2023-2024学年四川省眉山市仁寿县高一下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题一、单项选择题.1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以.故选：B.2.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A.32，90 B.32，92 C.30，90 D.30，92〖答案〗A〖解析〗因为的平均数是10，方差是10，所以的平均数是，方差是.故选：A.3.圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知：上、下底面的半径分别为1和3，所以侧面积为.故选：D．4.已知向量，，若与共线，则（）A. B.4 C. D.或4〖答案〗D〖解析〗由两向量共线可知，即，解得或.故选：D.5.将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位〖答案〗D〖解析〗因为，所以将函数的图象向右平移个单位所得的图象对应的函数为.故选：.6.求值（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因为；；，所以.故选：D.7.如图，在边长为3的正三角形中，，，则（）A. B.3 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由题意知，，则，所以.故选：C.8.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，整理得，所以，又，则，故，，因为为锐角三角形，所以，即，所以，即，所以的取值范围为．故选：B.二、多项选择题.9.有下列说法，其中正确的说法为（）A.若，则是等腰三角形B.若，则P是三角形的垂心C.若，则为钝角三角形D.若，则存在唯一实数使得〖答案〗BC〖解析〗对于A，在中，由，得或，则或，则是等腰三角形或直角三角形，A错误；对于B，由，得，则，同理，，即是三角形的垂心，B正确；对于C，由，得，由正弦定理得，则，为钝角，为钝角三角形，C正确；对于D，当，时，显然有，但此时不存在，D错误.故选：BC.10.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（）A.B.的图象关于点中心对称C.D.在上的值域为〖答案〗AC〖解析〗A选项，设的最小正周期为，则，故，因为，所以，A正确；B选项，由图象可知，，，将代入〖解析〗式得，故，故，因为，所以，故，，故的图象不关于点中心对称，B错误；C选项，，C正确；D选项，，，故，D错误.故选：AC.11.如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面B.三棱锥的体积为C.过三点的平面截正方体所得截面的面积为D.若，则点的轨迹长度为〖答案〗BCD〖解析〗选项A，如图，设点是棱中点，由均为所在棱的中点，根据中位线易得，进而可得与点共面，所以平面，错误；选项B，如图，因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长，正方形中，则三棱锥的体积为，选项C，由选项A知过三点的平面截正方体所得截面为正六边形，边长，所以面积为，选项D，由知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图，由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为.故选：BCD.三、填空题.12.已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为__________.〖答案〗〖解析〗因为，又，所以，解得，，因为，所以在上的投影向量为.故〖答案〗为：.13.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的样本方差为__________.〖答案〗12.4〖解析〗甲同学抽取的样本占总样本的比例为，乙同学抽取的样本占总样本的比例为，总平均数为，总方差为：.故〖答案〗为：.14.如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为______.〖答案〗〖解析〗根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，将三棱锥补形成长方体如图，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，外接球的直径等于以，，为长、宽、高的长方体的对角线长，，，，所以外接球的表面积.故〖答案〗为：.四、解答题.15.庚子新春，“新冠”病毒肆虐，强调要“人民至上､生命至上，果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）求a；（2）若从成绩不高于60分的同学中，采取样本量比例分配的分层随机抽样，抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；（3）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果保留1位小数）.解：（1）由，得.（2）因为（人），（人），所以不高于50分的抽取（人）.（3）平均数分，因为在内共有人，在内共有人，所以中位数位于内，则中位数为分.16.函数.若两相邻对称轴之间的距离为.（1）求的单调增区间；（2）若，，求.解：（1），由两相邻对称轴之间的距离为，得周期，即，所以，由，可得，所以单调增区间为.（2）由，可得，所以，因为，所以，若，则，又，所以，所以，所以，所以.17.如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，．（1）求的面积（用字母表示）；（2）若，，，，，求M，N之间的距离．解：（1）由题意可知，由正弦定理，得，面积.（2）由（1）知，在中，，，在中，，由余弦定理可得，所以.18.已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点．（1）请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置；（2）求证：平面；（3）当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值?若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由．解：（1）如图，点为的中点，连接，由为中点，则，又，所以，所以四点共面，故平面与棱柱的截面为．（2）证明：因为在与中，，所以，又，所以，所以，，且平面，所以平面，即平面.（3）由（2）知平面，又平面，所以，又，所以，又，且平面，所以平面，又，所以到平面的距离等于到平面的距离，所以，所以三棱锥的体积为定值．中，，所以，由，可得，所以点到平面的距离为．19.在中，对应的边分别为.