专题03几何图形中动点问题

二轮复习【中考冲刺】2023年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题03——几何图形中动点问题（安徽专用）1.（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则【答案】1【分析】取AC的中点T，连接DT、MT，利用三角形的中位线定理求出DT的值，再由直角三角形斜边上中线的性质求出MT，并确定点M的运动轨迹，然后由DM≥TM-DT即可获得结论．【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT、MT，∵D是AB的中点，T是AC的中点，∴AD=BD,AT=CT，∴DT=1∵CM⊥AF，∴∠AMC=90°，∴TM=1∵点F为射线CB上一动点，CM⊥AF，即∠AMC=90°，∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，∴DM≥TM-DT=3-2=1，∴DM的最小值为1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边上的中线解决问题．2．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中，点A0,3，C4,0，点E、E分别是线段AC、OC上动点，且四边形（1）DBDE（2）若△BCD是等腰三角形，CF=________．【答案】

43

32或或【分析】（1）分别连接BE、DF，两线交于点M，连接CM，由矩形性质及直角三角形斜边上中线的性质可得CD⊥CF；则易证明△ABD∽△CBF，从而可求得结果的值；（2）分三种情况考虑：BC=CD=3；BD=BC=3；BD=CD，利用（1）中相似三角形的性质及等腰三角形的性质即可求得CF的长．【详解】（1）分别连接BE、DF，两线交于点M，连接CM，如图．由点A、C的坐标知，OA=3，OC=4，∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC=4，BC=OA=3，∠BCO=∠ABC=90°．∵四边形DEFB是矩形，∴∠DBF=∠DEF=90°，DE=BF，DM=FM=EM=BM．∴∠DBC+∠CBF=∠ABD+∠DBC．∴∠ABD=∠CBF．∵CM是Rt△BCE斜边∴CM=EM=BM．∴DM=CM=FM．∴∠MDC=∠MCD，∠MCF=∠MFC．∵∠MDC+∠MCD+∠MCF+∠MFC=180°，∴∠MCD+∠MCF=90°，∴CD⊥CF．∴∠DCF+∠DBF=180°，∴∠BDC+∠CFB=360°−(∠DCF+∠DBF)=180°．∵∠BDC+∠BDA=180°，∴∠BDA=∠CFB．∵∠ABD=∠CBF，∴△ABD∽△CBF．∴DBBF∴DBDE故答案为：43（2）①当BC=CD=3时；由勾股定理得AC=A∴AD=AC−CD=2，由（1）知：△ABD∽△CBF，∴ADCF∴CF=3②当BD=BC=3时；过点B作BN⊥CD于N，如图；则CD=2DN．∵12∴BN=AB由勾股定理得：DN=B∵ADCF∴CF=3③当BD=CD时，则点D在线段BC的垂直平分线上，如图；∴DG∥AB，∴CDAD即点D是AC的中点．∴AD=1∴CF=3综上所述，CF的长为32或2120或故答案为：32或2120或【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．本题具有一定的综合性，注意分类讨论．3．（2022·安徽·统考二模）如图，点E在边长为2的正方形ABCD内，且AE⊥BE，点F是边AD的中点，点G是边CD上的一动点，连接EG，FG．（1）当，且DG=GC时，四边形AEGF的面积为_________；（2）EG+FG的最小值为_________．【答案】

