2024-2025学年高中数学第六章计数原理测评课后习题含解析新人教A版选择性必修第三册

第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024重庆高三月考)(x+1)8的绽开式的各项系数和为()A.256 B.257 C.254 D.255解析令x=1,则(1+1)8=28=256,即(x+1)8的绽开式的各项系数的和为256.故选A.答案A2.把编号为1,2,3,4,5的5位运动员排在编号为1,2,3,4,5的5条跑道中,要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同,共有不同排法的种数是()A.10 B.20 C.40 D.60解析先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同,有C52,剩余的有2种排法,共有2×C52=答案B3.(2024河南高二月考)从4名男同学和3名女同学中选出3名参与某项活动,则男女生都有的不同的选法种数是()A.18 B.24 C.30 D.36解析由于选出的3名学生男女生都有,所以可分成两类:第1类,3人中是1男2女,共有C41C32=4×3=第2类,3人中是2男1女,共有C42C31=6×3=所以男女生都有的不同的选法种数是12+18=30.答案C4.(2024浙江高三专题练习)已知A3m-C32+0!=4,A.0 B.1 C.2或3 D.3解析∵A3m-C32+0!=当m=2时成立;当m=3时也成立.故选C.答案C5.(2024黑龙江牡丹江一中高三期末)张、王夫妇各带一个小孩儿到游乐园游玩,购票后依次入园,为平安起见,首尾肯定要排两位爸爸,另外两个小孩要排在一起,则这6个人的排法种数是()A.12 B.24 C.36 D.48解析先支配首尾两个位置的男家长,共有A22种方法;将两个小孩作为一个整体,与剩下的另两位家长支配在两位男家长的中间,共有A22A33种方法.由分步乘法计数原理可得全部的排法有A2答案B6.(2024全国1高考)x+y2x(x+y)5的绽开式中x3y3A.5 B.10 C.15 D.20解析因为(x+y)5的通项公式为C5k·x5-k·yk(k=0,1,2,3,4,5),所以当k=1时,y2x·C51x4y=5x3y3,当k=3时,x·C53x2y3=10x3y3,所以x答案C7.如图所示,要给①②③④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色运用多次,但相邻区域必需涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为()A.320 B.160 C.96 D.60解析依据分步乘法计数原理,区域①有5种颜色可供选择,区域③有4种颜色可供选择,区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可,故有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5×4×4×4=320(种).答案A8.(2024山东济南高三模拟)某学校实行新课程改革,即除语文、数学、外语三科为必考科目外,还要在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某高校环境科学专业,依据该高校上一年高考招生选考科目要求,物理、化学必选,为该生支配课表(上午四节、下午四节,每门课每天至少一节),已知该生某天最终两节为自习课,且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则该生该天课表有()A.444种 B.1776种 C.1440种 D.1560种解析物理、化学、生物、历史、地理、政治六选三,且物理、化学必选,所以只需在生物、历史、地理、政治中四选一,有C41=4(种对语文、外语排课进行分类,第1类,语文、外语有一科在下午第一节,则另一科可以支配在上午四节课中的随意一节,剩下的四科可全排列,有C21C4第2类,语文、外语都不在下午第一节,则下午第一节可在除语文、数学、外语三科的另三科中选择,有C31=3(语文和外语可都支配在上午,即上午第一、三节,上午第一、四节,上午其次、四节,有3×A22=6(也可一科在上午任一节,一科在下午其次节,有C41A2其他三科可以全排列,有C31(6+8)A33=综上,共有4×(192+252)=1776(种).故选B.答案B二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2024江苏扬中高级中学高二期中)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是()A.若随意选择三门课程,选法总数为AB.若物理和化学至少选一门,选法总数为CC.若物理和历史不能同时选,选法总数为CD.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为C解析若随意选择三门课程,选法总数为C73,故A若物理和化学至少选一门,选法总数为C21C52若物理和历史不能同时选,选法总数为C73-C2若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为C21C52+C2答案ABD10.(2024江苏丰县中学高二期中)下列等式中,成立的有()A.Anm=C.Cnm=Cn解析Anm=n(n-1)…(n-m+1)=n!(n依据组合数性质知B,C正确;Anm=n!(n-m)!答案BCD11.(2024山东高二期中)若(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8且a1+a2+…+a8=255,则实数m的值可以为()A.-3 B.-1 C.0 D.1解析因为(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=1,得(1+m)8=a0+a1+a2+…+a8,令x=0,得a0=1.因为a1+a2+…+a8=255,所以(1+m)8-1=255,所以(1+m)8=256=28,所以1+m=2或1+m=-2,解得m=1或m=-3.故选AD.答案AD12.(2024山东宁阳第四中学高二期中)已知(ax2+1x)n(a>0)的绽开式中第5项与第7项的二项式系数相等,A.绽开式中奇数项的二项式系数和为256B.绽开式中第6项的系数最大C.绽开式中存在常数项D.绽开式中含x15的项的系数为45解析由二项式的绽开式中第5项与第7项的二项数系数相等,可知n=10.又因为绽开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二项式为(x二项式系数和为210=1024,则奇数项的二项式系数和为12×1024=512,故A错误由n=10可知绽开式共有11项,故第6项的二项式系数最大,因为x2与x-12的系数均为1,则该二项绽开式的二项式系数与相应各项的系数相同,所以第6项的系数最大,故若绽开式中存在常数项,由通项Tk+1=C10kx2(10-k)x-12k可得2(10-k)-12k=0,由通项Tk+1=C10kx2(10-k)x-12k可得2(10-k)-12k=15,解得k=2,所以系数为C102答案BCD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2024上海高二期末)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,则甲、乙两人都抢到红包的状况有种.

