,NA应有3个不同值

15.如图，现要在抛物线y=x（4-x）上找点P（a,勿，针对匕的不同取值，所找点。的个数，三人的说法如下,

甲:若6=5,则点P个数为0；

乙：若b=4,则点P个数为1；

丙:若6=3,则点P的个数为1.

C.乙对，丙错D.甲错，丙对

16.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是

1,2,3,4,5,选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积晕大的直角三角

形，则选取的三块纸片的面积分别是（）

二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17~18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）

17.已知:加一血=4&-血=8五,则。/,=.

18.正六边形的一个内角是正〃动形一个外角的4倍，则n=.

19.如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点记作为

k

1~8的整数）.函数y=-（x<0）的图象为曲线L.

x

（1）若L过点工，则k=;

（2）若L过点看,则它必定还过另一点Tm，则m=;

（3）若曲线£使得（~（这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则氏的整数值有个.

三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.已知两个有理数:—9和5.

小4笆（-9）+5

⑴计算:-------;

2

（2）若再添一个负整数机，且一9,5与加这三个数的平均数仍小于心，求机的值.

21.有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上标,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简

后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图.

如，第一次按键后,A，5两区分别显示：

.A区B区

25+a2—16—3a

（1）从初始状态按2次后，分别求A,5两区显示的结果；

（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗？说明理由.

22.如图，点。为AB中点，分别延长0A到点C,0B到点D，使OC=OD以前0为圆心，分别以。4,0C

为半径在C。上方作两个半圆.点P为小半圆上任一点（不与点4，8重合），连接0尸并延长交大半圆于

点E,连接AE，CP.

②写出Nl,N2和NC三者间的数量关系，并说明理由.

（2）若。。=2。4=2,当NC最大时，禀举指出C尸与小半圆的位置关系，并求此时无形£”（答案保留乃）.

23.用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木

板，实验发现:木板承重指数W与木板厚度》（厘米）的平方成正比，当x=3时,W=3.

（1）求W与8的函数关系式.

（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损

耗）.设薄板的厚度为了（厘米），Q=可字一叫*.

长

a

①求。与X的函数关系式;

②X为何值时,Q是W薄的3倍？

【注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围】

24.表格中的两组对应值满足一次函数，=履+"现画出了它的图象为直线/,如图.而某同学为观察人,

b对图象的影响，将上面函数中的左与匕交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线V.

X-10

y-21

(1)求直线/的解析式；

(2)请在图上呼出直线r(不要求列表计算)，并求直线/'被直线/和y轴所截线段的长；

(3)设直线y与直线/,/'及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称直厚写出。的值.

25.如图，甲、乙两人(看成点)分别在数轴-3和5的位置上，沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则:裁

判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动.

①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；

②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位：

③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位.

甲乙

西---•••-----东

-3O5

(1)经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；

(2)从图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对〃次，且他最孥

停留的位置对应的数为机，试用含〃的代数式表示m，并求该位置距离原点。最近时n的值；

(3)从图的位置开始，若进行了上次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位厚段写出人的值.

3

26.如图1和图2,在AABC中，AB=AC,8c=8,tanC=—.点K在AC边上，点M,N分别在

4

AB.BC1.,且AM=C7V=2.点P从点M出发沿折线MS—3N匀速移动，到达点N时停止；而点。

在AC边上随尸移动，且始终保持NAPQ=ZB.

（1）当点P在3c上时，求点P与点A的最短距离；

（2）若点「在加8上,且尸。将入45。面积分成上下4：5两部分时，求心的长；

（3）设点尸移动的路程为x,当0＜尤＜3及3Wx＜9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表

示）；

（4）在点P处设计并安装一扫描器,按定角NAPQ扫描A4PQ区域（含边界），扫描器随点P从M到5再到

9

N共用时36秒.若AK=—，请直接写出点K被扫描到的总时长.

A••

内江市2020年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷

数学试题

A卷（共100分）

注意事项：

1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好.

