4.1.1认识三角形（备作业）2021-2022学年七年级数学下册(北师大版)

4.1.1认识三角形一、单选题1．在△ABC中，∠A+∠B+∠C的度数为（

）A．90° B．180° C．360° D．不确定【答案】B【分析】直接根据三角形内角和定理解答即可．【解析】解:∠A+∠B+∠C=180°故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180°是解本题的关键．2．直角三角形中有一锐角为，则另一锐角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直角三角形的两个锐角互余直接计算即可得到答案.【解析】解：直角三角形中有一锐角为，根据直角三角形中两个锐角互余，∴另一锐角为：．故选：【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.3．下列条件中，能构成钝角的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角形内角和及选项中各角之间的关系，解出最大角的度数即可确定三角形形状，得出答案．【解析】解：A选项中，，锐角三角形；B选项中，，则，直角三角形；C选项中，，则，，钝角三角形；D选项中，，则，，直角三角形；故选：C．【点睛】题目主要考查三角形内角和及通过各角之间的关系确定角的度数，通过各角关系确定最大角的度数，从而确定三角形形状是解题关键．4．如图所示，图中小椭圆圈里的表示（

）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】根据三角形的分类：等边三角形属于等腰三角形即可得到答案．【解析】解：∵等边三角形是特殊的等腰三角形，∴A表示的是等边三角形，故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的分类，解题的关键在于能够熟练掌握三角形的分类方法．5．在中，若，则的补角的度数是（

）A．36° B．72° C．108° D．144°【答案】C【分析】依据，，即可得出，进而得到的度数，可得的补角．【解析】解：∵，由三角形的内角和可知：，∴，∴，∴的补角等于108°，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及补角的概念，解题时注意：三角形内角和是180°．6．从长度分别为、、、的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】首先求得其中每三根组合的所有情况，再根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可．【解析】任取三根，①1cm，2cm，3cm，

2

+

1=

3，①不能构成三角形；②2cm，3cm，4cm，4

2<

3<

2

+4，②能构成三角形；③1cm，3cm，4cm，1+

3

=

4，③不能构成三角形；④1cm，2cm，4cm，4

2>

1，④不能构成三角形，综上所述，只有一组能构成三角形，故选：A．【点睛】本题主要考查三角形成立的条件，属于基础题，熟练掌握三角形成立的条件是解题的关键．7．三角形的三边长分别为3，，8，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行求解即可．【解析】解：∵三角形的三边长分别为3，，8，∴，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，故选D．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．如图，，，则的度数是（

）A．55° B．35° C．45° D．25°【答案】D【分析】根据三角形的内角和定理和对顶角相等求解即可．【解析】解：设AD与BC相交于O，则∠COD=∠AOB，∵∠C+∠COD+∠D=180°，∠A+∠AOB=∠B=180°，∠C=∠A=90°，∴∠D=∠B=25°，故选：D．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握三角形的内角和是180°是解答的关键．9．若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（

）A． B．C． D．0【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到abc<0，bac＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算．【解析】根据三角形的三边关系，得abc<0，bac<0∴原式=故选B．【点睛】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．10．已知△ABC中，∠A＝30°，则下列结论正确的是（）A．0°＜∠B＜60°B．90°＜∠B＜150C．0°＜∠B＜60°或90°＜∠B＜150°D．以上都不对【答案】D【分析】根据三角形的内角和定理进行解答便可【解析】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝30°，∴∠B+∠C＝150°，∴0°＜∠B＜150°，故选D．【点睛】此题考查三角形的内角和定理，难度不大11．已知，的边于点，边，那么等于（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】如图，由，可得，由，可求，，由可能是也可能是，可得答案．【解析】解：如图，，，，，，可能是也可能是，等于或．故选：．【点睛】本题考查平行线性质，垂直性质，三角形内角和，补角性质，掌握平行线性质，垂直性质，三角形内角和，补角性质是解题关键．12．如图，已知P是△ABC内任一点，AB＝12，BC＝10，AC＝6，则PA+PB+PC的值一定大于（

