浙江省新八年级暑期成果评价卷

浙江省新八年级暑期成果评价卷测试范围：三角形的初步认识、特殊三角形一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．3cm，3cm，6cm C．2cm，5cm，6cm D．5cm，6cm，7cm【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行分析即可．【解答】解：A、2+3＞4，能构成三角形，故此选项不符合题意；B、3+3＝6，不能构成三角形，故此选项合题意；C、2+5＞6，能构成三角形，故此选项不合题意；D、5+6＞7，能构成三角形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．2．（3分）要证明命题“若a＜b，则a2＜b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝﹣2，b＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝1【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断．【解答】解：当a＝1，b＝2时，题设a＜b，结论a2＜b2也成立，故A不能作为反例，符合题意；故选：A．【点评】本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．3．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝125°，则∠A的度数为（）A．70° B．80° C．90° D．55°【分析】根据角平分线得到两组相等的角，可各设为α和β，再在△BOC和△ABC中用内角和定理即可得出∠O和∠A的关系．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴设∠ABO＝∠CBO＝α，∠ACO＝∠BCO＝β，则有：α+β+∠O＝180°，2α+2β+∠A＝180°，∴α+β＝180°﹣∠O且α+β＝，∴180°﹣∠O＝，解得：∠A＝70°，故选：A．【点评】本题考查角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握三角形是内角和定理进行导角是解题关键．4．（3分）下列条件中，一定能判定两个等腰三角形全等的是（）A．顶角和底角对应相等 B．两腰上的高对应相等 C．两腰对应相等 D．一腰和这条腰上的中线对应相等【分析】根据全等三角形的判定方法可对A、B、C直接进行判断；对于一腰和这条腰上的中线对应相等的两等腰三角形，利用三角形全等的判定与性质证明两等腰三角形的顶角相等，然后根据全等三角形的判定方法判断两等腰三角形全等．【解答】解：A．顶角和底角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，所以A选项不符合题意；B．两腰上的高对应相等的两个等腰三角形不一定全等，所以B选项不符合题意；C．两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，所以C选项不符合题意；D．一腰和这条腰上的中线对应相等的两等腰三角形一定全等，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．5．（3分）如图，若△ABD≌△EBC，且AB＝3，BC＝5，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据△ABD≌△EBC，且AB＝3，BC＝5，可以得到BD和EB的长，然后即可得到DE的长，本题得以解决．【解答】解：∵△ABD≌△EBC，且AB＝3，BC＝5，∴AB＝EB＝3，BD＝BC＝5，∴DE＝BD﹣EB＝5﹣3＝2，故选：A．【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，要说明∠D′O′C′＝∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（）A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，利用SSS得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等．【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，在△ODC和△O′D′C′中，，∴△COD≌△C'O'D'（SSS），∴∠D′O′C′＝∠DOC（全等三角形的对应角相等）．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．7．（3分）三角形纸片ABC，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为AB中点．沿过点D的直线折叠，使点B与点A重合，折痕DE交AC于点E．已知DE＝，则AC的长是（）A． B． C．5 D．【分析】证明△ADE是等腰直角三角形，求出AD＝DB＝DE＝，即可解决问题．【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠C＝45°，由翻折的性质可知，AD＝DB，DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝∠A＝45°，∴DA＝DE＝，∴AB＝BC＝2AD＝5，∴AC＝AB＝5，故选：A．【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（3分）如图中，在△ABC中画出AC边上的高正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为E，纵观各图形，B、C、D都不符合高线的定义，A符合高线的定义．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图．9．（3分）如图，∠ABD＝∠CBD，现添加以下条件不能判定△ABD≌△CBD的是（）A．∠A＝∠C B．∠BDA＝∠BDC C．AB＝CB D．AD＝CD【分析】利用三角形全等的判定方法对各选项进行判断即可．【解答】解：∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴当添加∠A＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△CBD；当添加∠BDA＝∠BDC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△CBD；当添加AB＝CB时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CBD；当添加AD＝CD时，不能判断△ABD≌△CBD；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．10．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AC＝4BE，则下面结论正确的是（）A．S△ABC＝6S△BDE B．S△ABC＝7S△BDE C．S△ABC＝8S△BDE D．S△ABC＝9S△BDE【分析】根据题全等三角形的判定证得△DAC≌△DAE，得到AC＝AE，可得AE＝4BE，进而得到S△ADC＝S△ADE＝4S△BDE，即可得到S△ABC＝9S△BDE．