2、答A卷时,每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号.

第I卷（选择题共36分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.）

1.：的倒数是（）

A.1B.—2°C.—D.----

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据乘积是1的两个数叫做互为倒数,求解.

【详解】解:•••,X2=1

2

二上的倒数是2

2

故选:A.

【点睛】本题考查倒数的概念，掌握概念正确计算是解题关键.

2.下列四个数中，最小的数是（）

1

A.0BC5。D.

2020

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项.

1

(WJv-l<-<0<5,

2020

最小的数是一1，

故选：D.

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0〈正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小.

3.下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）

g

【答案】B

【解析】

由中心对称图形的定义：”把一个图形绕一个点旋转180。后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心

对称图形''分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.

故选B.

4.如图，已知直线〃//6,/1=50°,则/2的度数为（)

b

A.140°B.130°C.50°D40°

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平行线的性质即可解决问题.

【详解】如图,：a〃b,

；.Nl=/3=50°,

AZ2=180°-50°=130°,

【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

5.小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90,85,80,90,95,则这

组数据的中位数和众数分别是（）

A.80,90B.90,90C.90,85D.90,95

【答案】B

【解析】

【分析】

根据中位数、众数的定义即可求解.

【详解】把分数从小到大排列为:80,85,90,90,95

故中位数为90,众数为90

故选B.

【点睛】此题主要考查中位数、众数，解题的关键是熟知中位数、众数的定义.

6.将直线y=-2x-l向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）

A.y=-2x-5，B.y=-2x-3C.y=-2x+lD.y=-2x+3

【答案】c

【解析】

【分析】

向上平移时,k的值不变，只有b发生变化.

【详解】解:原直线的k=-2,b=-l;向上平移两个单位得到了新直线,A那么新直线的k=-2,b=-l+2=l.

•••新直线的解析式为y=—2x+1.

故选:C.

【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变

化.

7.如图，在AABC中,O、E分别是另6和AC的中点,S四边形属£。=15,则％18c=()

A.30B.25»C.22.5D.20

【答案】D

【解析】

【分析】

首先判断出△ADEsaABC,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出4ABC的面积.

【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE〃BC且DE=4BC,故可以判断出△A

DEs^ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知S^DE：SMec=1：4,则S„BCED：SMBC=3；

=

4,题中己知S四边形8CED=15,故可得SMO£-=5,^SABC20

故本题选择D

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断AADE

SZ\ABC,然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题.

8.如图，点/、B、C、。在。。上,ZAOC=120°,点8是AC的中点，则/。的度数是()

【答案】A

【解析】

【分析】

根据圆心角、弧、弦的关系定理得到NAOB=；NAOC,再根据圆周角定理解答.

【详解】连接0B,

•••点B是AC的中点，

AZAOB--ZAOC=60°,

2

由圆周角定理得，ZD--ZAOB=30°,

2

故选：A.

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的

圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.

9.如图，点A是反比例函数y=±图象上的一点，过点4作AC_Lx轴，垂足为点CQ为AC的中点，若

x

的面积为1,则A的值为（）

48

A.一®B.一C.3D.4

33

【答案】D

【解析】

【分析】

先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出加"=2,即可得出结论.

【详解】点A的坐标为(m,2n),A；.2加"=左为AC的中点,

D(m,n),A：AC，x轴,△ADO的面积为1,

SADO=gAZJ-OC=^(2n—n)-m=mn=

mn-2,

k=2mn=4,

故选：D.

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确

题意，找出所求问题需要的条件,利用反比例函数的性质解答.

10.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却

量竿，却比竿子短一托其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺;如果将绳索对

半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺.则符合题意方程是()

A.=(x-5)-5°B.]X=(x+5)+5

C.2x=(x—5)-5D.2x=(x+5)+5

【答案】A

【解析】

分析】

设索为X尺,杆子为(％-5)尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺"，即可得出关于X一元一次方

程.