）A．14 B．15 C．16 D．28【答案】A【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论.【解析】解：如图所示，在△ABP中，AP+BP>AB，同理:BP+PC>BC，AP+PC>AC，以上三式左右两边分别相加得到:2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,即PA+PB+PC>(AB+BC+AC)，∴PA+PB+PC>×（12+10+6）=14，即PA+PB+PC>14故选A.【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论;二、填空题13．三角形三个内角度数之比为，其中最大的角度数为________．【答案】【分析】要分配的重量是一个三角形的内角和，然后将按照分配，最大得到的角占其中3份，据此求解即可．【解析】解：，∴最大的角度数为，故答案是：．【点睛】本题考查了比的应用和三角形内角和，熟悉相关性质是解题的关键．14．下面每组里面3条线段可以围成三角形的是：①8、4、5；②5、4、9；③4、4、8；④5、12、13__________．（填序号）【答案】①④##④①【分析】根据三角形两边之和大于第三边对各组进行判断即可．【解析】解：①，可以围成三角形；②，不可以围成三角形；③，不可以围成三角形；④，可以围成三角形；故答案为：①④．【点睛】此题考查了三角形三边关系的问题，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边．15．如图，△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△A′B′C≌△ABC，则∠BCA′：∠BCB′的值为_____．【答案】1：4【分析】根据题意可先求出∠ACB的度数，然后根据全等的性质分别求出∠BCA′，∠BCB′的值即可得出结论．【解析】解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，∴∠ACB＝180°×＝100°，∵△A′B′C≌△ABC，∴∠A′CB′＝∠ACB＝100°，∴∠BCB′＝180°﹣∠ACB＝180°﹣100°＝80°，∠BCA′＝∠ACB﹣∠A′CB′＝100°﹣80°＝20°，∴∠BCA′：∠BCB′＝20°：80°＝1：4．故答案为：1：4．【点睛】本题考查全等三角形的性质，理解并熟练运用全等三角形的性质是解题关键．16．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝60°，则这个三角形为__________三角形；若∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，这个三角形为____________三角形．（按角的分类填写）【答案】

直角

钝角【分析】分别求出三角形ABC三个内角的度数即可得到答案．【解析】解：∵在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，∴∠C=180°∠A∠B=90°，∴△ABC是直角三角形；∵在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，∴可设∠A=x，∠B=3x，∠C=5x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+3x+5x=180°，∴x=20°，∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，∴这个三角形是钝角三角形，故答案为：直角；钝角．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟知三角形内角和定理是解题的关键．17．在ABC中，∠A﹣∠B＝30°，∠C＝4∠B．则∠B的度数是______．【答案】25°【分析】根据三角形内角和定理及已知，可得关于∠B的方程，解方程即可求得∠B的度数．【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C＝4∠B，∴∠A+5∠B=180°，∵∠A﹣∠B＝30°，∴∠A=∠B+30°，∴∠B+30°+5∠B=180°，解得：∠B=25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解一元一次方程方程，关键是掌握三角形内角和定理，应用方程思想求解．18．用木棒钉成一个三角架，两根小棒长分别是7cm和10cm，第三根小棒长为xcm，则x的取值范围是___．【答案】3＜x＜17【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定出第三边的取值范围即可得出答案．【解析】解：设第三根小棒的长为xcm，根据三角形的三边关系可得：107＜x＜10+7，即3＜x＜17，故答案为3＜x＜17．【点睛】本题考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．19．在中，，则这个三角形是__________三角形（填“锐角”或“直角”或“钝角”）．【答案】钝角【分析】根据三角形内角和定理和题目中三个内角的关系可以求得各个内角的度数，从而可以解答本题．【解析】∵在△ABC中，，∠A+∠B+∠C=180°，设∠A=x，则x+x+3x=180°，解得，x=36°，∴∠A=36°，∠B=36°，∠C=108°，∴这个三角形是钝角三角形，故答案为：钝角．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形内角和解答．20．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_____．【答案】18°或36°【解析】试题分析：根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°108°108÷3°=36°，72°÷（1+3）=18°，由此比较得出答案即可．本题解析：当的角是另一个内角的3倍时,最小角为，当的角是另一个内角的3倍时,最小角为因此,这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或.故答案为18°或36°.点睛：本题考查三角形内角和定理,掌握三角形的内角和为,是解决问题的关键.三、解答题21．根据下列条件,判断△ABC的形状.(1)∠A=40°,∠B=80°;(2)∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7.【答案】(1)△ABC是锐角三角形(2)△ABC是钝角三角形.【解析】试题分析：（1）根据三角形的内角和是180°求出∠C的度数即可判断△ABC的形状；（2）因为∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，所以可设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝7x，根据三角形内角和是180°列出方程求出∠A、∠B、∠C的度数，即可判断△ABC的度数．试题解析：（1）∠C＝180°－∠A－∠B＝60°,因为40°<60°<80°<90°，所以△ABC是锐角三角形．(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝7x，则2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.所以∠C＝7×15°＝105°.所以△ABC是钝角三角形.点睛：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．22．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于多少度？【答案】【分析】根据图形和全等三角形的性质得出∠1＝∠C，∠D＝∠A＝54°，∠E＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理求出即可．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠1＝∠C，∠D＝∠A＝54°，∠E＝∠B＝60°，∴∠1＝180°﹣∠E﹣∠F＝66°．【点睛】此题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理的运用，熟练掌握，即可解题．23．根据下列条件，求，和的度数．【答案】（1），，；（2），，；（3），，【分析】（1）由题意根据∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C，∠A=∠B30°可得出∠B的度数，进而得出结论；（2）由题意根据∠A+∠B+∠C=180°，∠B=2∠C6°，∠A=∠B+∠C可得出∠B的度数，进而得出结论；（3）根据题意设∠A=4x，∠B=3x，∠C=2x，再根据∠A+∠B+∠C=180°求出x的值，进而即可得出结论．【解析】解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C，∠A=∠B30°，∴∠B30°+∠B+∠B=180°，解得∠B=70°，∴∠B=∠C=70°，∠A=40°；（2）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，∴∠B+∠C=90°，∠A=90°，∵∠B=2∠C6°，∴3∠C6°=90°，解得∠C=32°，∴∠B=2×32°6°=58°，∴∠A=90°，∠B=58°，∠C=32°；（3）∵∠A：∠B：∠C=4：3：2，∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=2x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴4x+3x+2x=180°，解得x=20°，∴∠A=4x=80°，∠B=3x=60°，∠C=2x=40°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和是180°并运用方程思维是解答此题的关键．24．根据下列条件，求中，的大小：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）79°

