山东省商河县第一中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题

PAGEPAGE9山东省商河县第一中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题一、单项选择题1．已知向量，满意，则等于（）．A． B． C． D．2．圆的圆心坐标为（）．A．B．C．D．3．已知为实数，直线，，则，则实数的值（）．A．1 B．2 C．1或2 D．0或4．在长方体中，，，，则与平面所成角的正弦值为（）．A． B． C． D．5．如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，设，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别是（）．A．，， B．，，C．，， D．，，6．设，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（）．A．13 B．14 C．15 D．167．椭圆上的点到直线距离最近的点的坐标为（）．A． B． C． D．8．已知点在离心率为的椭圆上，是椭圆的一个焦点，是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，若的最小值为1，则椭圆的焦距的取值范围是（）．A． B． C． D．二、多项选择题9．给出下列命题，其中真命题有（）．A．空间随意三个不共面的向量都可以作为一个基底B．已知，则存在向量可以与，构成空间的一个基底C．、、、是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么、、、共面D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底10．下列说法正确的是（）．A．已知，且三角形的周长是6，则顶点的轨迹方程是B．点关于直线的对称点是C．过，两点的直线方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程是11．已知直线，，，以下结论正确的是（）．A．不论为何值时，与都相互垂直B．当改变时，与分别经过定点和C．不论为何值时，与都关于直线对称D．假如与交于点，则的最大值是12．已知椭圆的离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0，0为坐标原点，则（）．A．B．直线与直线的斜率之积为C．直线与直线的斜率之积为D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为三、填空题13．，是椭圆的两个焦点，和是此椭圆上关于原点对称的两个点，且，则的面积是______．14．已知直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是______．15．已知圆的方程为且点是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是______．16．若点和点分别为椭圆的中心点和左焦点，点为椭圆上的随意一点，则的最小值为______．四、解答题17．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，求：(1)边所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程．18．已知圆经过点和点且圆心在直线上．(1)求圆的标准方程；(2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．19．如图，在正四棱柱中，已知，，、分别为、上的点，且．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．20．已知椭圆经过点，离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆经过不在直线上的点，求直线的方程．21．如图，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．(1)求证：平面；(2)若二面角为45角，，，求与平面所成角的正弦值．22．已知椭圆，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若在轴上存在点，过点的直线分别与椭圆相交于、两点，且为定值，求点的坐标．

参考答案1．B 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C9．ACD 10．AB 11．ABD12．ACD【解析】因为椭圆的离心率为，由得，故A正确．设，，，则，且，两式作差得，即，所以，因为的斜率，的斜率，所以，同理，，故B错误，C正确．又，同理可得，，所以，又直线，，的斜率之和为1，即，所以，故D正确．13．16 14． 15． 16．617．解：（1）设的直线方程为．将，坐标代入可得，解方程组可得，则直线方程为，化为一般式．（2）因为为直线的高，所以，故，设的直线方程为将代入，解得，得的直线方程为，代为一般式为．18．（1）；（2）或．【详解】（1）设的中点为，因为点和点，所以，，即，又由，所以的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，联立方程组，解得，，即圆心坐标，又由，即圆的半径为，所以圆的方程为．（2）过点，的直线与圆相交于，两点，且，所以圆心到直线的距离为，①当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，则圆心到直线的距离为，符合题意：②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，综上可得，直线的方程为或．19．（1）证明：以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，则、，，，，，．∴，，，．∵，，∴，，且．∴平面．（2）由（1）知，为平面的一个法向量，∴点到平面的距离．故点到平面的距离为．20．解：（Ⅰ）由题意得，解得，，，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，联立，消并化简整理得，则有，，，又，由得，，解得或．当时，直线过点，与题意不符；当时，直线不过点，符合题意，故直线的方程为．21．（1）如下图所示，取的中点，连接、，在矩形中，且，∵、分别为的中点，∴且，∵为的中点，∴且，∴且，所以，四边形为平行四边形，则，∵平面，平面，，∴平面．（2）∵平面，平面，∴，∵四边形为矩形，则，∵，平面，平面，∴，所以，二面角的平面角为，∴，易知，则为等腰直角三角形，且，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，，得，．因此，与平面所成角的正弦值为．22．