【详解】设索为工尺,杆子为(x-5)尺，

根据题意得：-x=(x-5)-5.

2

故选:A.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键.

11.如图，矩形SBC。中，台。为对角线,将矩形ABC。沿BE、3F所在直线折叠，使点A落在8。上的点M

处，点。落在3。上的点N处,连结已知A8=3,3C=4,则EF的长为()

7vf

「5713

A.3oB.5D.V13

6

【答案】C

【解析】

【分析】

由矩形的性质和已知求出BD=5,根据折叠的性质得△ABE丝ZXMBE,设AE的长度为x,在RsEMD中,

由勾股定理求出DE的长度，同理在RtADNF中求出DF的长度，在RSDEF中利用勾股定理即可求出

EF的长度.

【详解】解:；四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4,

•••BD=g2+42=5,

设AE的长度为x,

由折叠可得:△ABE^AMBE,

EM=AE=x,DE=4-x,BM=AB=3,DM=5-3=2,

在Rt△EMD中,EM2+DM2=DE2,

x2+22=(4-x)2,

335

解得:x=—，ED=4—=—

222

设CF的长度为y,

由折叠可得：△CBF^ANBF,

NF=CF=y,DF=3-y,BN=BC=4,DN=5-4=1,

在RtADNF中,DN2+NF2=DF2,

1.y2+12—(3-y)2

445

解得:x=—,DF=3--

333

2|2_5>/13

在RSDEF中,EF=^DE2+DF2=55

：+5；6

故答案为：C.

【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出DE

和DF的长度是解题的关键.

12.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线丁=比+2，+2（r>0）与两坐

标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，贝h的取值范围是（）

A.—t<2®B.—</<1

22

Cl<z<2D.:4/42且"1

2

【答案】D

【解析】

【分析】

画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.

【详解】•/y=tx+2t+2,

2

，当y=0时，x=-2-----；当x=0时，y=2t+2,

t

2

J直线y=a+2f+2与x轴的交点坐标为（一2——,0）,与y轴的交点坐标为（0,2t+2）,

t

Vt>0,

・・・2t+2>2,

1?

当时2+2=3,此时一2--二一6,由图象知：直线丁=a+2/+2（/>0）与两坐标轴围成的三角形区

2t

域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1,

2

当t=2时,2t+2=6,此时一2--二-3,由图象知:直线丁=优+2，+2（/>0）与两坐标轴围成的三角形区

t

域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2,

2

当t=l时，2t+2=4,-2--=-4,由图象知：直线》=枕+2，+2（1>0）与两坐标轴围成的三角形区

t

域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3,

二4Y2且"1,

2

故选:D.

【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解

题意是解题的关键.

第n卷（非选择题共64分）

注意事项：

1、第n卷共4页,用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上.

2、答题前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）

13.函数y=，丁1~,中,自变量x的取值范围是______

2%-4

【答案】XH2

【解析】

【详解】根据函数可知：2x—4工0,解得：

故答案为：xh2.

14.2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统

第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成.根据最新数据，目前兼容北斗的终端

产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为

【答案】7xl08

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为:ax10",其中1<Ia|<10,n为整数，确定a值和n值即可解答.

【详解】7亿=700000000=7xlO8,

故答案为:7xlO8.

【点睛】此题考查科学记数法的表示，正确确定a的值和n的值是解答的关键.

15.已知关于x的一元二次方程(〃7-1)2/+33+3=0有一实数根为-1,则该方程的另一个实数根为一

【答案】—

3

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的解的定义把x=l代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元

二次方程的定义确定m的值.

【详解】解：把x=-l代入(〃2—1)一f+3/nx+3=O得m?-5m+4=0,解得im=1,m2=4A(m-1Am*

1.

m=4.

，方程为9x2+12X+3=0.

3

设另一个根为a,则-a=—.

9

.1

・・a=——.

3

故答案为:—.

3

【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方

程的根.也考查了一元二次方程的定义.