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠DEA＝90°，∵AD＝AD，在△ACD与△AED中，，∴△DAC≌△DAE（AAS），∴AC＝AE，∵AC＝4BE∴AE＝4BE，∴S△ADC＝S△ADE＝AE•DE＝×4BE•DE＝4S△BDE∴S△ABC＝9S△BDE，故选：D．【点评】本题主要考查了角的平分线的定义，全等三角形的性质和判定，三角形的面积公式，根据三角形的性质证得AE＝4BE是解决问题的关键．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．（用“如果…那么…”的形式写出）【分析】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．【解答】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【点评】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．（4分）如图，△ABC中，D在AC上，E在BD上，则∠1，∠2，∠A之间的大小关系用“＜”表示为∠A＜∠1＜∠2．【分析】利用三角形的外角性质分析即可求解．【解答】解：∵∠1是△ABD的一个外角，∴∠1＝∠A+∠ABD，∴∠A＜∠1，∵∠2是△CDE的一个外角，∴∠2＝∠1+∠DCE，∴∠1＜∠2，∴∠A＜∠1＜∠2．故答案为：∠A＜∠1＜∠2．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用．13．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2，AB+AC＝8，则AC的长为5．【分析】根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式得到AC﹣AB＝2，根据题意列出方程组，解方程组得到答案．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，由题意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝2，整理得，AC﹣AB＝2，则，解得，，故答案为：5．【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．14．（4分）如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为90°．【分析】利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDF，则其对应角相等：∠3＝∠1，则∠2+∠3＝∠2+∠1＝90°．【解答】解：如图，在△ABC与△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SAS），∴∠3＝∠1，则∠2+∠3＝∠2+∠1＝90°．故答案为：90°．【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．15．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，点E，G分别是边AB，AC上的点，且DE＝DG，则∠AED+∠AGD＝180度．【分析】过点D作DH⊥AC于点H，由AD是△ABC的角平分线可得DF＝DH，可证出△DEF≌△DGH（HL），可得∠AGD＝∠DEF，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，∴∠DHG＝90°，∵DF⊥AB，∴∠DFE＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴DF＝DH，∵DE＝DG，∴△DEF≌△DGH（HL），∴∠AGD＝∠DEF，∴∠AED+∠AGD＝∠AED+∠DEF＝180°，故答案为：180．【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，证出△DEF≌△DGH．16．（4分）如图，在△ABC中，已知AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC＝23；若∠BEC＝70°，则∠A＝35°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式求出BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵△BCE的周长等于50，∴BE+EC+BC＝50，∴EA+EC+BC＝AC+BC＝50，∵AC＝27，∴BE＝50﹣27＝23，∵EA＝EB，∠BEC＝70°，∴∠EAB＝∠EBA＝∠BEC＝35°，故答案为：23；35°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．三．解答题（共8小题，满分66分）17．（6分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高，垂足为F；（3）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为多少？【解答】解：（1）∵∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+40°＝55°；（2）如图，EF即为△BED边BD上的高线；（3）∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，∴S△ABD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，∴S△BDE＝×S△ABC＝S△ABC，∵△ABC的面积为40，∴S△BDE＝×40＝10，∵BD＝5，∴×5•EF＝10，解得EF＝4；18．（6分）如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD和A′D′分别是边BC和B′C′上的中线，且AD＝A′D′．求证：∠C＝∠C′．【分析】依据BD＝B'D'，AB＝A'B'，AD＝A'D'，即可判定△ABD≌△A'B'D'，再根据∠B＝∠B'，AB＝A'B'，BC＝B'C'，可判定△ABC≌△A'B'C'，由全等三角形的性质可得出结论．【解答】证明：∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，BC＝B'C'，∴BD＝B'D'，在△ABD和△A'B'D'中，，∴△ABD≌△A'B'D'（SSS），∴∠B＝∠B'，在△ABC和△A'B'C'中，，∴△ABC≌△A'B'C'（SAS），∴∠C＝∠C′．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ABD≌△A′B′D′是解此题的关键．19．（7分）将长度为2n（n≥4，n是自然数）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，三边的长记为a、b、c，且满足a≤b≤c．（1）就n＝4，5，6的情况，分别写出所有满足题的（a，b，c）．（2）有人根据（1）中的情况，猜想到若铅丝的长度为2n（n为自然数，且n≥4时，（a，b，c）的个数一定为n﹣3，这个猜想正确吗？请你对n＝12时的情况进行验证．【分析】（1）根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可直接写出符合条件的三角形．