53模拟试卷初中数学八年级下册04专项素养综合全练(四)

专项素养综合全练(四)构造平行四边形解决四类问题类型一构造平行四边形证明线段相等1.【一题多解】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BG平分∠ABC且分别交AD、AC于点E,G,EF∥BC交AC于F,求证:AE=CF.类型二构造平行四边形证明角相等2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC>AD,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.类型三构造平行四边形证明线段的和差倍分关系3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB延长线上一点,BD=AB,E是AB的中点,求证:CD=2CE.4.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,D是AB上一点,AC=BD,P是CD的中点.求证:AP=125.如图,▱ABCD中,AB>AD,∠DAB与∠ADC的平分线交于点E,∠ABC与∠BCD的平分线交于点F,连接EF.证明:EF=AB-BC.类型四构造平行四边形证明两条线段不相等6.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线上一点,BD=CE,连接DE.求证:DE>BC.

答案全解全析1.证明证法一(转化法):如图所示,过E作EH∥CF交BC于H,∴∠3=∠C,∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠ABC+∠C=90°,∠ABD+∠BAD=90°,∴∠C=∠BAD,∴∠3=∠BAD.∵BG平分∠ABC,∴∠2=∠1.在△ABE和△HBE中,∠∴△ABE≌△HBE(AAS),∴AE=HE.∵EF∥BC,EH∥CF,∴四边形EHCF是平行四边形,∴HE=CF,∴AE=CF.证法二(全等法):过E作EN⊥AB于N,过F作FM⊥BC于M,如图所示,∴∠ANE=∠CMF=90°,∵BG是∠ABC的平分线,AD⊥BC,∴EN=ED.∵AD⊥BC,FM⊥BC,∴FM∥ED,∠C+∠2=90°.∵EF∥DM,∴四边形EDMF是平行四边形,∴ED=MF,∴EN=MF.∵∠BAC=∠1+∠2=90°,∠C+∠2=90°,∴∠1=∠C.在△ANE和△CMF中,∠1=∠∴△ANE≌△CMF(AAS),∴AE=CF.2.证明作DE∥AB交BC于E,如图所示,则∠B=∠DEC,∵∠B=∠C,∴∠DEC=∠C,∴DE=DC,∵AB=CD,∴AB=DE,∴四边形ABED是平行四边形,∴∠A=∠BED,AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC.∵∠BED=∠C+∠EDC,∴∠A=∠ADE+∠EDC=∠ADC.3.证明如图所示,延长CE至点F,使EF=CE,连接AF,BF,∵AE=BE,∴四边形ACBF是平行四边形.∴BF=AC=AB=BD.∴∠ABC=∠ACB,∴∠FBC=180°-∠ACB=180°-∠ABC=∠DBC,又∵BC=BC,∴△FBC≌△DBC,∴CD=CF=2CE.4.证明延长AP至点F,使得PF=AP,连接BF,DF,CF,如图,∵P是CD的中点,∴CP=DP,∵PF=AP,∴四边形ACFD是平行四边形,∴DF=AC=BD,DF∥AC,∴∠FDB=∠BAC=60°,∴△BDF是等边三角形,∴BF=DF=AC,∠ABF=60°,∴∠ABF=∠BAC,在△ABC和△BAF中,AB∴△ABC≌△BAF(SAS),∴AF=BC,∴AP=12AF=15.证明延长DE交AB于M,如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,CD∥AB,∴∠ADC+∠BAD=180°,∠CDM=∠AME,∵AE、DE分别平分∠DAB、∠ADC,∴∠ADE+∠DAE=90°,∠ADM=∠CDM,∴∠AED=90°,∠ADM=∠AMD,∴AD=AM=BC,∴ED=EM,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠BCD,∵AE平分∠DAB,CF平分∠BCD,∴∠DAE=∠BCF,同理可得∠ADM=∠CBF=∠ABF,在△ADE和△CBF中,∠∴△ADE≌△CBF(ASA),∴DE=BF,∴EM=BF,∵∠AMD=∠ADM=∠ABF,∴EM∥BF,∴四边形EFBM是平行四边形,∴EF=MB,∵BM=AB-AM=AB-BC,∴EF=AB-BC.6.证明如图,过点D作DF∥BC,且DF=BC,连接EF,CD,CF,∴四边形DBCF是平行四边形,∴BD=CF,∠B=∠DFC,∵BD=CE,∴CE=CF,∴∠CEF=∠CFE.∵