专项31相似三角形-A字型（2种类型）（原卷版）

专项31相似三角形A字型（2种类型）有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.【类型1：平行类A字型】1．如图，DE∥BC，且EC；BD＝2；3，AD＝9，则AE的长为（）A．6 B．9 C．3 D．42．如图，在△ABC中，点D、E分别在线段AB、AC上，DE∥BC，AD：AB＝1：3，若△ADE的面积是1，则△ABC的面积是（）A．3 B．4 C．8 D．93．如图，在△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求这个正方形的边长．4．阳光明媚的一天实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得FG＝2米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，BF＝9米，点D、B、F、G在一条直线上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教学楼CD的高度为16米，请你求出假山的高度AB．5．如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，求树高CD．6．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）AB＝；（2）用含t的代数式表示线段CQ的长；（3）当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；（4）设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．9．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD．（1）求证：MC是⊙O的切线；（2）若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．10．如图①，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在BC上，CD＝4，过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE（点E不与点A、C重合）．（1）当点C'落在AC上时，依题意补全图②，求证：DC'∥AB；（2）设△ABC'的面积为S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由；（3）当B，C'，E三点共线时，EC的长为.【类型2：不平行A字型】11.如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，若∠1＝∠B，＝，△ADE的面积等于2，则△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．10 D．1212．如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．13.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D在AC上且AD＝3，DE⊥AB于点E，求AE的长．14．问题提出（1）如图①．在等边△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，BD＝4，CD＝2，求四边形AEDF的面积；问题解决（2）湿地公园具有湿地保护与利用、科普教育、湿地研究、生态观光、休闲娱乐等多种功能．某湿地公园有一块长BC为80米，宽AB为60米的矩形湿地，如图②所示．为使游客更方便游览，现需要建一个观光游览平台EFMD，其中点E、F、M分别在AD、AC、CD上，AE＝FE，∠DEF+∠DMF＝