1

10-1##【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，得E为正方形ABCD的中心，由DG=GC，证得G，E，H三点共线，进而推出四边形AFGE为平行四边形，最后求得面积；（2）由AE⊥BE，可知点E在以AB为直径的圆O上运动，作点F关于CD的对称点F'，连接F'O，线段【详解】解：（1）取AB的中点H，连接EH，∵AE⊥EB，AE=EB，∴EH垂直平分AB，E为正方形ABCD的中心，又DG=GC，∴G，E，H三点共线，∴GH⊥AB，∵AD⊥AB，∴AD∥EG，∵F，E分别是AD，GH的中点，∴GE=AF，∴四边形AFGE为平行四边形，∴四边形AEGF的面积为1×1=1．故答案为：1；（2）由AE⊥BE，可知点E在以AB为直径的圆O上运动，作点F关于CD的对称点F'，连接F'∵F'∴FG+GE=F'G+GE≥F'当F'，G，E三点共线时，FG+GE在RtAOFOF∴F'E=即FG+GE最小值为10-1故答案为：10-1【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，最短路径问题，以及动点轨迹的探究，能够准确地判断动点的轨迹和找出最短路径是解决问题的关键．4．（2022·安徽滁州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，点P，Q分别是AB，AD的中点，点E是CD边上一个动点，连接PE，将四边形PBCE沿PE折叠，得到四边形PEFH．（1）若P，，Q三点在同一条直线上，则∠BPE的大小为______°；（2）若AB=2，则F，Q两点的连线段的最小值为______．【答案】

67.5

5【分析】（1）易得∠APQ=45°，利用翻折的性质得到∠BPE=∠HPE=67.5°；（2）连接，PE，PC，易证△PBC≌△PHF，得到PF=PC=5，PQ=2，当P，Q，F在同一条直线上时，FQ【详解】（1）如图1，易得∠APQ=45°，∴∠BPE=∠HPE=67.5°，故答案为：67.5；（2）如图2，连接，PE，PC，易证△PBC≌△PHF，∴PF=PC=5，PQ=当P，Q，F在同一条直线上时，FQ最小，最小值为5-故答案为：5-【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握翻折的性质是解题的关键．5．（2022·安徽·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E是AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB=30°，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P，直线PE交BD于点Q，当是直角三角形时，DF的长为___．【答案】1或3或3-【分析】根据矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，然后分两种情况讨论，①当∠DQE=90°时，分点P在矩形内部和矩形外部两种情形求解，②当∠DEQ=90°时，过点F作FM⊥AD于点M，设EM=a，则FM=a，根据DM=3a，求得DF【详解】∵四边形ABCD是矩形，，∵AB=2，∠ADB=30°．∴AD=23∵点E是边AD的中点，∴DE=3①如图2，当∠DQE=90°时，∵点E是AD的中点，∵PE⊥BD，∠ADB=30°．，由对称可得，EF平分∠PED，，是等腰三角形，，∵PE⊥BD，∠ADB=30°，DE=3，，∴EF=1，；如图3，∵PE⊥BD，∠ADB=30°．，由对称可得，PF=DF，EP=ED，EF平分∠PED，，，是等腰三角形，∵PE⊥BD，，∵PE⊥BD，∠ADB=30°．DE=3，，；∴DF的长为1或3；②当∠DEQ=90°时，如图4，∵EF平分∠PED，∴∠DEF=45°，过点F作FM⊥AD于点M，设EM=a，则FM=a，DM=3∴，，，综上所述，当是直角三角形时，DF的长为1或3或3-3，故答案为：1或3或3-3【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．6．（2022·安徽·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=10，AD=8，tan∠BCD=52，点O为AB的中点，点P为BC上一动点，在平面内沿OP将△BOP翻折得到△B′OP，连接B′C，则B′C【答案】8【分析】由沿OP将△OBP翻折得到△B′OP，可知OB=OB′=12AB=5，即B′的轨迹是以O为圆心，以5为半径的半圆，故当O、B′、C共线时，OC最小，此时B′C取得最小值；作出如图的辅助线，由tan∠BCD=tan∠EDC=52，先后求得DE、AE、【详解】解：∵沿OP将△OBP翻折得到△B′OP，∴OB=OB′=12AB=5，即B′的轨迹是以O∴当O、B′、C共线时，OC最小，此时B′C取得最小值；过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，如图：∵∠A=∠B=90°，∴四边形ABCE为矩形，∴AB=CE=10，AE=BC，AE∥BC，∴∠BCD=∠EDC，∴tan∠BCD=tan∠EDC=52，即CE∴DE=4，∴AE=BC=12，∴OC=52B′C长度的最小值为135=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了翻折变换、圆的相关知识、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造矩形．7．（2022·安徽合肥·合肥市西苑中学校考模拟预测）已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．①若BE＝1，那么CN的长___；②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长___．【答案】

