2023-2024学年辽宁省葫芦岛市高一下学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列各角中与终边相同的角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗运用终点相同角概念知道，与终边相同的角为，则当，.故选：B.2.已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，则在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.3.若平面向量与满足，且与的夹角为，则（）A.1 B. C. D.31〖答案〗B〖解析〗，.故选：B.4.斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（）A.56 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由为四棱台的斜高，设四棱台的高为，则，所以四棱台的体积为：.故选：C.5.已知函数，若将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，因为函数为奇函数，所以，又，所以当时，有最小值是.故选：C.6.已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，根据三角函数定义．故选：D.7.在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得为等边三角形，故过点作交于点，则为中点，所以向量在向量上的投影向量为，与方向相反，由是中点，为中点，有.故选：C.8.设集合，则集合A的元素个数为（）A.1013 B.1014 C.2024 D.2025〖答案〗A〖解析〗当时，，由正切函数性质知道，此时单调递增，则集合至少有1012个元素，即为，当时，由于正切函数关于对称，则，，，，则当增加时，元素与前面的重复，当时，元素等于0，当时，运用正切函数的周期性知道，又元素重复出现了，则集合A的元素个数为1013个.故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.在中，为边上一动点，则（）A.B.的外接圆半径为C.当为角的角平分线时，D.当为中点时，〖答案〗ABC〖解析〗对于A，由题意及余弦定理得，故A正确；对于B，由A结合正弦定理可知的外接圆半径为，故B正确；对于C，当为角的角平分线时，则由，得，所以，即，故C正确；对于D，当为中点时，有，所以，所以，故D错误.故选：ABC.10.设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗是方程的两根，则有，由，得，解得，A选项错误；，有，由，有，，由，所以，B选项正确；由得，，C选项错误；，D选项正确.故选：BD.11.如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（）A.直线与直线所成角的正切值为B.当时，S等腰梯形C.当时，S与交于点，则D.当时，S为五边形〖答案〗BCD〖解析〗正方体的棱长为为的中点，对于A，，直线与直线所成角为，所以，A错误；对于B，，即为中点，此时，，，则截面为等腰梯形，B正确；对于C，，连接并延长交延长线于，直线交于，由，得，由是的中点，，得，因此，C正确；对于D，若，连接并延长交延长线于，直线交于，交延长线于点，连接交于点，连接得截面，过点的平面与正方体的5个表面相交，因此截面是五边形，D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知，且（其中为虚数单位），则__________.〖答案〗〖解析〗，则.故〖答案〗为：.13.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则__________.〖答案〗〖解析〗依题意，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，结合图形知，，即，两式平方相加得，即，所以.故〖答案〗为：.14.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为__________.〖答案〗〖解析〗取中点为，过作交于，则，即为中点，因为平面，所以平面，因为，所以，所以，，所以，是三棱锥外接球球心，为球的半径，由，又，当且仅当，等号成立，此时，所以球半径，故，该“鞠”的体积最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在同一平面内的三个向量，若.（1）若，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.解：（1），，其中，，或.（2）与垂直，，于是，，，.16.已知函数的部分图象，如图所示.（1）求函数的〖解析〗式；（2），求函数的值域；（3）若，求满足不等式的的取值范围.解：（1）由图可得，则，因为，且，所以，所以，由图可知，则，解得，因为，所以，故.（2）由（1）知，设，，所以函数的值域为.（3）由，得，则，解得或，解得或，又，所以.17.已知的内角的对边为，且.（1）求；（2）已知为的中点，底边上中线长为时，求面积的最大值.解：（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以.（2）由（1）知，，在中，由余弦定理可得，即，所以，当且仅当时，取得到等号，此时面积的最大值.18.如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.（1）求圆柱的表面积；（2）证明：平面平面；（3）若是的中点，点在线段上，求的最小值.解：（1）圆柱的底面半径，圆柱的侧面积，圆柱的底面积为，所以表面积.（2）由题意知平面，又平面，所以，而平面，所以平面，又平面，故平面平面.（3）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上，当三点共线时取得最小值，为，，，所以在三角形中，由余弦定理可得：，所以的最小值等于.19.