拓展2杠杆的平衡条件

一、所谓动态杠杆问题包含两类问题1、问题一：杠杆在匀速转动过程中，分析判断力或力臂变化的问题2、问题二：杠杆保持不动，动力的方向发生变化，分析判断力或力臂变化的问题二、分析动态杠杆问题的思路①找出杠杆的支点和作用在杠杆上的力及力臂；②依据题意，确定力和力臂中哪些量的大小不变，哪些量大小变化；③应用F1l1＝F2l2判断出力或力臂的变化。三、动态杠杆问题常见类型举例1、杆转力垂直：如下左图所示，轻杆从图示位置缓慢转动到水平位置的过程中，动力F始终垂直于杆，求动力F的变化。画出杠杆的在初始位置及最终位置的五要素，如上右图所示，由于杠杆缓慢转动，可认为杠杆处于平衡状态。则有Fl1＝Gl2，阻力等于物体重力G，保持不变，阻力臂l2变大，由于动力始终垂直于杆，故动力臂l1始终沿杆，大小保持不变。易得因此，动力F在杆转动的过程中变大。2、杆转力水平：如下左图所示，轻杆从图示位置缓慢转动到接近水平位置的过程中，动力F始终水平向右，求动力F的变化。画出杠杆的在初始位置及最终位置的五要素，如上右图所示，由于杠杆缓慢转动，可认为杠杆处于平衡状态。则有Fl1＝Gl2，阻力等于物体重力G，保持不变，阻力臂l2变大，动力臂l1变小。易得因此，动力F在杆转动的过程中变大。3、杆转力竖直：如下左图所示，轻杆从图示位置缓慢转动到接近水平位置的过程中，动力F始终竖直向上，求动力F的变化。画出杠杆的在初始位置及最终位置的五要素，如上右图所示，动力臂l1与动力作用线、动力作用点B和支点的连线OB构成直角三角形，阻力臂l2与阻力作用线、阻力作用点A和支点的连线OA也构成直角三角形，两三角形相似，则。由于OA、OB的长度不变，l1与之比不变，由于杠杆缓慢转动，可认为杠杆处于平衡状态，则有Fl1＝Gl2，易得，又由于阻力不变，则动力F不变。4、杆定力转：如下左图所示，轻杆保持不动，动力F从初始位置逆时针转动，求动力F的变化。画出杠杆的在初始位置及最终位置的五要素，如上右图所示，由于杠杆不动，处于平衡状态。则有Fl1＝Gl2，阻力等于物体重力G，保持不变，阻力臂l2不变，动力臂l1先变大后变小。易得因此，动力F在转动的过程中先变小后变大。【温馨提示】1、解决动态杠杆问题，关键是找出杠杆的五要素，分析在整个过程中五要素的变化，再利用杠杆平衡条件公式进行分析。2、由以上几个例子可以发现一个特例，当动力与阻力方向始终平行时，动力臂与阻力臂的比值将不变，那么动力与阻力的比值也将不变。简记为“平行不变其它变”。1、如图所示，一根重木棒在A点的拉力F的作用下以O点为轴，由竖直位置逆时针匀速转到水平位置的过程中，若动力臂为l，动力与动力臂的乘积为M，则（）A．F沿水平方向时，l减小、F逐渐变大、M减小B．F沿竖直方向时，l减小、F不变、M变大C．F作用在A点时杠杆一定是省力杠杆D．F无论沿哪个方向M均变大【答案】D【解析】A．当F沿水平方向时，另l为动力臂，L为阻力臂由杠杆的平衡条件得；以O点为轴，由竖直位置逆时针匀速转到水平位置的过程中l不断变小，L逐渐增大，G不变，由于杠杆匀速转动，处于动态平衡，根据杠杆平衡公式，G不变，L增大，则GL、Fl都增大，又知，l不断变小，而Fl不断增大，所以F逐渐增大，所以动力臂和动力的乘积M增大，故A选项不符合题意；B．当F沿竖直方向时，仍另l为动力臂，L为阻力臂，以O点为轴，由竖直位置逆时针匀速转到水平位置的过程中l不变，L逐渐增大，G不变，则根据杠杆平衡公式可知，F也逐渐变大，所以动力和动力臂的乘积M也逐渐变大，故B选项不符合题意；C．当F斜向上或者斜向下拉的时候，会出现动力臂小于阻力臂的情况，此时根据杠杆的平衡条件，动力应大于阻力，所以F作用的方向不同，会有省力和费力多种情况的出现，故C不符合题意；D．