专题03勾股定理的解决折叠问题（题型与解法）

专题03勾股定理解决折叠问题折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理等知识进行解答。此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。概括地说，这类问题的解题策略就是：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数，根据勾股定理列方程求解.进而以数解形，将问题顺利解决.1．如图，已知长方形沿着直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，则的长为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】∵四边形为长方形，∴，∴．由折叠的性质可知，，∴，∴．设，则，在中，，∴，解得：，∴．故选B．【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．2．如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：四边形是矩形，，，是翻折而成，，，是直角三角形，，在中，，故选：B．【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．3．如图所示，把矩形纸条沿，同时折叠，，两点恰好落在边的点处，若的度数恰好为，，，则矩形的边的长为()A．10 B．11 C．12 D．15【解答】解：∵矩形纸条沿，同时折叠，，两点恰好落在边的点处，，，，∴，，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．4．如图，在一张矩形纸片中，，，点分别在，上，将矩形沿直线折叠，点落在边上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②线段的取值范为；③；④当点与点重合时，，其中正确的结论是________．【解答】解：①与，与都是原来矩形的对边、的一部分，∴，四边形是平行四边形，由翻折的性质得，，四边形是菱形，故①正确；②点与点重合时，设则在中，，即，解得，点与点重合时，，，线段的取值范围为，故②正确；③如图，过点作于，设交于点，四边形是菱形，，若，则则平分，∴∴，即只有时平分，故③错误；则，由勾股定理得，，故④正确．综上所述，结论正确的有①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为_______．【解答】解：如图，过点作的垂线段，交于点，，，为等腰直角三角形，,，，设，则根据翻折，，在中，，可得方程，解得：，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，根据勾股定理列方程求解问题，翻折问题，正确的作出辅助线，一步一步推论是解题的关键．6．如图1，把一张标准纸一次又一次对折，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸、……．当标准纸的短边长为a时．（1）“16开”纸的短边长为______（用含a的代数式表示）．（2）如图2，把这张标准纸对折得到的“16开”纸，按如下步骤折叠：第一步，将矩形的短边与长边对齐折叠，点B落在上的点处，铺平后得折痕；第二步，将长边与折痕对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕．则：①“16开”纸的长边长是______（用含a的代数式表示）；②标准纸的长边与短边的比值是______．【解答】解：（1）∵四边形是矩形，∴,由折叠的性质可得，,∴,∴“16开”纸的短边长为，（2）①由折叠可得：，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②由折叠的性质可得标准纸的长边为，标准纸的短边为，∴标准纸的长边与短边的比值是，故答案为：；；．【点睛】本题是操作探究类的一道试题，让学生在操作中探究，在探究中发现，考查了矩形的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，是一道体现新课程理念的好题．7．如图，在中，，，E、F分别为边、上的点，沿将折叠，使点A落在边的中点处，若，则线段的长度为______．【解答】解：由折叠的性质可得，为等腰直角三角形，，，为的中点，，设，则，在中，由勾股定理可得，解得，，故答案为：5．【点睛】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求线段的长是解题的关键．8．如图，已知正方形纸片的边，点P在边上，将沿折叠，点A的应点为．（1）若时，的长为___________；（2）若点到边或的距离为1，则线段的长为_________．【解答】（1）由折叠得，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案为：2；（2）如图1，作交于点F，交于点E，若，则．由折叠知．在直角中，．设，则．在中，，解得，即线段的长为﹔如图2，若，则．由折叠知．在中，．设，则．在中，，解得，即线段的长为．综上，线段的长为或，故答案为：或．【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟记正方形的性质及折叠的性质是解题的关键．9．如图，已知长方形，，点E，F分别是边，上的动点，沿直线折叠，使点B的对应点G始终落在边上，则线段的最小值是_________．【解答】解：由点G始终落在边上可知当点F越靠近于点C时，的值也就越小，所以当点C与点F重合时，的值最小，如图所示：∵，∴由折叠的性质可知，由长方形的特征可知，∴在中，由勾股定理可得，∴，∴的最小值为4；故答案为4【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键．10．如图，正方形的边长为2，E为边上任意一点（不与B、C重合），沿折叠正方形，使得点B落在，连接，若点F为线段的中点，则的最小值为__________．【解答】解：连接，以为直径，中点为圆心作圆，连接即可得到最小距离点，如图所示，∵正方形的边长为2，沿折叠正方形，使得点B落在，∴，∵F为线段的中点，∴，∴F为以为直径的圆上的点，连接交圆于一点即为最小距离点，根据勾股定理可得，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查圆上动点最小距离问题，正方形的性质，折叠的性质，解题的关键是根据题意得到点F为圆上动点问题，找到最小距离点．11．如图，将长为4，宽为3的矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边上，点A，B的对应点分别为E，F，当点E为三等分点时，的长为______．【解答】解：如图所示，过点M作于H，则四边形都是矩形，设交于T，∴，由折叠的性质可知，，当点E是靠近点D的三等分点时，∴，，设，则，在中，，由勾股定理得：，∴，解得，∴，，∵，∴，∴，，∴，设，则，∵，∴，∴，∴，解得，∴，∴，∴；同理，当E为靠近点C的三等分点时，；综上所述，或；故答案为：或．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．