16.如图，在矩形48中，8。=10,/48。=30°,若点"、N分别是线段。6、A8上的两个动点，则

AM+MN的最小值为.

【答案】15.

【解析】

【分析】

如图，过A作AG_L6D于G,延长AG,使AG=EG,过E作EN_LA6于N,交8D于M,则

AM+MN=EN最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解EN即可得到答案.

【详解】解：如图，过A作AGJ_8D于G,延长AG,使AG=EG，过E作于N,交BD于M,

则AM+MN=EN最短，

四边形ABCD为矩形，BC=10,NABO=30°,

AD=\Q,BD=20,AB=BD・cos300=10®

AG»BD=AD»AB,

.•.20AG=10xl0百，

AG=5"AE=2AG=10也

AE±BD,EN±AB,ZEMG=ZBMN,

：.NE=ZABO=30°,

.■.£^=A£»cos30°=10>/3x—=15,

2

...AM+MN=15,

即AM+MN的最小值为15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查的是矩形的性质,锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小

值问题，掌握以上知识是解题的关键.

三、解答题(本大题共5小题，共44分,解答应写出必要的文字说明或推演步骤)

17.计算：1—g-|-2|+4sin60o-V12+(^-3)0

【答案】-3

【解析】

【分析】

根据负整数指数累、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和零次哥的运算法则分别对每项进行化简，再

进行加减计算即可.

【详解】解：-|-2|+4sin60o-V12+(^-3)0

=-2—2+26—26+1

=-3

【点睛】本题考查实数的混合运算、熟练掌握负整数指数暴、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和

零次累的运算法则是解题的关键.

18.如图，点C,E,F,3在同一直线上，点4,。在8c异侧人8〃C£>,AE^DF,乙k=乙D.

⑴求证:AB=CD；

(2)若AB=CRNB=40。,求N。的度数.

-------------711

【答案】(1)AB=CD(2)70°

【解析】

【分析】

(1)根据平行线的性质求出NB=NC,根据AAS推出△ABEZ^CDF,根据全等三角形的性质得出即可;

(2)根据全等得出AB=CD,BE=CF,NB=NC,求出CF=CD,推出ND=NCFE,即可求出答案.

【详解】(1)证明：・「AB〃CD,

・・・NB=NC,

在^ABE和^CDF中，

ZB=ZC,AE=DF,NA=ND.

AAAEB^ADFC.

JAB二CD.

(2)VAB=CD,

AB=CF,

・・・CD=CF,

•・・ZB=ZC=40°,

・•・ZD=(180°-40°)-?2=70°.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形

的判定求出△ABE0Z\CDF是解此题的关键.

19.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、。四个等级，并将结果绘

制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.请你根据统计图解答下列问题.

(1)成绩为等级”的学生人数有名；

(2)在扇形统计图中，表示“。等级”的扇形的圆心角度数为,图中机的值为；

(3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛.已知“等级”中有1名

女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率.

2

【答案】(1)5(2)72°；40(3)-

【解析】

【分析】

(1)先根据“等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“3等级”的学生人数;

(2)根据“。等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“。等级”的人数即可求出m的值;

(3)根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解.

【详解】(1)学生总人数为3・15%=20(人)

/.成绩为“5等级”的学生人数有20-3-8-4=5(人)

故答案为：5；

4

(2)等级”扇形的圆心角度数为一x360°=72°

20

O

m=—xl00=40,

20

故答案为：72。;40;

(3)根据题意画树状图如下：

男1男2女

AAA

男2女男1女男1男2

42

AP（女生被选中）

63

【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法.

20.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图，正在执行巡航任务的海监

船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行

1小时到达B处,此时测得灯塔P在北偏东30。方向上.

（1）求8处到灯塔/）的距离；

（2）已知灯塔尸的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

【答案】（1）8处到灯塔尸的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的

【解析】

【分析】

（1）作PDLAB于D.求出NPAB、NPBA、NP的度数，证得△ABP为等腰三角形，即可解决问题;

（2）在RtAPBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定.

