浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

浙江强基联盟2024年10月高一联考数学试题浙江强基联盟研究院命制考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.“是等腰三角形”是“是等边三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.不等式的解集是（）A. B.C. D.4.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，5.不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.6.已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（）A. B.C. D.7.已知，，，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.8.若，，则的最小值为（）A.8 B.9 C.10 D.11二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若集合，，则（）A. B.C. D.10.已知关于的方程，则（）A.当时，方程只有一个实数根 B.是方程有实数根的必要不充分条件C.该方程不可能有两个不等正根 D.该方程不可能有两个不等负根11.若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，集合，，若，则______.13.已知，，则的取值范围是______.14.若方程有且仅有一个实数解，则实数取值集合为______四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（10分）已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.16.（12分）解下列不等式（组）：（1） （2） （3）17.（13分）为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查.（1）小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围；（2）某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数.18.（13分）现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.（1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围；（2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好.（i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？（ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由.19.（14分）已知二次函数（，且）.（1）若，求该二次函数的最大值；（2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值；（3）若，，，恒成立，求的取值范围.20.（15分）设数集满足：①；②，且，有，则称数集具有性质.（1）判断集合，是否具有性质，并说明理由；（2）证明：集合具有性质；（3）求满足性质的所有三元素集.

浙江强基联盟2024年10月高一联考数学卷参考答案与评分标准1.A由，可得.故选A.2.B等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形.故选B.3.C原不等式等价于，即.故选C.4.C命题“，”的否定是“，”.故选C.5.D，即.故选D.6.D由图可知阴影部分对应的集合是集合，故选D.7.D由，可得，即，故A错误；由，，可得，所以，故B错误；取，，，，则，故C错误；，故选D.8.B，当且仅当，时取到最小值9.故选B.9.BCD集合为点集，故选项A错误，选项B正确；，，选项C、D正确.故选BCD.10.AC对于A选项，时，方程的解为，故A正确；对于B选项，方程有实数根，则，即，所以或，故B错误；对于C选项，，，不可能有两个不等正根，C正确；对于D选项，当时，方程有2个不等负根，故D错误.故选AC.11.AD原不等式等价于，根据的正负讨论，当时，解集为，则；当或时，解集不可能为.故选AD.12.0由可得，，则.13.由，可得.14.方程有且仅有一解等价于有一个不等于3的实数解.当时，解为，满足题意；当时，方程解的情况分为以及但3是方程的解两种情况，计算可得，.15.解：（1）由得，，所以；（2）由得，所以.16.解：（1）由题意得：，解得，故不等式的解集为；（2）由题意得：解得，故不等式组的解集为；（3）由题意得：，无解.故不等式的解集为.17.解：（1）由题意得，且，解得，故的取值范围为；（2）设只玩的人数为，由图得，解得则人.故班上这三种游戏都不玩的同学有28人.18.解：（1）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，，所以.又矩形面积，解得故的取值范围为.（2）（i）设地板面积为，解不等式组解得，故当时，窗户面积最小，此时由（1）可得或.故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米.（ii）设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，，则.因为，，所以.又因为，所以.因此，即.所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了.19.解：（1）当时，.所以当时，函数有最大值为2；（2）设，，则，是方程的两个相异根，则，即.由韦达定理知，.，解得.故的值为1或.（3），且恒成立，即恒成立，则即所以.故的取值范围为.20.解：（1）若，，则，故集合不具有性质；集合中元素均为整数，满足①，且，，，满足②，故集合具有性质.（2）证明：①，；②且，，则集合具有性质.（3），.证明：对于三元素集，