2024-2025学年新教材高中数学第三章指数运算与指数函数3.2指数幂的运算性质一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE5第三章指数运算与指数函数§2指数幂的运算性质学问点指数幂运算性质基本应用1.☉%￥#42#￥83%☉(多选)(2024·长安一中检测)下列等式能够成立的是()。A.nm7=n17·m-7(m≠nB.12(-3C.4x3+y3=(x+y)34D.39=答案：AD解析：因为nm7=n7m7=n7·m-7,所以A正确;因为12(-3)4=1234=313≠(-3)13,所以B错误;因为4x3+y3=(x3+2.☉%7￥#0￥1￥2%☉(2024·西安中学月考)设a12-a-12=3,则A.7B.119C.47D.45答案：B解析：由a12-a-12=3,可得(a12-a-12)2=a+a-1-2=32,解得a+a-1=11。故(a+a-1)2=a2+a-2+2=112,解得a2+a-2=119。所以a3.☉%7#28#1@￥%☉(2024·安庆一中检测)已知a2+a-2=22,且a>1,则a2-a-2的值为()。A.2或-2B.-2C.6D.2答案：D解析：(a2-a-2)2=(a2+a-2)2-4=8-4=4,又a>1,所以a2>a-2,所以a2-a-2=2。故选D。4.☉%￥030#@@1%☉(2024·银川一中检测)假如x=1+2m,y=1+2-m,那么用x表示y正确的是()。A.y=x+1x-1C.y=x-1x+1答案：D解析：由x=1+2m得2m=x-1,故2-m=1x-1。所以y=1+1x-1=5.☉%￥108*7@￥%☉(2024·杭州模拟)已知f(x12+x-12)=x+x-1-2,则f(A.x2-4B.(x+1)2C.(x+1)-1+(x+1)-2D.x2+2x-3答案：D解析：因为f(x12+x-12)=(x12+x-12)2-4,所以f(x+1)=(x+1)6.☉%￥4*#@187%☉(2024·华师一附中月考)若3a·9b=13,则下列等式正确的是()A.a+b=-1B.a+b=1C.a+2b=-1D.a+2b=1答案：C解析：3a·9b=3a·32b=3a+2b=13=3-1,则a+2b=-1。故选C7.☉%84@3#2@￥%☉(2024·成都模拟)若x3+x2+x=-1,则x-28+x-27+…+x-2+x-1+1+x1+x2+…+x27+x28的值是()。A.2B.0C.-1D.1答案：D解析：由x3+x2+x=-1,得x2(x+1)+x+1=0,即(x+1)(x2+1)=0,解得x=-1。所以x-28+x-27+…+x-2+x-1+1+x1+x2+…+x27+x28=1。故选D。题型指数幂的综合应用8.☉%330￥￥6￥@%☉若b<0且3b+3-b=13,则3b-3-b等于()。A.±3B.-2C.-3D.9答案：C解析：因为3b+3-b=13,所以(3b-3-b)2=(3b+3-b)2-4=13-4=9,所以|3b-3-b|=3。因为b<0,所以3b-3-b<0,所以3b-3-b=-3。故选C。9.☉%￥614@*4@%☉(2024·内蒙古模拟)若x>0,则(2x14+232)(2x14-232)-4x-答案：-4解析：原式=4x12-23-4x10.☉%6644@#**%☉(2024·临川一中月考)已知10α=2,10β=3,则1003α2-答案：83解析：1003α2-β3=102(3α2-β3)=103α-2β3=(1011.☉%62*2#￥8#%☉(2024·苏州模拟)已知an=2n,则3a10a3答案：3·2n-3解析：a10=210,a3=23,所以a10a3=27,所以原式=3[(212.☉%*08￥￥*99%☉(2024·昆明三中期中)下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是(只填序号)。

①-x=(1-x)12(x>0);②6y2=y13(y<0);③x-34=41x3答案：③解析：对于①,-x=-x12,故①错误;对于②,当y<0时,6y2>0,y13<0,故②错误;对于③,x-34=14x3=41x3(x>0),故③正确13.☉%@￥*23#02%☉(2024·新余四中月考)已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0且a≠1),则a4m+n的值为。

答案：4解析：因为a①×②,得a3m=26,所以am=22。将am=22代入②,得22×a-n=28,所以an=2-6,所以a4m+n=a4m·an=(am)4·an=(22)4×2-6=22=4。14.☉%￥124*#@0%☉(2024·枣庄八中检测)已知a12+a-(1)a+a-1;答案：解:将a12+a-12=3两边平方,得a+a-1+2=9,即a(2)a2+a-2;答案：将式子a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,所以a2+a-2=47。(3)a3答案：由于a32-a-32=(a12所以有a32-a-32a115.☉%4*2*7￥￥3%☉(2024·石门一中月考)完成下列题目。(1)已知x=a-3+b-2,化简4x答案：解:由x=a-3+b-2,得x-a-3=b-2,所以4x2-2a-3(2)设a23+b23=4,x=a+3a13b23,y=b+3a23b1答案：令a13=A,b13=B,则x=A3+3AB2,y=B3+3x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3,x-y=A3+3AB2-3A2B-B3=(A-B)3。所以(x+y)23+(x-y)23=(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2)=2(a16.☉%23*￥#@18%☉(2024·长沙一中月考)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,求证:2c=2a+答案：证明:令3a=4b=6c=t(t>0),则3=t1a,2=t1因为3×2=6,所以t1a·t12b=t1c,所以2c=2a+17.☉%2*8**#03%☉(2024·江西临川一中检测)已知ax3=by3=cz3,且1x+1y+1z=1,求证:(ax2+by2+cz2)13=a答案：证明:令ax3=by3=cz3=t,则ax2=tx,by2=ty,cz2=因为1x+1y+1z=1,所以tx+ty即ax2+by2+cz2=t。所以(ax2+by2+cz2)13=t13=t13·1x+1y+1z18.☉%##0@*836%☉(2024·四川内江一中模拟)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,ω,若ax=by=cz=70ω,1ω=1x+1y+1z,求a,答案：解:因为ax=70ω,且x,ω为非零实数,所以a1ω=7同理,可得b1ω=701y,所以a1ω·b1ω·c1ω=701即(abc)1ω=7又1x+1y+1z=1ω,a,b所以abc=70=2×5×7。因为a≤b≤c,所以a=2,b=5,c=7。19.☉%4@54*@4#%☉(2024·宁波调考)完成下列题目。(1)当x=2+2,y=2-2时,求(x23-y-13)·(x4答案：解:因为x=2+2,y=2-2所以原式=x2-y-1=2+2-12-2(2)若a2x=2-1,求a3答案：由a2x=2-1,得a-2x=2+1,所以a3x+a-3xax+a-20.☉%8@#31#2#%☉(2024·中山调考)已知f(x)=ex-e-x,g(x)=ex+e-x(x,y∈R)。(e=2.718…为常数)(1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值;答案：解:[f(x)]2-[g(x)]2=[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]=(ex-e-x+ex+e-x)(ex-e-x-ex-e-x)=2ex·(-2e-x)=-4e0=-4。(2)设f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求g(答案：由f(x)f(y)=(ex-e-x)(ey-e-y)=ex+y+e-(x+y)-ex-y-e-(x-y)=g(x+y)-g(x-y)=4。同理可得g(x)g(y)=g(x+y)+g(x-y)=8,所以g(x+y)=6,g(x-y)=2,所以g(x+y21.