【详解】（1）过点P作PDJ_AB于点D,

，NAPB=NPBD-NPAB=60°-30°=30°=NPAB,

.".PB=AB=60（海里），

答：8处到灯塔P的距离为60海里；

（2）由（1）可知/APB=/PAB=30O,A；.PB=AB=60（海里）

在RtAPBD中,

PD=BPsin60°=60x—=30>^(海里)，

2

；30G>50,

，海监船继续向正东方向航行是安全的.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握

锐角三角函数的概念是解题的关键.

21.如图,48是。。的直径,C是。。上一点，8人8c于点。，过点C作。。的切线，交。£>的延长线于点

E,连结BE.

(1)求证：BE是。。的切线；

(2)设051交。。于点尸，若DF=2,BC=45求线段EF的长；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析;(2)EF=4；(3)16A/3--7T

3

【解析】

【分析】

(1)连接OC,如图，根据垂径定理由ODLBC得到CD=BD,则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC,根

据等腰三角形的性质得NEBC=/ECB,加上NOBC=NOCB,则NOBE=NOCE；再根据切线的性质得

/OCE=90。，所以NOBE=90。，然后根据切线的判定定理得BE与。O相切；

(2)设。。的半径为R,则。D=R—DF=R-2,OB=R，在RtAOBD,利用勾股定理解得R=4,再利用含3

0°角的直角三角形边角关系可求得0E,利用EF=OE-OF即可解答；

(3)利用(2)中可求得NBOC=120。,然后利用S阴影=S四边形OSEC-S扇形阪代入数值即可求解.

【详解】(1)证明:连接0C,如图，

VOD±BC,A；.CD=BD,A；.OE为BC的垂直平分线，A；.EB=EC,A；.NEBC=NECB,

VOB=OC,

.•.ZOBC=ZOCB,A/.ZOBC+ZEBC=ZOCB+ZECB，即ZOBE=ZOCE,

•；CE为。O的切线，

0C±CE,

.,.ZOCE=90°,

...NOBE=90。，

AOB1BE,

；.BE与。O相切.

(2)设。O的半径为R,贝OD=R-DF=R-2,OB=R,

在RtAOBD中,BD=；BC=2百

VOD2+BD2=0B2,

；.(R_2)2+(2我2=R2，解得R=4AoD=2,OB=4,A/.ZOBD=30°,*：.ZB0D=60。,

.•.在RSOBE中,NBE0=30。，0E=2OB=8,

.\EF=OE-OF=8-4=4,

即EF=4;

(3)由/OCD=NOBD=30°和OD_LBC知:/C0D=NBOD=60。，

.,.ZBOC=120°,又BC=4>Q,OE=8,

S阴影—Spq边形OBEC-S扇形OBC

」x8x4G-强火

2360

=\6y[3-—7C,

3

【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30。角的直角三角形边角关系、勾

股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键.

B卷(共60分)

四、填空题(本大题共4小题,每小题6分，共24分.)

22.分解因式：//-b2-n=

【答案】仅2+3)S+2)S-2)

【解析】

【分析】

先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解.

【详解】/一户一12=仅2+3乂〃-4)=伊+3)9+2)9-2)

故答案为：(〃+3)S+2)S—2).

【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.

-仃_3丁+1、13

V*7Z7---------------------±--------

23.若数a使关于x的分式方程一+3的解为非负数，且使关于〉的不等式组43~12

"TJ'卜(八。)<0

的解集为y«0,则符合条件的所有整数。的积为

【答案】40

【解析】

【分析】

根据分式方程的解为正数即可得出a<5且a#3,根据不等式组的解集为yW0,即可得出a>0,找出0<aW5

且存3中所有的整数，将其相乘即可得出结论.

【详解】解:分式方程土二+，一=3的解为x=2且且

x-1l-x2

•••分式方程J+==3的解为非负数，

X—11-X

,•.令。且*L

a<5Ka^3.

y-3y+1

①

43

2（y-a）<0②

解不等式①，得y40.