因为不论F沿哪个方向，阻力臂L均逐渐增大，阻力G均不变，所以阻力和阻力臂的乘积增大，根据杠杆的平衡条件，则动力和动力臂的乘积M也一定增大，故D选项符合题意。故选D。2、如图所示，一均匀木板AB，B端固定在墙壁的转轴上，木板可在竖直面内转动，木板下垫有长方形木块C，恰好使木板水平放置。现有水平拉力F拉木块C，在粗糙水平地面上由B向A缓慢运动过程中，拉力F将（）A．变小 B．不变C．逐渐增大 D．先减小后增大【答案】A【解析】以杆为研究对象，杆受重力G和C对它的支持力F支，根据杠杆平衡条件可得：F支•l支=G•lG，水平力F由B向A缓慢匀速推动木块，F支的力臂在增大，重力G及其力臂lG均不变，所以根据杠杆平衡条件可知，在整个过程中支持力在逐渐减小；由于支持力逐渐减小，且力的作用是相互的，所以可知杆对物体C的压力也逐渐减小，根据影响摩擦力大小的因素可知，C和木板间、C和地面间的摩擦力逐渐减小，拉力和摩擦力是平衡力，由力的平衡条件可知，水平拉力F也逐渐减小。3、身高相同的兄弟二人用一根重力不计的均匀扁担抬起一个900N的重物．已知扁担长为1.8m，重物悬挂点与哥哥的肩之间的距离OA=0.8m，如图所示．则A．以哥哥的肩A为支点，可计算出弟弟承担的压力为400NB．以O为支点，可计算出兄弟二人承担的压力之比为4:9C．以O为支点，可计算出兄弟二人承担的压力之比为9:5D．以弟弟的肩B为支点，可计算出哥哥承担的压力为600N【答案】A【解析】A．设哥哥承担的压力为FA，弟弟承担的压力为FB，以哥哥的肩A为支点，由杠杆平衡条件可得：，，A选项正确；BC．因为支点是固定点，杠杆能绕支点转动，图中的O不符合支点的特点，B、C选项错误，不符合题意．D．以弟弟的肩B为支点，由杠杆平衡条件可得：,，D选项错误，不符合题意。4、如图所示，在“研究杠杆的平衡条件”的实验中，支点在杠杆的中点，若实验时在杠杆的左端悬挂一个重为的物体，右端用弹簧秤拉着，使杠杆在水平位置保持平衡，弹簧测力计的示数为，现握着弹簧秤缓慢地沿图中虚线的位置移动到杠杆始终在水平位置保持平衡，则以下说法中正确的是（

）A．一直是省力杠杆 B．杠杆的阻力就是重物的重力C．与的乘积变小 D．弹簧测力计示数先变小再变大【答案】D【解析】ABD．当施加的动力垂直于杠杆时，动力臂最长；因为杠杆始终在水平位置保持平衡，阻力为重物对杠杆的拉力，此时的阻力和阻力臂一定，所以当动力沿竖直向下的方向时，动力最小，故从位置1移动到2的过程中，动力臂先变大后变小，则动力F先减小再增大；支点在杠杆的中点，根据力臂的定义可知，开始时的动力臂小于阻力臂，为费力杠杆，动力臂逐渐变大，当动力方向竖直向下时，动力臂最大，等于阻力臂，为等臂杠杆，动力方向继续改变时，动力臂小于阻力臂，为费力杠杆，故AB错误，D正确；C．根据杠杆的平衡条件可知，F1与l1的乘积等于阻力与阻力臂的乘积，阻力与阻力臂大小不变，所以F1与l1的乘积不变，故C错误；故选D。5、重为G的均匀木棒竖直悬挂于O点，在其下端始终施一水平方向拉力F，让木棒沿逆时针方向缓慢旋转到水平位置。在转动的过程中（）A．动力臂逐渐变大 B．阻力臂逐渐变小C．动力F逐渐变大 D．动力F逐渐减小【答案】C【解析】A．当木棒在竖直位置时，F的力臂是杠杆的长度，且力臂最长，当杠杆转过一定角度后，力与杠杆不再垂直，所以动力臂为变小，故A不符合题意；B．杠杆在转动的过程中符合杠杆平衡的条件，即阻力为木棒的重力，大小不变，木棒在竖直位置时，重力的力臂为0，转过一定角度后，阻力臂变大，故B不符合题意；CD．根据杠杆平衡的条件可得，阻力与阻力臂的乘积增大，而动力臂减小，所以动力逐渐变大，故C符合题意，D不符合题意。故选C。6、如图所示，想用最小的力将质量60kg，半径为r=0.5m的轮子滚上高为h=20cm的台阶。