（1）求A；（2）奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：，，当且仅当时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3.（ⅰ）求：的最小值；（ⅱ）若P是内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设的面积为S，求的最小值.解：（1）在中，，由正弦定理得，，因为，所以，所以，所以，即，因为，所以，因为，所以，故，又，所以.（2）（i）根据柯西不等式：，（当且仅当为正三角形时取等号），即：的最小值为108.（ii）.又，，由三维柯西不等式有，当且仅当，即时等号成立.所以，由余弦定理，得，所以，即，则，令，则.因为，得，当且仅当时等号成立，所以，则，令，令，则，由二次函数单调性可知，当即时，有最大值，此时有最小值（此时与可以同时取到）.四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题一、单项选择题.1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以.故选：B.2.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A.32，90 B.32，92 C.30，90 D.30，92〖答案〗A〖解析〗因为的平均数是10，方差是10，所以的平均数是，方差是.故选：A.3.圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知：上、下底面的半径分别为1和3，所以侧面积为.故选：D．4.已知向量，，若与共线，则（）A. B.4 C. D.或4〖答案〗D〖解析〗由两向量共线可知，即，解得或.故选：D.5.将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位〖答案〗D〖解析〗因为，所以将函数的图象向右平移个单位所得的图象对应的函数为.故选：.6.求值（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因为；；，所以.故选：D.7.如图，在边长为3的正三角形中，，，则（）A. B.3 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由题意知，，则，所以.故选：C.8.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，整理得，所以，又，则，故，，因为为锐角三角形，所以，即，所以，即，所以的取值范围为．故选：B.二、多项选择题.9.有下列说法，其中正确的说法为（）A.若，则是等腰三角形B.若，则P是三角形的垂心C.若，则为钝角三角形D.若，则存在唯一实数使得〖答案〗BC〖解析〗对于A，在中，由，得或，则或，则是等腰三角形或直角三角形，A错误；对于B，由，得，则，同理，，即是三角形的垂心，B正确；对于C，由，得，由正弦定理得，则，为钝角，为钝角三角形，C正确；对于D，当，时，显然有，但此时不存在，D错误.故选：BC.10.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（）A.B.的图象关于点中心对称C.D.在上的值域为〖答案〗AC〖解析〗A选项，设的最小正周期为，则，故，因为，所以，A正确；B选项，由图象可知，，，将代入〖解析〗式得，故，故，因为，所以，故，，故的图象不关于点中心对称，B错误；C选项，，C正确；D选项，，，故，D错误.故选：AC.11.如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面B.三棱锥的体积为C.过三点的平面截正方体所得截面的面积为D.若，则点的轨迹长度为〖答案〗BCD〖解析〗选项A，如图，设点是棱中点，由均为所在棱的中点，根据中位线易得，进而可得与点共面，所以平面，错误；选项B，如图，因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长，正方形中，则三棱锥的体积为，选项C，由选项A知过三点的平面截正方体所得截面为正六边形，边长，所以面积为，选项D，由知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图，由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为.故选：BCD.三、填空题.12.已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为__________.〖答案〗〖解析〗因为，又，所以，解得，，因为，所以在上的投影向量为.故〖答案〗为：.13.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的样本方差为__________.〖答案〗12.4〖解析〗甲同学抽取的样本占总样本的比例为，乙同学抽取的样本占总样本的比例为，总平均数为，总方差为：.故〖答案〗为：.14.如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为______.〖答案〗〖解析〗根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，将三棱锥补形成长方体如图，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，外接球的直径等于以，，为长、宽、高的长方体的对角线长，，，，所以外接球的表面积.故〖答案〗为：.四、解答题.15.庚子新春，“新冠”病毒肆虐，强调要“人民至上､生命至上，果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）求a；（2）若从成绩不高于60分的同学中，采取样本量比例分配的分层随机抽样，抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；（3）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果保留1位小数）.解：（1）由，得.（2）因为（人），（人），所以不高于50分的抽取（人）.（3）平均数分，因为在内共有人，在内共有人，所以中位数位于内，则中位数为分.16.函数.若两相邻对称轴之间的距离为.（1）求的单调增区间；（2）若，，求.解：（1），由两相邻对称轴之间的距离为，得周期，即，所以，由，可得，所以单调增区间为.（2）由，可得，所以，因为，所以，若，则，又，所以，所以，所以，所以.17.如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，．（1）求的面积（用字母表示）；（2）若，，，，，求M，N之间的距离．解：（1）由题意可知，由正弦定理，得，面积.（2）由（1）知，在中，，，在中，，由余弦定理可得，所以.18.已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于