12．如图，中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是___．【解答】如图所示，以为圆心，的长为半径画弧，连接，交弧于点，此时的值最小，过点，作，交的延长线于点，四边形是平行四边形，，，，是的中点，，，在直角中，由勾股定理得，，在直角中，由勾股定理得，．故答案是：．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，得出点位置是解题关键．13．如图，在中，，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到，当时，的长为_____．【解答】解：当点在的上方时，如图1，延长交于点，，，，，是中点，，，由翻折得，，，，，，，，，；当点在的下方时，如图2，交于点，则，，，，，，，，，，综上所述，的长为1或4，故答案为：1或4．【点睛】此题重点考查平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．14．如图，中，，D为边上一点，连接，将沿翻折得到，点C在线段上，过点C作交延长线于点E，若，，则的长为__________．【解答】解：由折叠的性质可知，设，则，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．15．如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是___________．【解答】解：过点M作交延长线于点H，连接，菱形中，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵将沿所在直线翻折得到，∴，∴点在以M为圆心，为半径的圆上，∴当点在线段上时，长度有最小值，∴长度的最小值．故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键．16．如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知折痕，且，则的长是______________．【解答】解：∵，∴设，且，在中可得，由勾股定理得，根据折叠的性质有：，∴，∵，，∴，∴，∴，即，在中由勾股定理得解得：（负值舍去），即：，故答案为：．【点睛】此题考查了矩形的性质以及翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．17．如图，将梯形（纸片）折叠，使点与边上的点重合，直线为折痕；点也与边上的点重合，直线为折痕．已知，，，则的面积是__________．【解答】解：由折叠的性质得，，，，，，过作于，，是等腰直角三角形，，，，的面积．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解直角三角形，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．18．已知矩形，，为上的点，连结，将沿翻折，点的对应点为，交于，交于为上的点，将沿翻折，使点的对应点正好落在上，若，则_____，_____．【解答】①解：设，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，即；②解：∵在中，，，，∴，，∴，∵，∴根据翻折的性质可得：，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案为：，．【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理，熟练相似三角形的性质和判定是解题的关键．19．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，试求的长．【解答】解：设，∵，，勾股定理得：，根据翻折的性质可得，，，∴，，在中，，，解得：（），∴的长为．【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．20．综合与实践问题情境：如图，在矩形中，，，连接BD，将沿对角线折叠，点C落在点E的位置，线段交AD于点F．问题解决：(1)求线段的长；拓展提升：(2)如图，将沿着方向平移，当点F的对应点落在线段上时，求此时平移的距离；(3)如图3，将绕着点D逆时针旋转得到，连接．在旋转过程中，能否为等腰三角形？若能，请直接写出的面积；若不能，请说明理由．【解答】（1）解：∵将沿对角线折叠，∴，，∵四边形是矩形，，∴，，∴，∴，∴，在中，，，，∴，即，解得，∴；（2）解：连接，∵，，，∴，由平移知：，，∴，∴即，解得；（3）解：可以成为等腰三角形，∵绕着点D逆时针旋转得到，∴，∴，过点M作于P，当时，则，∴，∴当时，，即，解得，∴，∴当时而，，显然不相等，故舍去．综上，的面积为或．【点睛】本题考查了翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，证明以及分类讨论是解题的关键．21．在中，点E在边上，将沿翻折，使点A落在处，且，连接交于点F．(1)若，．①如图1，当时，______，边与线段的数量关系是______；②如图2，当为任意角度数时，上述结论是否依然成立，请说明理由．(2)如图3，若，，猜想的度数及边与线段的数量关系，并说明理由．【解答】（1）解：①∵，，∴，∴，由折叠可得，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案为：，；②∵，，∴，∴，由折叠可得，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）解：，，理由：∵，，∴，∴，由折叠可得，∴，∴是等边三角形，∴．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是根据折叠得出为等腰直角三角形或等边三角形．22．我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等．小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：(1)判断的形状，并说明理由；(2)已知，，求的长．【解答】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵由翻折得，，∴，∵，∴，∴是直角三角形．（2）∵，，∴，∵点是边的中点，∴，由翻折可知，，，，，，，，则、、在同一直线上，，∴在中，，则，在中，，∴在中，【点睛】此题重点考查长方形的性质、轴对称的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识与方法，证明、、在同一直线上，是解题的关键．23．综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．矩形纸片中，，．操作探究：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D的对应点落在边上，展开后折痕交于点E．(1)的度数为______．(2)求线段的长度．拓展延伸：(3)如图2，在图1的基础上，继续沿过点A的直线折叠，使点B的对应点落在上，展开后折痕交于点F，连接．请判断的形状并说明理