这个最小力F=___________N，才能将轮子滚上台阶（g取10N/kg）。【答案】240【解析】当动力F最小时，动力臂最大，如图所示，圆心为C，当动力臂等于直径时，动力臂最大，即OA=2r=1m；BC长度为半径减去台阶高度，即BC=0.5m0.2m=0.3m；OB为动力臂，△BOC为直角三角形，根据勾股定理可知：；根据杠杆平衡条件可得，即；解得F=240N。7、如图所示为吊车吊起货物示意图，利用伸缩撑杆可使吊臂绕O点缓慢转动，伸缩撑杆伸缩时对吊臂的支持力始终与吊臂垂直。则：（1）吊臂是一个杠杆（选填“省力”、“费力”或“等臂”）；（2）伸缩撑杆匀速缓慢顶起吊臂的过程中，伸缩撑杆对吊臂的支持力大小（选填“不变”、“变小”或“变大”）；（3）吊车上有四个可以升降且底座宽大的方形支柱，在吊车工作时，将此四个支柱放下来，支撑在地面上，它们的作用是。【答案费力变小增大受力面积，减小对地面的压强【解析】（1）伸缩撑杆对吊臂施加的力为动力，货物对吊臂的拉力为阻力，由图可知，动力臂小于阻力臂，所以吊臂是一个费力杠杆。（2）伸缩撑杆为圆弧状，伸缩时对吊臂的支持力始终与吊臂垂直，动力臂保持不变，在伸缩撑杆缓慢匀速顶起吊臂的过程中，重物的阻力臂逐渐减小，由杠杆的平衡条件可知，伸缩撑杆受到支持力渐渐变小。（3）吊车工作时，将此四个支柱放下来，支撑在地面上，增大了地的受力面积，根据可知，压强减小。8、如图所示，用固定在竖直墙上的直角三角形支架ABC放置空调室外机，已知AB长为40cm，AC长为30cm。室外机的质量为36kg，室外机的重力作用线正好通过AB中点，则A处钉受到的水平拉力F为N（支架重力忽略不计）。为了安全，从力学角度分析，室外机的位置应尽量（填“靠近”或“远离”）墙壁。【答案】240靠近【解析】由题意可知，以C为支点，ABC是一个杠杆。AC为A处螺钉水平拉力的力臂，室外机对其压力的力臂为AB长的，由杠杆平衡条件可得即；解得F=240N，故A处钉受到的水平向左的拉力F为240N。为了安全，应减小A处的拉力（若拉力过大，支架对螺钉拉力会使螺钉松动而造成危险）；在A处拉力和阻力G一定时，室外机的位置越靠近墙壁，室外机对支架压力力臂越小，根据杠杆平衡条件可知，A处的拉力将减小，以保证支架和室外机的安全。1、如图所示，甲为石家庄槐安路大桥的实景图，该桥可逐步抽象成乙、丙、丁所示的模型。下列说法正确的是（）A．此模型应用了斜面的物理知识B．桥塔越高，钢索承受的拉力越大C．桥上无车时，桥面所受阻力F1的施力物体是地球D．在桥面上行驶的汽车，位置越靠近桥塔，钢索受到的拉力越大【答案】C【解析】A．如图所示模型，可以看做是一个在力的作用下静止在水平位置的硬棒，结合杠杆的定义，即可知道它就是杠杆的模型，所以用到了杠杆的知识。故A错误；B．由图可知，若增加塔桥的高度，增加了支点到钢索的垂直距离，即增大了动力臂，由可知，在阻力和阻力臂不变的情况下，动力臂越大，动力越小，即桥对钢索的拉力就越小。故B错误；C．桥上无车时，桥面所受阻力F1是桥自身的重力，因此施力物体是地球。故C正确；D．在桥面上行驶的汽车，位置越靠近桥塔，阻力臂越小，由杠杆平衡条件可知，当阻力和动力臂不变的情况下，钢索受到的拉力越小。故D错误。故选C。2、如图，小车从处于轻质杠杆OB的A点开始匀速向右运动，在B端竖直向上方向系一根不可伸缩的细绳使杠杆始终处于水平位置平衡。下列表示AB间的距离s和细绳的拉力F随时间t变化的关系图线中，可能正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】AB．AB间的距离s为s=OBOA=OBvt；由于OB是一个定值，速度不变，则s随t的增大而减小，且是一条直线，故AB错误；CD．