32##1.5

2或##23【分析】①求出CE=BC-BE=3，证明△ABE∼△ECN，得出ABEC②如图，过点E作EF⊥AD于点F，则四边形ABEF是矩形，得出AB=EF=2，AF=BE，根据折叠的性质证明△EC'F∼△NC'D，得出C'DEF=DN【详解】①∵BE=1，，∴CE=BC-BE=3，∵EN⊥AE，∴∠AEB+∠CEN=180°-90°=90°，∵∠BAE+∠AEB=180°-∠B=180°-90°=90°，∴∠BAE=∠CEN，∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∼△ECN，∴ABEC=∴CN=3故答案为：32（2）如图，过点E作EF⊥AD于点F，则四边形ABEF是矩形，∴AB=EF=2，AF=BE，根据折叠的性质得：CE=C'E，CN=∴∠NC∵∠C∴∠EC∵∠EFC∴△EC∴C∴C∵AB∵CN∴C∴C设BE=x，则C'F=4-2x，∴DN4-2x=CN4-x=x∴CN+DN=x(2-x)+x(4-x)解得：或x=23故答案为：2或．【点睛】本题考查矩形的综合问题，掌握相似三角形的判定与性质以及折叠的性质是解题的关键．8．（2021·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．（1）HE：AH＝______；（2）S△AFE：S正方形ABCD＝______．【答案】

1：4

5：12【分析】（1）根据翻折的性质得到∠GHE＝∠BHE＝90°，再根据∠HEB＝∠BEA，从而证明△HEB∽△BEA，得出HEBE=BEAE，设正方形边长为2x，则BE＝x，AB＝2x，由勾股定理求出AE，从而求出（2）由S△AFE＝12（S正方形ABCD﹣S△FCE），正方形ABCD的边长为2x，FG＝DF＝m，则EF＝x+m，CF＝2x﹣m，，由勾股定理求出m【详解】解：（1）∵AE为对称轴，∴△AEG≌△AEB，BG⊥AE，∴∠GHE＝∠BHE＝90°，又∵∠HEB＝∠BEA，∴△HEB∽△BEA，∴HEBE在正方形ABCD中，设边长为2x，∵点E是BC的中点，则BE＝x，AB＝2x，∴AE＝AB∴HE＝BE∴AH＝AE﹣HE＝5x-∴HE：AH＝55故答案为：1：4；（2）设正方形ABCD的边长为2x，则S正方形ABCD＝4x2，∵S△AFE＝12（S正方形ABCD﹣S△FCE），CE＝BE＝GE＝x设FG＝DF＝m，则EF＝x+m，CF＝2x﹣m，在△EFC中，∵EF2＝CE2+CF2，∴（m+x）2＝（2x﹣m）2+x2，解得：m＝23∴CE＝2x﹣m＝43∴S△CFE＝12×CE×CF＝12×∴S△AFE＝12×（4x2﹣）＝53∴S△AFE：S正方形ABCD＝53故答案为：5：12．【点睛】本题考查轴对称性质，三角形全等，三角形相似判定与性质，正方形性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握上述知识是解题关键．9．（2021·安徽·统考二模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE=5，则正方形CEFG（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为______．【答案】

