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文档简介
云南省昆明市呈贡区重点达标名校2024年中考考前最后一卷数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去,则S2018的值为()A. B. C. D.2.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3;③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是-1≤x<3;⑤当x<0时,y随x增大而增大.其中结论正确的个数是()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个3.的值为()A. B.- C.9 D.-94.山西有着悠久的历史,远在100多万年前就有古人类生息在这块土地上.春秋时期,山西大部分为晋国领地,故山西简称为“晋”,战国初韩、赵、魏三分晋,山西又有“三晋”之称,下面四个以“晋”字为原型的Logo图案中,是轴对称图形的共有()A. B. C. D.5.cos45°的值是(
)A.
B.
C.
D.16.已知:如图,在扇形中,,半径,将扇形沿过点的直线折叠,点恰好落在弧上的点处,折痕交于点,则弧的长为()A. B. C. D.7.如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,四边形DEFG为矩形,DE=2cm,EF=6cm,且点C、B、E、F在同一条直线上,点B与点E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移,当点C与点F重合时停止.设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2,运动时间xs.能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是()A. B. C. D.8.已知圆A的半径长为4,圆B的半径长为7,它们的圆心距为d,要使这两圆没有公共点,那么d的值可以取()A.11; B.6; C.3; D.1.9.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响,该书中记载了一个问题,大意是:有几个人一起去买一件物品,每人出8元,多3元;每人出7元,少4元,问有多少人?该物品价几何?设有x人,物品价值y元,则所列方程组正确的是()A. B.C. D.10.定义运算“※”为:a※b=,如:1※(﹣2)=﹣1×(﹣2)2=﹣1.则函数y=2※x的图象大致是()A. B.C. D.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.已知⊙O的面积为9πcm2,若点O到直线L的距离为πcm,则直线l与⊙O的位置关系是_____.12.如图,中,,,,将绕点逆时针旋转至,使得点恰好落在上,与交于点,则的面积为_________.13.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,它的最小边的长是2cm,则它的最大边的长是_____cm.14.若分式有意义,则实数x的取值范围是_______.15.廊桥是我国古老的文化遗产.如图,是某座抛物线型的廊桥示意图,已知抛物线的函数表达式为y=-140x16.已知是二元一次方程组的解,则m+3n的立方根为__.17.已知ba=2三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.求证:△ECG≌△GHD;19.(5分)如图,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.求边AC的长;设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求的值.20.(8分)某高校学生会在某天午餐后,随机调查了部分同学就餐饭菜的剩余情况,并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图.(1)这次被调查的同学共有名;(2)补全条形统计图;(3)计算在扇形统计图中剩大量饭菜所对应扇形圆心角的度数;(4)校学生会通过数据分析,估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐.据此估算,该校20000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐?21.(10分)某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只,已知A型号足球进价每只40元,B型号足球进价每只60元.(1)若该店老板共花费了5200元,那么A、B型号足球各进了多少只;(2)若B型号足球数量不少于A型号足球数量的,那么进多少只A型号足球,可以让该老板所用的进货款最少?22.