杠杆始终处于水平位置平衡，根据杠杆平衡的条件可知F×OB=G×(OA+vt)则有；F和t符合一次函数关系，故C错误，D正确。故选D。3、（双选）周末，小明和爸爸在公园玩跷跷板的游戏，但是爸爸的体重几乎是小明体重的2倍，无法使用双人跷跷板进行游戏。聪明的小明把爸爸拉到四人跷跷板跟前，安排好座位后，就顺利的玩了起来。聪明的小明是怎样安排座位的呢（）A．小明A位爸爸C位 B．小明B位爸爸D位C．小明C位爸爸A位 D．小明D位爸爸B位【答案】AD【解析】跷跷板其实就是一个杠杆，支点在中间的转轴处，跷跷板平衡时，小明对跷跷板的压力与对应力臂的乘积等于爸爸对跷跷板的压力与对应力臂的乘积；爸爸的体重几乎是小明体重的2倍，则爸爸对跷跷板的压力几乎是小明对跷跷板的压力的2倍，要使跷跷板平衡，根据杠杆的平衡条件F1l1=F2l2可知，小明的压力的力臂是爸爸的压力的力臂的2倍，即小明在A位，爸爸在C位，或小明在D位，爸爸在B位，故AD符合题意，BC不符合题意。故选AD。4、如题图，一根轻质杠杆，支点为O，在杆的中点悬挂重物，在A点分别施加不同方向的作用力F1、F2、F3、F4，能使杠杆水平平衡且省力的是（）A．仅有F2 B．仅有F2、F3 C．仅有F1、F2、F3 D．仅有F2、F4【答案】A【解析】因动力和阻力在支点的同一侧，所以动力与阻力方向相反，又因为动力方向与杠杆垂直时，力臂最大，动力最小，故F2符合题意。故选A。5、如图所示，质地均匀的直尺AB放在水平桌面上，尺子伸出桌面的部分OB是全尺长的三分之一。当B端挂5N的重物G时，直尺的A端刚刚开始翘起，则这把直尺受到的重力是（）A．2.5N B．5N C．10N D．15N【答案】C【解析】可将直尺AB看作杠杆，支点为O，质地均匀的直尺受到的重力G′的重心在几何中心，重心距离支点O的距离，即杠杠重力的力臂B端所挂重物G的力臂根据杠杆平衡条件F1l1=F2l2可得解得，直尺受到的重力；故C符合题意，ABD不符合题意。故选C。6、如图所示，AB是一根形状规则，质量分布均匀的金属杆，长为80cm，重为G，静止放置在水平桌面MN上。已知MN＝50cm，AM＝10cm，在A端施加竖直向下的力FA，当B端刚刚翘起时，FA为60N，则G为N。若在B端施加竖直向下的力FB，当A端刚刚翘起时，FB至少为N。【答案】20

20【解析】在A端施加竖直向下的力FA，当B端刚刚翘起时M为支点，根据杠杆平衡条件可得；即解得：G＝20N。在B端施加竖直向下的力FB，当A端刚刚翘起时N为支点，根据杠杆平衡条件可得；即解得：FB＝20N。7、杠杆是我们生活中一种常见的简单机械，如图所示，轻质杠杆可绕O点无摩擦转动，A点悬挂一个重为的物体，B点施加一个竖直向上的拉力F，使杠杆在水平位置平衡，且。则，此杠杆是杠杆。【答案】30费力【解析】由得由杠杆平衡条件得；该杠杆的动力臂OB小于阻力臂OA，是费力杠杆。8、如图所示，将长为1.2m的轻质木棒平放在水平方形台面上，左右两端点分别为A、B，它们距台面边缘处的距离均为0.3m。在A端挂一个重为30N的物体，在B端挂一个重为G的物体。(1)若G为30N，台面受到木棒的压力为N；(2)为了防止A端下沉，B端挂的物体至少为N；为了防止B端下沉，B端挂的物体不能超过N。【答案】60

10