解不等式②，得y<a.

y-3y+113

••・关于y的不等式组，4312的解集为y40,

Aa>0.

0<a<5且a#3.

又a为整数，则a的值为1,2,4,5.

符合条件的所有整数a的积为1x2x4x5=40.

故答案为：40.

【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为

y<0,找出a的取值范围是解题的关键.

24.如图，在平面直角坐标系中，点4-2,0)，直线/：y=3x+3与x轴交于点B,以SB为边作等边A4BA一

33

过点4作A4//X轴,交直线/于点B,,以4片为边作等边△444,过点4作A2B2/Ix轴,交直线I于点

息,以A2B2为边作等边AA2B2A，以此类推……，则点&)20的纵坐标是

【解析】

【分析】

如图，过Al作AiCLAB与C,过A2作A2CJAB于Ci,过A3作A3c2_LA2Bz于C2,先根据直线方程

与x轴交于点B(—1,0),且与x轴夹角为30。厕有AB=1,然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含

30。的直角三角形的性质，分别求的AnA2、A3、的纵坐标，进而得到A”的纵坐标，据此可得A2020的纵坐标,

即可解答.

【详解】如图，过Ai作AiCLAB与C,过A2作A2clJ.AB于C-过A3作A3c2_LA2B2于C2冼根据直线

方程与x轴交于点B（-l,0）,与y轴交于点D0旦）,

3

AOB=1,OD=2L1,

3

ZDBO=30°

由题意可得:NA山]B=NAzB2B1=30°,NB]AIB=NB2A2BI=60。

AZAIBBI=ZA2BIB2=90°,

23n

.".AB=l,AlBi=2AlB=2',A2B2=2A,B,=2,A3B3=2A3B2=2,...A„Bn=2AA,C=—AB=—xl,

22

Ai纵坐标为=—1）；

22

A2c尸立A|BI=3X2,，

22

人2的纵坐标为且*1+且、2|=且（2°+2|）=@*3=苴（22-1）；

22222

A3c2=Y^A2BZ=@X22,

22

A3的纵坐标为且Xl+@x2i+且x2?=@(2°+2i+22)=—x7=—(23-1)；

222222

由此规律可得：AnCn-l=—XZ"-'.

2

A„的纵坐标为^(2°+2'+22++2”T)=走(2"-1),

22

2O2O

.•.A2O2„=^(2-1),

故答案为:且（22020-1）

2

【点睛】

本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30。角的直角三角形的性

质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律.

25.已知抛物线y=-d+4x（如图）和直线必=2x+6.我们规定:当x取任意一个值时，x对应的函数值分

别为M和内•若X彳%，取M和内中较大者为她若％=%，记M=X=%.①当x=2时，〃的最大值

为4；②当b=—3时，使用＞%的X的取值范围是-1＜x＜3；③当力=—5时，使M=3的x的值是玉=1,

々=3；④当621时，〃随x的增大而增大.上述结论正确的是一（填写所有正确结论的序号）

【答案】②③④

【解析】

【分析】

根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可.

【详解】解:对于①：当x=2时，x=-22+4x2=4,%=2x2+b=4+。，显然只要。＞0,则M的值为

4+仇故①错误;

对于②:当。=—3时，在同一直角坐标系内画出y,上的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M,联立弘，上

的函数表达式，即_d+4x=2x—3,求得交点横坐标为3和一1,观察图形可知"＞必的x的取值范围是

-l<x<3,故②正确;

对于③:当b=—5时，在同一直角坐标系内画出凹，为的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M,

联立M，内的函数表达式，即—d+4x=2x—5，求得其交点的横坐标为1+V6和1-n，

故M=3时分类讨论：当x=—/+4x=3时,解得玉=3或％=1，当必=2元一5=3时，解得

七=4>1+逐(舍)，故③正确;

对于④:当/?21时，函数为之X