(10分)问题提出(1)如图1,在△ABC中,∠A=75°,∠C=60°,AC=6,求△ABC的外接圆半径R的值;问题探究(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=45°,AC=8,点D为边BC上的动点,连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F,接E、F,求EF的最小值;问题解决(3)如图3,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠BCD=30°,AB=AD,BC+CD=12,连接AC,线段AC的长是否存在最小值,若存在,求最小值:若不存在,请说明理由.23.(12分)观察下列多面体,并把下表补充完整.名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数61012棱数912面数58观察上表中的结果,你能发现、、之间有什么关系吗?请写出关系式.24.(14分)如图,AB、CD是⊙O的直径,DF、BE是弦,且DF=BE,求证:∠D=∠B.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、A【解析】
根据等腰直角三角形的性质可得出2S2=S1,根据数的变化找出变化规律“Sn=()n﹣2”,依此规律即可得出结论.【详解】如图所示,∵正方形ABCD的边长为2,△CDE为等腰直角三角形,∴DE2+CE2=CD2,DE=CE,∴2S2=S1.观察,发现规律:S1=22=4,S2=S1=2,S2=S2=1,S4=S2=,…,∴Sn=()n﹣2.当n=2018时,S2018=()2018﹣2=()3.故选A.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理,解题的关键是利用图形找出规律“Sn=()n﹣2”.2、B【解析】
解:∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2﹣4ac>0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以②正确;∵x=﹣=1,即b=﹣2a,而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,∴a+2a+c=0,所以③错误;∵抛物线与x轴的两点坐标为(﹣1,0),(3,0),∴当﹣1<x<3时,y>0,所以④错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x<1时,y随x增大而增大,所以⑤正确.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.3、A【解析】【分析】根据绝对值的意义进行求解即可得.【详解】表示的是的绝对值,数轴上表示的点到原点的距离是,即的绝对值是,所以的值为,故选A.【点睛】本题考查了绝对值的意义,熟练掌握绝对值的意义是解题的关键.4、D【解析】
根据轴对称图形的概念求解.【详解】A、不是轴对称图形,故此选项错误;B、不是轴对称图形,故此选项错误;C、不是轴对称图形,故此选项错误;D、是轴对称图形,故此选项正确.
故选D.【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.5、C【解析】
本题主要是特殊角的三角函数值的问题,求解本题的关键是熟悉特殊角的三角函数值.【详解】cos45°=.故选:C.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值.6、D【解析】
如图,连接OD.根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形,则易求∠AOD=110°-∠DOB=50°;然后由弧长公式弧长的公式来求的长【详解】解:如图,连接OD.解:如图,连接OD.
根据折叠的性质知,OB=DB.
又∵OD=OB,
∴OD=OB=DB,即△ODB是等边三角形,
∴∠DOB=60°.
∵∠AOB=110°,
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=50°,
∴的长为=5π.
故选D.【点睛】本题考查了弧长的计算,翻折变换(折叠问题).折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键之处.7、A【解析】∵∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,∴AB=4,由勾股定理得:AC=2,∵四边形DEFG为矩形,∠C=90,∴DE=GF=2,∠C=∠DEF=90°,∴AC∥DE,此题有三种情况:(1)当0<x<2时,AB交DE于H,如图∵DE∥AC,∴,即,解得:EH=x,所以y=•x•x=x2,∵x、y之间是二次函数,所以所选答案C错误,答案D错误,∵a=>0,开口向上;(2)当2≤x≤6时,如图,此时y=×2×2=2,(3)当6<x≤8时,如图,设△ABC的面积是s1,△FNB的面积是s2,BF=x﹣6,与(1)类同,同法可求FN=X﹣6,∴y=s1﹣s2,=×2×2﹣×(x﹣6)×(X﹣6),=﹣x2+6x﹣16,∵﹣<0,∴开口向下,所以答案A正确,答案B错误,故选A.点睛:本题考查函数的图象.在运动的过程中正确区分函数图象是解题的关键.8、D【解析】∵圆A的半径长为4,圆B的半径长为7,它们的圆心距为d,∴当d>4+7或d<7-4时,这两个圆没有公共点,即d>11或d<3,∴上述四个数中,只有D选项中的1符合要求.故选D.点睛:两圆没有公共点,存在两种情况:(1)两圆外离,此时圆心距>两圆半径的和;(1)两圆内含,此时圆心距<大圆半径-小圆半径.9、C【解析】根据题意相等关系:①8×人数-3=物品价值,②7×人数+4=物品价值,可列方程组:,故选C.点睛:本题考查了二元一次方程组的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系.10、C【解析】