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且．（1）求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和；（2）若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的〖解析〗式及单调区间．解：（1）在直四棱柱中，，底面ABCD为菱形，由离散曲率的定义知：的离散曲率相等，的离散曲率相等，所以处的曲率为，而处的曲率为，又，所以、两处的曲率和为，故直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和.（2）由题设，处的曲率，故，所以直四棱柱底面面积，故直四棱柱高为1，故体积为，令，，可得，，即，上递增；令，，可得，，即，上递减；所以增区间为，减区间为，.辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列各角中与终边相同的角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗运用终点相同角概念知道，与终边相同的角为，则当，.故选：B.2.已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，则在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.3.若平面向量与满足，且与的夹角为，则（）A.1 B. C. D.31〖答案〗B〖解析〗，.故选：B.4.斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（）A.56 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由为四棱台的斜高，设四棱台的高为，则，所以四棱台的体积为：.故选：C.5.已知函数，若将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，因为函数为奇函数，所以，又，所以当时，有最小值是.故选：C.6.已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，根据三角函数定义．故选：D.7.在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得为等边三角形，故过点作交于点，则为中点，所以向量在向量上的投影向量为，与方向相反，由是中点，为中点，有.故选：C.8.设集合，则集合A的元素个数为（）A.1013 B.1014 C.2024 D.2025〖答案〗A〖解析〗当时，，由正切函数性质知道，此时单调递增，则集合至少有1012个元素，即为，当时，由于正切函数关于对称，则，，，，则当增加时，元素与前面的重复，当时，元素等于0，当时，运用正切函数的周期性知道，又元素重复出现了，则集合A的元素个数为1013个.故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.在中，为边上一动点，则（）A.B.的外接圆半径为C.当为角的角平分线时，D.当为中点时，〖答案〗ABC〖解析〗对于A，由题意及余弦定理得，故A正确；对于B，由A结合正弦定理可知的外接圆半径为，故B正确；对于C，当为角的角平分线时，则由，得，所以，即，故C正确；对于D，当为中点时，有，所以，所以，故D错误.故选：ABC.10.设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗是方程的两根，则有，由，得，解得，A选项错误；，有，由，有，，由，所以，B选项正确；由得，，C选项错误；，D选项正确.故选：BD.11.如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（）A.直线与直线所成角的正切值为B.当时，S等腰梯形C.当时，S与交于点，则D.当时，S为五边形〖答案〗BCD〖解析〗正方体的棱长为为的中点，对于A，，直线与直线所成角为，所以，A错误；对于B，，即为中点，此时，，，则截面为等腰梯形，B正确；对于C，，连接并延长交延长线于，直线交于，由，得，由是的中点，，得，因此，C正确；对于D，若，连接并延长交延长线于，直线交于，交延长线于点，连接交于点，连接得截面，过点的平面与正方体的5个表面相交，因此截面是五边形，D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知，且（其中为虚数单位），则__________.〖答案〗〖解析〗，则.故〖答案〗为：.13.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则__________.〖答案〗〖解析〗依题意，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，结合图形知，，即，两式平方相加得，即，所以.故〖答案〗为：.14.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为__________.〖答案〗〖解析〗取中点为，过作交于，则，即为中点，因为平面，所以平面，因为，所以，所以，，所以，是三棱锥外接球球心，为球的半径，由，又，当且仅当，等号成立，此时，所以球半径，故，该“鞠”的体积最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在同一平面内的三个向量，若.（1）若，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.解：（1），，其中，，或.（2）与垂直，，于是，，，.16.已知函数的部分图象，如图所示.（1）求函数的〖解析〗式；（2），求函数的值域；（3）若，求满足不等式的的取值范围.解：（1）由图可得，则，因为，且，所以，所以，由图可知，则，解得，因为，所以，故.（2）由（1）知，设，，所以函数的值域为.（3）由，得，则，解得或，解得或，又，所以.17.已知的内角的对边为，且.（1）求；（2）已知为的中点，底边上中线长为时，求面积的最大值.解：（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以.（2