5

3【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE=42+x2，根据S△DEC+S△DFG【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝2，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE=5∴AE=B∴DE＝AD﹣AE＝2﹣1＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+22＝5，∴正方形CEFG的面积＝EC2＝5．故答案为5．（2）如图，设DE=x，则CE=∵S△DEC∴S△DFG∵12∴当x=1时，的面积最小，且最小值为32．【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．10．（2021·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考一模）如图，等腰Rt△ABC的一个锐角顶点A是⊙O上的一个动点，∠ACB=90°，腰AC与斜边AB分别交⊙O于点E、D，分别过点D、E作⊙O的切线交于点F，且点F恰好是腰BC上的点，连接OC、OD、OE，若⊙O的半径为4，则【答案】2【分析】设点G为EF中点，分别连接、OG、OD；根据圆的对称性，得OD=OE=OA=4；根据等腰直角三角形性质，得∠EAD=45°，再根据圆周角和圆心角的性质，得∠DOE=2∠EAD=90°；再根据切线和正方的性质，通过证明四边形ODFE为正方形，得EF，根据直角三角形斜边中线性质，得；通过勾股定理计算的OG，再通过三角形边角关系的性质分析，即可得到答案．【详解】如图，设点G为EF中点，分别连接、OG、OD∴OD=OE=OA=4∵等腰RtΔABC，∠ACB=90°∴∠CAB=45°，即∠EAD=45°∴∠DOE=2∠EAD=90°∵分别过点D、E作⊙O的切线交于点F∴∠OEF=∠ODF=90°∴四边形ODFE为正方形∴EF=OE=4∵点F恰好是腰BC上的点∴∠ECF=∠ACB=90°∴CG=EG=FG=1当点C、点G、点O不在一条直线上时，得△OCG∴OC<OG+CG∵OG=O∴OC<2当点C、点G、点O在一条直线上时，得OC=OG+CG=2∴OC的最大值为：2故答案为：25【点睛】本题考查了三角形、圆、勾股定理、切线、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、直角三角形斜边中线、圆周角、圆心角、切线、正方形、直角三角形斜边中线、勾股定理的性质，从而完成求解．11．（2021·安徽芜湖·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点D是边AC上的动点，过点D作DE⊥AB于E点．请探究下列问题：（1）若，则CD=_____；（2）若CD=3，设点F是边BC上的动点，连接FD、FE，以FD、FE为邻边作平行四边形，且使得顶点G恰好落在AC边上，则CF=_______．【答案】

43

【分析】(1)根据∠A的正弦值求出AD，根据勾股定理求出AC，相减即可；(2)根据EF∥DG可知EF⊥BC，利用三角函数即可求BF，进而求出CF．【详解】解：(1)∵∠C=90°，AB=10，BC=6，∴AC=A∴sinA∵DE⊥AB，∴sinA=DE∴AD=20∴CD=AC-AD=4故答案为：43(2)如图所示，四边形是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠BEF=∠A，∠EFB=∠C=90°，∵CD=3，∴AD=5，∵cosA∴AE=4，BE=ABAE=6，∵sin∠∴BFBE∴BF=，CF=BCBF=125；故答案为：125【点睛】本题考查了解直角三角形和平行四边形的性质，解题关键是熟练运用解直角三角形知识，恰当的找到直角三角形．12．（2021·安徽·统考模拟预测）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一动点，过点P作PE⊥PA，交直线BC于点E，若△PBE为等腰三角形，则PB的长为____．【答案】2,2【分析】分别讨论P点在线段DB两个端点、线段中点O点处、以及DO和BO之间的情况，根据角的关系判断其为三角形的可能情况以及边的关系，利用勾股定理以及线段的和差进行计算即可．【详解】解：由正方形的性质可知：DB=1①如图，当点P与点D重合时，此时点E与点C重合，且满足△PBE为等腰三角形，∴PB=DB=2②如图，当点P从点D运动到DB中点（不含端点）的过程中时，45∴0∵∠DBC∴∠PEB为钝角，∴△PBE不是等腰三角形，∴该情况不成立；③当P点运动到对角线的交点处时，此时E点与B点重合，不符合题意；当P点运动到与B点重合时，三角形不存在，即不符合题意；④如图，当点P从点O运动到点B的过程中时，∵∠DBC=45∴∠PBE=13若△PBE为等腰三角形，则有∠BPE=∠BEP=∵∠APE=9∴∠APD+∠BPE又∵∠OAP+∠APD=9∴∠OAP=∠BPE∴∠DAP=4∵∠ADP=4∴∠DPA=18∴DP=DA=1∴PB=2综上可得：PB的长为2或2-1故答案为：2或2-1【点睛】本题为几何中的动点问题，综合考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段的和差计算、角的计算等内容，要求学生熟练掌握计算公式并做到熟练运用，能分析图形里的边角关系，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想．13．（2021·安徽亳州·校联考一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．当△ABP≌△ADN时，则BP的长为_____．【答案】4【分析】在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，列出方程即可解决问题．【详解】解：∵△ABP≅△ADN时，将△ABP沿直线AP翻折；∴△ABP≅△ADN≅△AEP≅△AEN∴∠PAB=∠DAN=1在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5°，∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=2∴z+2∴z=42∴PB=42故答案为：42【点睛】本题考查翻折问题、全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．14．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连结BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE=5，则正方形CEFG的面积为________；（2）连结DF，DG，则△DFG面积的最小值为______．【答案】