根据定义运算“※”为:a※b=,可得y=2※x的函数解析式,根据函数解析式,可得函数图象.【详解】解:y=2※x=,当x>0时,图象是y=对称轴右侧的部分;当x<0时,图象是y=对称轴左侧的部分,所以C选项是正确的.【点睛】本题考查了二次函数的图象,利用定义运算“※”为:a※b=得出分段函数是解题关键.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、相离【解析】
设圆O的半径是r,根据圆的面积公式求出半径,再和点0到直线l的距离π比较即可.【详解】设圆O的半径是r,则πr2=9π,∴r=3,∵点0到直线l的距离为π,∵3<π,即:r<d,∴直线l与⊙O的位置关系是相离,故答案为:相离.【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握,解此题的关键是知道当r<d时相离;当r=d时相切;当r>d时相交.12、【解析】
首先证明△CAA′是等边三角形,再证明△A′DC是直角三角形,在Rt△A′DC中利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD、A′D即可解决问题.【详解】在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=60°,
∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C,使得点A′恰好落在AB上,
∴CA=CA′=2,∠CA′B′=∠A=60°,
∴△CAA′为等边三角形,
∴∠ACA′=60°,
∴∠BCA′=∠ACB-∠ACA′=90°-60°=30°,
∴∠A′DC=180°-∠CA′B′-∠BCA′=90°,
在Rt△A′DC中,∵∠A′CD=30°,∴A′D=CA′=1,CD=A′D=,∴.故答案为:【点睛】本题考查了含30度的直角三角形三边的关系,等边三角形的判定和性质以及旋转的性质,掌握旋转的性质“对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等”是解题的关键.13、1.【解析】
根据在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,三角形内角和等于180°可得∠A,∠B,∠C的度数,它的最小边的长是2cm,从而可以求得最大边的长.【详解】∵在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180∴∠A=30∵最小边的长是2cm,∴a=2.∴c=2a=1cm.故答案为:1.【点睛】考查含30度角的直角三角形的性质,掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.14、【解析】由于分式的分母不能为2,x-1在分母上,因此x-1≠2,解得x.解:∵分式有意义,∴x-1≠2,即x≠1.故答案为x≠1.本题主要考查分式有意义的条件:分式有意义,分母不能为2.15、85【解析】由于两盏E、F距离水面都是8m,因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值.故有-1即x2=80,x1所以两盏警示灯之间的水平距离为:|16、3【解析】
把x与y的值代入方程组求出m与n的值,即可确定出所求.【详解】解:把代入方程组得:相加得:m+3n=27,则27的立方根为3,故答案为3【点睛】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程左右两边相等的未知数的值.17、3【解析】
依据ba=23可设a=3k,b=2【详解】∵ba∴可设a=3k,b=2k,∴aa-b故答案为3.【点睛】本题主要考查了比例的性质及见比设参的数学思想,组成比例的四个数,叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项.三、解答题(共7小题,满分69分)18、见解析【解析】
