2025届湖北省部分学校高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分学校2025届高三上学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，则.故选：D.2.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（）A. B. C.24 D.48〖答案〗D〖解析〗由直观图可得如下平面图形：其中，，，轴，且，所以.故选：D.3.的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中项的系数为（）A.2 B.8 C. D.-17〖答案〗D〖解析〗令，可得，，在的展开式中的系数为：．故选D．4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，两边同除，得到，即.，.故选：C.5.设，，，则，，大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为在定义域上单调递减，所以，又在定义域上单调递增，所以，在定义域上单调递减，所以，所以.故选：B.6.谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是：.故选：C.7.已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由圆的方程为可得圆心，半径，若圆与函数相交，则圆心到直线的距离，即，若函数的图象与圆有四个公共点，则原点在圆的外部，即，解得，综上函数的图象与圆有四个公共点则，所以“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B.8.已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函数，向右平移个单位长度，得，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，令，得，所以，若函数在上没有零点，则需，所以，所以，若函数在上有零点，则，当k=0时，得，解得，当k=1时，得，解得，综上：函数在上有零点时，或，所以函数在上没有零点，.所以的取值范围是.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全选对的得6分，选对但不全的得部分分，选错不得分.9.设是非零复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗A选项，，故，正确；B选项，即.故，正确；C选项，即z为纯虚数，故，不正确；D选项，∵，故，正确.故选：ABD.10.某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（）A.事件A与事件C不互斥 B.事件A与事件B互为对立事件C.事件B与事件C互斥 D.事件C与事件D互为对立事件〖答案〗AB〖解析〗由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A与事件C不互斥，事件A与事件B为对立事件，事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥但不对立，故A，B正确，C，D错误.故选：AB.11.已知正方体的棱长为2，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A.若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为B.若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线C.若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆D.若与所成的角为，则的轨迹为双曲线〖答案〗ABD〖解析〗A中，记MN中点为P，DM中点为Q，连接PQ，易知，且，如图，若MN=2，则DN=，则，所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积，故A正确；B中，点N到直线的距离为NB，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故B正确；C中，易知，则，所以N的轨迹是以D为圆心，半径为的圆，故C错误；D中，过点N向AD作垂线，垂足为R，易知，所以，所以，在平面ABCD中，以DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，则，整理得，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________.〖答案〗〖解析〗因为，，与的夹角为，所以.因为，所以，解得.13.椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为______.〖答案〗〖解析〗令椭圆的半焦距为c，由轴，为等腰直角三角形，得，，由椭圆的定义得，即，所以椭圆的离心率.14.已知函数的定义域为，且满足，，，则__________.〖答案〗2024〖解析〗由可知的图象关于直线对称，从而，又因为，令，得，所以，由，得，两式相减可得，故的最小正周期为8，则，，因为，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且满足（1）求角B的值；（2）若且，求的取值范围.解：（1）在中，，，，，，，即，又，所以，解得或.（2）∵且，∴，由正弦定理得，所以，.故，∵，∴，，又易知函数在上单调递增，于是当，即时的最小值为，当，即时的最大值为.所以，即的取值范围.16.已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.解：（1）由的焦点坐标为由双曲线与有相同的焦点所以双曲线的焦点坐标为故，在双曲线中：①又双曲线经过点所以②解得：所以双曲线的方程为：.（2）由题知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：由直线与双曲线交于两点，设，所以消去整理得：，所以，，所以，由的中点坐标为，所以，所以.17.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.解：（1）以A坐标原点，，，所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，其中，，若P是的中点，则，，，于是，∴，即.（2）由题设知，，是平面内的两个不共线向量.设是平面的一个法向量，则取，得.又平面的一个法向量是，∴，而二面角的余弦值为，因此，解得或（舍去），此时.设（），而，由此得点，，∵平面，且平面的一个法向量是，∴，即，解得，从而.将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.18.已知函数.（1）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求证：，.（2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围.解：（1）当时，（ⅰ），又，所以切线方程为.（ⅱ），，因为，所以,所以，所以所以在单调递增，所以；（2），当时，所以，,由（1）知，，所以在上单调递增.所以当时，没有极值点，当时，，因为与在单调递增.所以在单调递增.所以，.所以使得.所以当时，，因此在区间上单调递减，当时，，因此在区间上单调递增.故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.19.中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为，传给对角线上的同学的概率为，由甲开始传球．