（1）17

（2）6【分析】（1）先在Rt△ABE中，求得AE的长，再在Rt△EDC中求得EC2，进而求出面积；（2）如下图，延长AD交GF于点M，过点F作FQ⊥DM于点Q，过点G作GN⊥CD于点N，先证△DCE≌△QEF，△ECD≌△CGN，便可求出△DFG的面积，然后用配方法，可求出最小值情况．【详解】∵正方形ABCD，∴AB=AD=CD=4，∵∠A=∠D=90°，∴在Rt△ABE中，AE=B∴ED=ADAE=43=1；∴在Rt△EDC中，E∴正方形CEFG的面积为EC2=17.故答案为：17.（2）延长AD交GF于点M，过点F作FQ⊥DM于点Q，过点G作GN⊥CD于点N，∴∠FQE=∠EDC=90°∵正方形CEFG∴CE=EF，∠FEQ+∠DEC=90°，∠DEC+∠DCE=90°

∴∠FEQ=∠DCE在△DCE和△QEF中，{∴△DCE≌△QEF（AAS）∴FQ=DE同理可证△ECD≌△CGN，∴NG=DC∴在Rt△DEC中，CE2=DE2+CD2=DE2+16∴△DFG的面积为：S正方形CEFG∴△DFG的面积为1当DE=2时，此代数式有最小值为6，即△DFG的面积的最小值为6.故答案为：6．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理的计算，解题关键是将△DFG的面积表示为S正方形15．（2020·安徽·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为_____．【答案】43或1或1-63【分析】依据矩形的性质，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），进而得到OF=OE，DF=BE．设BE=DF=a，则AF=3a．当△AEF是等腰三角形时，分三种情况讨论．根据勾股定理列方程即可得到DF的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∴△BEO≌△DFO（AAS），∴OF＝OE，DF＝BE．设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．当△AEF是等腰三角形时，分三种情况讨论．①如图（1），当AE＝AF时，在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2，解得a=43②如图（2），当AE＝EF时，过点E作EH⊥AD于点H，则AH＝FH＝BE，∴AF＝2BE，∴3﹣a＝2a，解得a＝1．③如图（3），当AF＝EF时，∠FAE＝∠FEA．又∠FAE＝∠AEB，∴∠FEA＝∠AEB．过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AB＝1，EG＝BE＝a，∴FG＝3﹣2a．在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得（3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2，解得a1＝163,a2＝1+6综上所述，DF的长为43或1或163或1+故答案为：43或1或163或1+【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．当等腰三角形的顶角顶点不确定时，需要列出所有情况进行分类讨论．解题时注意同类型的分类讨论问题还包括旋转方向、直角三角形的直角顶点、全等或相似三角形的对应顶点不明确．16．（2022·安徽·校联考三模）四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，BD=10，AD=8，试探究：（1）如图1，当点E落在BC上时，CE的长度为__________；（2）如图2，O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设△EOF的面积为s，在矩形DEFG的旋转过程中，s的取值范围为__________．【答案】