依据条件得出∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,依据F是AD的中点,FG∥AE,即可得到FG是线段ED的垂直平分线,进而得到GE=GD,∠CGE=∠GDE,利用AAS即可判定△ECG≌△GHD.【详解】证明:∵AF=FG,∴∠FAG=∠FGA,∵AG平分∠CAB,∴∠CAG=∠FAG,∴∠CAG=∠FGA,∴AC∥FG.∵DE⊥AC,∴FG⊥DE,∵FG⊥BC,∴DE∥BC,∴AC⊥BC,∵F是AD的中点,FG∥AE,∴H是ED的中点∴FG是线段ED的垂直平分线,∴GE=GD,∠GDE=∠GED,∴∠CGE=∠GDE,∴△ECG≌△GHD.(AAS).【点睛】本题考查了全等三角形的判定,线段垂直平分线的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键.19、(1)AC=;(2).【解析】【分析】(1)过A作AE⊥BC,在直角三角形ABE中,利用锐角三角函数定义求出AC的长即可;(2)由DF垂直平分BC,求出BF的长,利用锐角三角函数定义求出DF的长,利用勾股定理求出BD的长,进而求出AD的长,即可求出所求.【详解】(1)如图,过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中,tan∠ABC=,AB=5,∴AE=3,BE=4,∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1,在Rt△AEC中,根据勾股定理得:AC==;(2)∵DF垂直平分BC,∴BD=CD,BF=CF=,∵tan∠DBF=,∴DF=,在Rt△BFD中,根据勾股定理得:BD==,∴AD=5﹣=,则.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是解题的关键.20、(1)1000(2)200(3)54°(4)4000人【解析】试题分析:(1)根据没有剩饭的人数是400人,所占的百分比是40%,据此即可求得调查的总人数;(2)利用(1)中求得结果减去其它组的人数即可求得剩少量饭的人数,从而补全直方图;(3)利用360°乘以对应的比例即可求解;(4)利用20000除以调查的总人数,然后乘以200即可求解.试题解析:(1)被调查的同学的人数是400÷40%=1000(名);(2)剩少量的人数是1000-400-250-150=200(名),;(3)在扇形统计图中剩大量饭菜所对应扇形圆心角的度数是:360°×1501000(4)200001000答:校20000名学生一餐浪费的食物可供4000人食用一餐.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.21、(1)A型足球进了40个,B型足球进了60个;(2)当x=60时,y最小=4800元.【解析】
(1)设A型足球x个,则B型足球(100-x)个,根据该店老板共花费了5200元列方程求解即可;(2)设进货款为y元,根据题意列出函数关系式,根据B型号足球数量不少于A型号足球数量的求出x的取值范围,然后根据一次函数的性质求解即可.【详解】解:(1)设A型足球x个,则B型足球(100-x)个,∴40x+60(100-x)=5200,解得:x=40,∴100-x=100-40=60个,答:A型足球进了40个,B型足球进了60个.(2)设A型足球x个,则B型足球(100-x)个,100-x≥,解得:x≤60,设进货款为y元,则y=40x+60(100-x)=-20x+6000,∵k=-20,∴y随x的增大而减小,∴当x=60时,y最小=4800元.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,一次函数的应用,仔细审题,找出解决问题所需的数量关系是解答本题的关键.22、(1)△ABC的外接圆的R为1;(2)EF的最小值为2;(3)存在,AC的最小值为9.【解析】
(1)如图1中,作△ABC的外接圆,连接OA,OC.证明∠AOC=90°即可解决问题;(2)如图2中,作AH⊥BC于H.当直径AD的值一定时,EF的值也确定,根据垂线段最短可知当AD与AH重合时,AD的值最短,此时EF的值也最短;(3)如图3中,将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,连接EC,作EH⊥CB交CB的延长线于H,设BE=CD=x.证明EC=AC,构建二次函数求出EC的最小值即可解决问题.【详解】解:(1)如图1中,作△ABC的外接圆,连接OA,OC.∵∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣75°﹣10°=45°,又∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=90°,∴AC=1,∴OA=OC=1,∴△ABC的外接圆的R为1.(2)如图2中,作AH⊥BC于H.∵AC=8,∠C=45°,∴AH=AC•sin45°=8×=8,∵∠BAC=10°,∴当直径AD的值一定时,EF的值也确定,根据垂线段最短可知当AD与AH重合时,AD的值最短,此时EF的值也最短,如图2﹣1中,当AD⊥BC时,作OH⊥EF于H,连接OE,OF.∵∠EOF=2∠BAC=20°,OE=OF,OH⊥EF,∴EH=HF,∠OEF=∠OFE=30°,∴EH=OF•cos30°=4•=1,∴EF=2EH=2,∴EF的最小值为2.(3)如图3中,将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,连接EC,作EH⊥CB交CB的延长线于H,设BE=CD=x.∵∠AE=AC,∠CAE=90°,∴E
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