（1）求第3次传球是由乙传给甲的概率；（2）求第次传球后排球传到丙手中的概率；（3）若随机变量服从两点分布，且，，，…，，则，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中次数为，求．解：（1）设第次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为，则．第2次传球到乙手中的概率，所以第3次传球是由乙传给甲的概率为．（2）根据已知条件可得，当时，联立则有，所以是首项为，公比为的等比数列，故．因为，所以，代入①②式得，将⑤代入⑥得，，则，其中，故，，，……，，由累加法可得，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，故第次传球后排球传到丙手中的概率为．（3）随机变量服从两点分布，设第i次未传到乙手中的概率为，则排球第i次传到乙手中的概率为，则．由（2）知，其中，所以．湖北省部分学校2025届高三上学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，则.故选：D.2.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（）A. B. C.24 D.48〖答案〗D〖解析〗由直观图可得如下平面图形：其中，，，轴，且，所以.故选：D.3.的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中项的系数为（）A.2 B.8 C. D.-17〖答案〗D〖解析〗令，可得，，在的展开式中的系数为：．故选D．4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，两边同除，得到，即.，.故选：C.5.设，，，则，，大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为在定义域上单调递减，所以，又在定义域上单调递增，所以，在定义域上单调递减，所以，所以.故选：B.6.谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是：.故选：C.7.已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由圆的方程为可得圆心，半径，若圆与函数相交，则圆心到直线的距离，即，若函数的图象与圆有四个公共点，则原点在圆的外部，即，解得，综上函数的图象与圆有四个公共点则，所以“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B.8.已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函数，向右平移个单位长度，得，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，令，得，所以，若函数在上没有零点，则需，所以，所以，若函数在上有零点，则，当k=0时，得，解得，当k=1时，得，解得，综上：函数在上有零点时，或，所以函数在上没有零点，.所以的取值范围是.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全选对的得6分，选对但不全的得部分分，选错不得分.9.设是非零复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗A选项，，故，正确；B选项，即.故，正确；C选项，即z为纯虚数，故，不正确；D选项，∵，故，正确.故选：ABD.10.某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（）A.事件A与事件C不互斥 B.事件A与事件B互为对立事件C.事件B与事件C互斥 D.事件C与事件D互为对立事件〖答案〗AB〖解析〗由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A与事件C不互斥，事件A与事件B为对立事件，事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥但不对立，故A，B正确，C，D错误.故选：AB.11.已知正方体的棱长为2，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A.若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为B.若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线C.若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆D.若与所成的角为，则的轨迹为双曲线〖答案〗ABD〖解析〗A中，记MN中点为P，DM中点为Q，连接PQ，易知，且，如图，若MN=2，则DN=，则，所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积，故A正确；B中，点N到直线的距离为NB，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故B正确；C中，易知，则，所以N的轨迹是以D为圆心，半径为的圆，故C错误；D中，过点N向AD作垂线，垂足为R，易知，所以，所以，在平面ABCD中，以DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，则，整理得，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________.〖答案〗〖解析〗因为，，与的夹角为，所以.因为，所以，解得.13.椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为______.〖答案〗〖解析〗令椭圆的半焦距为c，由轴，为等腰直角三角形，得，，由椭圆的定义得，即，所以椭圆的离心率.14.已知函数的定义域为，且满足，，，则__________.〖答案〗2024〖解析〗由可知的图象关于直线对称，从而，又因为，令，得，所以，由，得，两式相减可得，故的最小正周期为8，则，，因为，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且满足（1）求角B的值；（2）若且，求的取值范围.解：（1）在中，，，，，，，即，又，所以，解得或.（2）∵且，∴，由正弦定理得，所以，.故，∵，∴，，又易知函数在上单调递增，于是当，即时的最小值为，当，即时的最大值为.所以，即的取值范围.16.已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.解：（1）由的焦点坐标为由双曲线与有相同的焦点所以双曲线的焦点坐标为故，在双曲线中：①又双曲线经过点所以②解得：所以双曲线的方程为：.（2）由题知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：由直线与双曲线交于两点，设，所以消去整理得：，所以，，所以，由的中点坐标为，所以，所以.17.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.解：（1）以A坐标原点，，，所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，其中，，若P是的中点，则，，，于是，∴，即.（2）由题设知，，是平面内的两个不共线向量.设是平面的一个法向量，则取，得.又平面的一个法向量是，∴，而二面角的余弦值为，因此，解得或（舍去），此时.设（），而，由此得点，，∵平面，且平面的一个法向量是，∴，即，解得，从而.将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.18.已知函数.（1）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求证：，.（2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围.解：（1）当时