27

【分析】（1）当点E落在BC上时，由勾股定理知CE=ED（2）如图，由旋转知，EF=AD=8，△EOF的面积=12×EF×EF边上的高，故找面积最值就转化成找EF边上高的最值．当点E落在BD上时，EF边上高的最小值为EO，此时s最小，当点D落在BD的反向延长线上时，EF边上高的最大值为OE'，此时s【详解】（1）AB=B当点E落在BC上时，CE=ED故答案为：27（2）当点E落在BD上时，s最小，此时，OE=1∴s=1当点D落在BD的反向延长线上时，s最大，E'∴s=1∴9≤s≤39．故答案为：9≤s≤39．【点睛】此题考查了图形的旋转和勾股定理，解题的关键是要有空间想象能力，正确作出辅助线求解．17．（2022·安徽马鞍山·统考二模）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB=∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D（1）______；（2）当线段CP最短时，△BCP的面积为_____．【答案】

90°

12【分析】（1）由∠ABP+∠PBC=90°得到∠BAP+∠ABP=90°，即可得到∠APB=90°；（2）首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可得到PCOC=25，即可得到S【详解】解：（1）∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°；故答案为：90°；（2）设AB的中点为O，连接OP，∵∠ABC=90°，则OP=OA=OB，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC=BO∴PC=OCOP=53=2．∴PCOC∵S∴S△BCP=2故答案为：125【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．18．（2022·安徽亳州·统考二模）在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF=BD=EC=k，连接FE（1）当k=2时，S△DEF：S△ABC=_______；

（2）取EF的中点G，连接GA、GC，则GA+GC的最小值为________【答案】

1：9

3【分析】（1）根据∠B=∠B，BF=BD,BA=BC可得△BFD∽△BAC，根据相似三角形的性质求解即可；（2）作A关于EF的对称点A'，连接GA'，AA'，AG+GC=A'G+GC≥A'C【详解】（1）∵∠B=∠B，BF=BD,BA=BC∴△BFD∽△BAC∴S△BFD：S△ABC=∵BD=EC=2,DE=BC-BD-EC=2∴BD=DE∴∴S△DEF：S△ABC=1：9（2）如图，作A关于EF的对称点A'，连接GA则A∴AG+GC=当A',G',C三点共线时，取得最小值A为EF中点，∴GE=GF∵AE=EA,BE=EC∴△AFG≌△CEG∴AG=GC∴GA=G∴∠G∴∠GA∵∠CAB=60°∴∠BA∵FA=F∠AFA∴AA∴即AG+GC的最小值为3故答案为：1:9，3【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．19．（2022·安徽合肥·统考一模）已知：如图，△ABC中，BA=BC，∠ABC=70°，AC=4，点D是平面内动点，且AD=1，将BD绕点B顺时针旋转70°得到BE，连接AE．（1）在点D运动的过程中，AE的最小长度为_________；（2）在点D运动的过程中，当AE的长度最长时，则∠DAB=____________【答案】

3

125°##125度【分析】（1）证明△ABD≌△CBE，当点E在线段AC上时，AE最小，据此求解即可；（1）当AE的长度最长时，点E在AC的延长线上，此时AE最大，证明△ABD≌△CBE，利用等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）连接CE，∵BD=BE，BA=BC，∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴CE=AD=1，当点E在线段AC上时，AE最小，AE最小值=41=3；（2）在点D运动的过程中，当AE的长度最长时，点E在AC的延长线上，此时AE最大值=4+1=5；同理可证△ABD≌△CBE，∴∠DAB=∠ECB，∵BA=BC，∠ABC=70°，∴∠BCA=55°，∴∠DAB=∠ECB=180°55°=125°；故答案为：（1）3；

（2）125°【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．20．（2022·安徽淮南·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么：（1）AE=_________；（2）CD+55BD【答案】

25

【分析】过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M，通过勾股定理及tanA=2即可求出AE、BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM=BE，然后通过锐角三角函数得出DH=55BD，进而可得出CD+55BD=CD+DH，最后利用CD+DH⩾【详解】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA=BEAE设AE=a，BE=2a，∵AB2=AE2+BE2，∴100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=25或a=−2∴AE=25故答案为：25（2）∵a=25∴B