90【解析】(1)由题意可知，A、B两端对轻质木棒的拉力均为30N，则，木棒随桌面的压力F=60N。(2)可将木棒AB视为杠杆，若A端下沉，则杠杆的支点在距A端0.3m处，此时FA=30N，lA=0.3m，lB=1.2m0.3m=0.9m；根据杠杆平衡条件F1l1=F2l2可得FAlA=FBlB则因此，为了防止A端下沉，B端重物至少重10N。若B端下沉，则杠杆的支点在距B端0.3m处，此时FA=30N，lA＇=0.9m，lB＇=0.3m；根据杠杆平衡条件F1l1=F2l2可得FAlA＇=FB＇lB＇则；故为防止B端下沉，B端所挂重物不能大于90N。9、如图所示，OB为一轻质杠杆，O为支点，，将重30N的物体悬挂在B点，当杠杆在水平位置平衡时，在A点至少需加N的拉力。【答案】40【解析】当杠杆在水平位置平衡时，B点所受的拉力等于物体的重力不变，该力的力臂为OB，要想使作用在A点的力最小，那么这个力的力臂最大，所以作用在A点的力应该垂直于杠杆向上，那么这个力的力臂为OA，则此时作用在A点的力为；即在A点至少需加40N的拉力。10、已知杠杆平衡时，动力臂与阻力臂之比为2：1，且阻力为12N，则动力为N；若杠杆的阻力与动力之比为2：1，动力臂为20cm时，阻力臂为cm。【答案】610【解析】第一空，动力臂与阻力臂之比为2：1，且阻力为12牛，根据杠杆平衡条件：F1•L1=F2•L2，可得：；第二空，杠杆的阻力与动力之比为2：1，动力臂为20厘米时，阻力臂为：。11、俯卧撑是一项常见的健身项目，采用不同的方式做俯卧撑，健身效果通常不同。图23甲所示的是小京在水平地面上做俯卧撑保持静止时的情境，她的身体与地面平行，可抽象成如图23乙所示的杠杆模型，地面对脚的力作用在O点，对手的力作用在B点，小京的重心在A点。已知小京的体重为750N，OA长为1m，OB长为1.5m。（1）图23乙中，地面对手的力F1与身体垂直，求F1的大小；（2）图24所示的是小京手扶栏杆做俯卧撑保持静止时的情境，此时她的身体姿态与图23甲相同，只是身体与水平地面成一定角度，栏杆对手的力F2与他的身体垂直，且仍作用在B点。分析并说明F2与F1的大小关系。【答案】（1）500N；（2）<【解析】（1）如图1所示，O为支点，重力的力臂为l，F1的力臂为l根据杠杆平衡条件F1l=Gl可得；（2）小京手扶栏杆时抽象成的杠杆模型如图2所示，O为支点，重力的力臂为l′，F2的力臂为l根据杠杆平衡条件F2l′=Gl′可得由图可知l′<l，l′=l所以F2<F1。12、如图所示，轻质杠杆悬挂在O点，长方体重物通过轻质细杆与杠杆A点相连，小明双手与杠杆B点接触，已知OA:OB=1:3，重物的底面积3×10²m²，小明的质量为50kg。当小明在B点施加200N的拉力时，重物对地面的压强为2×103Pa，g取10N/kg。求：（1）重物对地面的压力；（2）重物的重力；（3）重物对地面的压强为6×103Pa时，人对地面的压力。【答案】（1）60N；（2）660N；（3）340N【解析】（1）由可得，重物对地面的压力为（2）由杠杆平衡条件可得即对重物来说，受到竖直向下的重力、地面对其的支持力、杠杆对其向上的拉力，因此（3）重物对地面的压强为6×103Pa时，对地面的压力为故重物受到的支持力。对重物受力分析可得即解得。由杠杆平衡条件可得即对小明进行受力分析，受到竖直向下的重力、地面的支持力、杠杆的拉力，故即；解得，人对地面的压力等于地面对其的支持力，故人对地面的压力为340N。答：（1）重物对地面的压力为60N；（2）重物的重力为660N；（3）重物对地面的压强为6×103Pa时，人对地面的压力为340N。13、已知一根质量分布均匀的圆柱体木料质量为60kg，体积为0.1m3。问：(1)此木料的密度为多少？(2)如图所示，甲、乙两人分别在A点和B点共同扛起此木料并恰好水平，其中AO＝BO，O为木料的中点。求此时乙对木料的作用力大小。(3)若在(2)中当乙的作用点从B点向O点靠近时，请列式分析此过程中甲对木料作用力大小变化情况。【答案】(1)600kg/m3；(2)300N；(3)变小【解析】(1)由题知木料质量为60kg，体积为0.1m