解析第1步,甲、乙抢到红包,有A42=4×3=12(种),第2步,其余三人抢剩下的两个红包,有A32=3×2=6(种),所以甲、乙两人都抢到红包的状况有12×6=答案7214.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的安排方案有种.

解析先分组C52C32C11A22,再把三组安排答案9015.(2024安徽高三模拟)(x2+2)(2x-1x)6解析因为2x-1x6的绽开式中含1x2的项为C64(2x)2(-1x)4=60x2,(2x-1x)6的绽开式中含常数项C63(2答案-26016.(2024浙江高三专题练习)某学校要支配2名高二的同学、2名高一的同学和1名初三的同学去参与电视节目,有五个乡村小镇A,B,C,D,E(每名同学选择一个小镇),由于某种缘由高二的同学不去小镇A,高一的同学不去小镇B,初三的同学不去小镇D和E,则共有种不同的支配方法.

解析假如初三学生去A,则高二学生选1人去B,另外三人去C,D,E,故不同的支配方法有C21A3假如初三学生去B,则高一学生选1人去A,另外三人去C,D,E,故不同的支配方法有C21A3假如初三学生去C,则高二学生选1人去B,高一学生选1人去A,另外两人去D,E,故不同的支配方法有C21C21故共有不同的支配方法12+12+8=32(种).答案32四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024黑龙江海林朝鲜族中学高二期末)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.解(1)依据所给的等式求得常数项a0=1.令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=-1.则a1+a2+…+a7=-2.(2)在所给的等式中,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=-1.①令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a7=37.②(①-②)÷2,可得a1+a3+a5+a7=-1094.(3)由(2),(①+②)÷2,可得a0+a2+a4+a6=1093.(4)在所给的等式中,令x=-1,可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a0-a1+a2-a3+…-a7=37=2187.18.(12分)(2024安徽六安中学高二期中)某医院有内科医生8名、外科医生6名,现选派4名参与抗击新冠肺炎疫情医疗队.(1)甲、乙两人至少有一人参与,有多少种选法?(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?解(1)不考虑甲、乙两人,从全部14名医生中选派4名共有C144=1001(种);甲、乙两人都没被选派共有C124=495(种).故甲、乙两人至少有一人参与,有1001-495=(2)此时4名医生的组成可分为三类:第1类,1名内科医生、3名外科医生,共有C81C6第2类,2名内科医生、2名外科医生,共有C82C6第3类,3名内科医生、1名外科医生,共有C83C61故队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有160+420+336=916(种)选法.19.(12分)(2024四川仁寿其次中学高二月考(理))在3x-123xn的绽开式中,(1)求绽开式的第四项;(2)求绽开式的常数项;(3)求绽开式中各项的系数和.解通项为Tk+1=(-由已知,(-12)0Cn0,12Cn1,122Cn2成等差数列,得(1)令k=3,得T4=(-12)(2)令8-2k=0,得k=4,故T5=358(3)令x=1,得各项的系数和为128=1256.20.(12分)(2024江苏高二期中)有7本不同的书:(1)全部分给6个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?(2)全部分给5个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?解(1)依据题意,将7本书分给6个人,且每人至少1本,则必需是其中1个人2本,其他人每人1本,则分两步:第1步,将7本书,分为6组,其中1组2本,其他组每组1本,有C72=21(种)第2步,将分好的6组对应6人,将6组进行全排列即可,有A66=720(种)一共有21×720=15120(种)不同的分法.(2)分两类:第1类,1人得3本,其余4人各得一本,方法数为C73第2类,2人各得2本,其余3人各得1本,方法数为12C7所以所求分法种数为4200+12600=16800.21.(12分)(2024河南南阳中学高二月考)已知(3x+x2)2n的绽开式的二项式系数和比(3x-1)n的绽开式的二项式系数和大992(1)二项式系数最大的项;(2)系数的肯定值最大的项.解由题意22n-2n=992,解得n=5.(1)(2x-1x)10的绽开式中第6项的二项式系数最大,即T6=T5+1=C105·(2x(2)设第k+1项的系数的肯定值最大,Tk+1=C10k·(2x)10-k·(-1x)k=(-1)k·C10k·210-k即C解得83≤k≤113,故k=系数的肯定值最大的项为T4=C103(2x)7(-1x22.(12分)(2024江苏徐州高二月考)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)在(1)中的七位数中,三个