（2）列举出所有符合条件的三角形，即可解答【解答】解：（1）当n＝4时，有（2，3，3）；当n＝5时，有（2，4，4），（3，3，4）；当n＝6时，有（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）．（2）这个猜想不正确，当n＝12时，a+b+c＝24，且a+b＞c，a≤b≤c，得8≤c≤11，即c＝8，9，10，11，故可得（a，b，c）共12组：A（2，11，11），B（3，10，11），C（4，9，11），D（5，8，11），E（6，7，11），F（4，10，10），G（5，9，10），H（6，8，10），I（7，7，10），J（6，9，9），K（7，8，9），L（8，8，8）．∴12≠12﹣3＝9，∴这个猜想不正确．【点评】本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数，难度适中．20．（8分）如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠A＝100°，求∠BGC的度数．【分析】先利用角平分线的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC与∠ACB和的度数，再利用三角形的外角和内角的关系得结论．【解答】解：∵BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABE＝ABC，∠ACF＝ACB．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝80°．∵∠BGC＝∠ABE+∠BFC，∠BFC＝∠A+∠ACF，∴∠BGC＝∠ABE+∠A+∠ACF＝∠A+ABC+ACB＝∠A+（∠ABC+∠ACB）＝100°+×80°＝140°．答：∠BGC的度数是140°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及推论，掌握“三角形的内角和是180°”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”及角平分线的定义是解决本题的关键．21．（8分）如图，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．（1）求证：AB∥CD；（2）直线EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，试判断OE与OF是否相等，并说明理由．【分析】（1）∠COD与∠AOB是对顶角，根据SAS可证明△OAB≌△OCD，由全等三角形的性质得到∠A＝∠C，即可判定AB∥CD；（2）在△OAB≌△OCD的基础上证明△EOB≌△FOD．再根据全等三角形的性质得OE＝OF．【解答】（1）证明：在△OAB与△OCD中，，∴△OAB≌△OCD（SAS），∴∠A＝∠C，∴AB∥CD；（2）解：OE＝OF，理由如下：由（1）知，△OAB≌△OCD，∴∠B＝∠D，OB＝OD，在△EOB与△FOD中，∴△EOB≌△FOD（ASA），∴OE＝OF．【点评】本题考查了全等三角形的判定及其性质，通过全等三角形证明线段相等是非常重要的方法，注意掌握应用．22．（9分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）求证：ED⊥EC；（2）若M是线段DC的中点，连接AM、BM．求证：AM＝BM．【分析】（1）由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△BEC，可得∴∠AED＝∠BCE，由余角的性质可得结论；（2）由全等三角形的性质可得AD＝BE，∠BEC＝∠ADE，可证△DEC是等腰直角三角形，可得DM＝CM＝EM，∠1＝∠CEM＝45°，由“SAS”可证△ADM≌△BEM，可得AM＝BM．【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，∴ED＝CE，在Rt△ADE和Rt△BEC中，，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），∴∠AED＝∠BCE，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC；（2）如图，连接EM，∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADE，∵DE＝EC，∠DEC＝90°，∴△DEC是等腰直角三角形，又∵M是线段DC的中点，∴DM＝CM＝EM，∠1＝∠CEM＝45°，∴∠ADM＝∠BEM，在△ADM和△BEM中，，∴△ADM≌△BEM（SAS），∴AM＝BM．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．23．（10分）如图，将两个三角形纸板△ABC和△DBE摆放，连接AD，DC，CE．已知∠DBA＝∠CBE，∠BDE＝∠BAC，且AC＝DE＝6．（1）求证：△ABC≌△DBE；（2）若DA＝DC＝6，且∠EDB＝∠CDB．①求∠BED的度数；②若EC∥AB，直接写出S△DEC的值．【分析】（1）先证明∠DBE＝∠ABC，则可根据“AAS”判断△ABC≌△DBE；（2）①先由△ABC≌△DBE得到∠BCA＝∠BED，BC＝BE，再证明△ADC为等边三角形得到∠ACD＝60°，接着证明△DBC≌△DBE得到∠BCD＝∠BED，所以∠BCD＝∠BCA＝∠ACD＝30°，从而得到∠BED的度数；②延长CB交AD于F点，如图，则根据等边三角形的性质得到CF⊥AD，于是可计算出DF＝3，CF＝3，先证明DB垂直平分CE，则利用CE∥AB得到DB⊥AB，再判断△ABD和△CBE都是等腰直角三角形，所以BF＝DF＝3，则BC＝3﹣3，然后根据三角形面积公式，利用S△DEC＝2S△BDC+S△BCE进行计算即可．【解答】（1）证明：∵∠DBA＝∠CBE，∴∠DBA+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，即∠DBE＝∠ABC，在△ABC和△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（AAS）；（2）解：①∵△ABC≌△DBE，∴∠BCA＝∠BED，BC＝BE，∵DA＝DC＝AC＝6，∴△ADC为等边三角形，∴∠ACD＝60°，在△DBC和△DBE中，，∴△DBC≌△DBE（SSS），∴∠BCD＝∠BED，∴∠BCD＝∠BCA＝∠ACD＝30°，∴∠BED＝30°；②延长CB交AD于F点，如图，∵△ADC为等边三角形，CF平分∠ACD，∴CF⊥AD，∴DF＝AD＝3，∴CF＝DF＝3，∵DE＝DC，BE＝BC，∴DB垂直平分CE，∵CE∥AB，∴DB⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠CBE＝90°，∴△ABD和△CBE都是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝3，∴BC＝CF﹣BF＝3﹣3，∵S△BDC＝×3×（3﹣3）＝，S△BCE＝×（3﹣3）2＝18﹣9，∴S△DEC＝2S△BDC+S△BCE＝9﹣9+18﹣9＝9．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等边三角形的判定与性质和三角形的面积．24．（12分）如图，在△ABD中，∠BAD＝∠BDA，点E，C在BD的延长线上，连接AC，AE