（2）72°

（3）30°

（4）60°【分析】（1）根据三角形内角和等于180°进行计算即可.（2）三角形内角和等于180°，根据各角比例计算即可.（3）由三角形内角和等于180°可知∠B+∠C的度数．根据∠B∠C=15°解方程组即可求出∠C的度数.（4）由三个角相等，再根据三角形内角和等于180°可知∠C的度数.【解析】（1）∵，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°65°36°=79°，（2）∵；∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=（∠A+∠B+∠C）=36°，∴∠C=36°=72°，（3）∵∠A=105°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=75°，∵，∴2∠C=60°，∴∠C=30°，（4）∵．∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=（∠A+∠B+∠C）=60°，【点睛】本题考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键.25．如果三角形的三个内角分别是，，，求：（1）、满足的关系式；（2）当时，的值；（3）当时，的值．【答案】（1）；（2）45；（3）60【分析】根据三角形内角和定理可得x+2y＝180，可得x和y满足的关系式，再将x＝90和y＝60分别代入，即可求得y的值和x的值．【解析】解：（1）由三角形内角和定理可得：x+2y＝180；（2）当x＝90时，90+2y＝180，解得：y＝45；（3）当y＝60时，x+120＝180，解得：x＝60．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用以及三角形的内角和定理，关键是由三角形内角和定理得到关于x、y的二元一次方程．26．（1）若一个三角形三边分别为，3，4，求x的取值范围；（2）若一个三角形两边长为6和8，求最长边x的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出关于x的不等式，求解即可；（2）根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行求解即可．【解析】解：（1）∵一个三角形三边分别为，3，4，∴，解得；（2）一个三角形两边长为6和8，∴最长边x的取值范围为．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用和解不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握三角形三边的关系．27．已知的三边长均为整数，的周长为奇数．（1）若，，求AB的长．（2）若，求AB的最小值．【答案】（1）7或9；（2）6．【分析】（1）根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为奇数即可得出结论；（2）根据AC﹣BC=5可知AC、BC中一个奇数、一个偶数，再由△ABC的周长为奇数，可知AB为偶数，再根据AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值．【解析】（1）∵由三角形的三边关系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：8﹣2＜AB＜8+2，∴6＜AB＜10，又∵△ABC的周长为奇数，而AC、BC为偶数，∴AB为奇数，故AB=7或9；（2）∵AC﹣BC=5，∴AC、BC中一个奇数、一个偶数，又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数，∴AB＞AC﹣BC=5，∴AB的最小值为6．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．28．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．（1）如图（1），若∠DCE＝33°，则∠BCD＝，∠ACB＝．（2）如图（1），猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．（3）如图（2），若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的数量关系为．【答案】（1）57°，147°；（2）∠ACB＝180°－∠DCE，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE＝120°【分析】（1）根据角的和差定义计算即可．（2）利用角的和差定义计算即可．（3）利用特殊三角板的性质，角的和差定义即可解决问题．【解析】解：（1）由题意，；；故答案为：57°，147°．

（2）∠ACB＝180°－∠DCE，

理由如下：∵

∠ACE＝90°－∠DCE，∠BCD＝90°－∠DCE，∴

∠ACB＝∠ACE＋∠DCE＋∠BCD＝90°－∠DCE＋∠DCE＋90°－∠DCE＝180°－∠DCE．

（3）结论：∠DAB+∠CAE=120°．理由如下：∵∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠BAC+∠CAE=∠DAC+∠EAB