2025届广东省广州市第三中学数学高二上期末统考模拟试题含解析

2025届广东省广州市第三中学数学高二上期末统考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线平分圆的周长，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A.5 B.C.3 D.2．一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A.5800 B.6000C.6200 D.64003．若双曲线的离心率为3，则的最小值为（）A. B.1C. D.24．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（）A. B.C. D.6．已知数列的前n项和为，，，则（）A. B.C. D.7．“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件8．双曲线x21的渐近线方程是（）A.y=±x B.y=±xC.y=± D.y=±2x9．已知，则（）A. B.C. D.10．设、分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且，则的长为（）A. B.1C. D.11．斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（）A. B.C. D.12．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件14．已知直线与直线垂直，则__________15．已知抛物线C：，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则______16．命题“矩形的对角线相等”的否命题是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的首项，前n项和为，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.18．（12分）已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前n项和19．（12分）已知椭圆经过点，且离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B是椭圆C的上，下顶点，点P是直线上的动点，直线PA与椭圆C的另一交点为E，直线PB与椭圆C的另一交点为F．证明：直线EF过定点20．（12分）已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-.（1）求椭圆C的离心率（2）点M（，）在椭圆C上，椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为（1，0），过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点P，与直线AB交于点Q设L的斜率为k，若，求k的值.21．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面.（1）在线段上是否存在一点使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由；（2）求四棱锥的体积.22．（10分）已知直线：，直线：.（1）若，求与的距离；（2）若，求与的交点的坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可.【详解】由，所以该圆的圆心为，半径为，因为直线平分圆的周长，所以圆心在直线上，故，因此，，所以有，所以，故选：B2、D【解析】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.本题选择D选项.3、D【解析】由双曲线的离心率为3和，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的离心率为3，即，即，又由，可得，所以，当且仅当，即时，“”成立.故选：D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.4、B【解析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断.【详解】∵，∴“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【详解】，0，，，1，，，，，，在上的投影为，则点到直线的距离为.故选：D6、D【解析】根据给定递推公式求出即可计算作答.【详解】因数列的前n项和为，，，则，，，所以.故选：D7、A【解析】根据直线垂直求出值即可得答案.【详解】解：若直线和直线垂直，则，解得或，则“”是“直线和直线垂直”的充分非必要条件.故选：A.8、D【解析】根据双曲线渐近线定义即可求解.【详解】双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.9、C【解析】取中间值，化成同底利用单调性比较可得.【详解】,，，故，故选：C10、C【解析】由椭圆的定义得：，，结合条件可得，即可得答案.【详解】由椭圆的定义得：，，又，，所以，由椭圆知，所以.故选：C11、A【解析】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和【详解】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为，故选：A12、B【解析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.【详解】∵椭圆的方程为＋＝1，∴椭圆的长轴端点坐标为，，焦点坐标为，，∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴双曲线方程为，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据分层抽样的方法，即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件，用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取个数为件.故答案为：.14、-3【解析】因为直线与直线垂直，所以考点：本题考查两直线垂直的充要条件点评：若两直线方程分别为,则他们垂直的充要条件是15、9【解析】过A、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果.【详解】由抛物线，可知，则，所以抛物线的焦点坐标为，如图，过点A作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，由抛物线的定义可得，再根据为线段的中点，而四边形为梯形，由梯形的中位线可知，则，所以.故答案为：9.16、“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”【解析】否命题是条件否定，结论否定，即可得解.【详解】否命题是条件否定，结论否定，所以命题“矩形的对角线相等”的否命题是“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”故答案为：“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）当时，由，得，两式相减化简可得，再对等式两边同时减去1，化简可证得结论，（2）由（1）得，然后利用分组求和可求出【小问1详解】由已知得，.当时，.两式相减得，.于是，即，又，，，所以满足上式，所以对都成立，故数列是等比数列.【小问2详解】由（1）得，，.18、（1）；（2）【解析】（1）设数列的公差为d，根据等比中项的概念即可求出公差，再根据等差数列的通项公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根据分组求和法即可求出答案【详解】解：（1）设数列的公差为d，由已知得，，即，解得或，又，∴，∴；（2）由（1）得，【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，考查数列的分组求和法，考查计算能力，属于基础题19、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意，列出的方程组，通过解方程组，即可求出答案.（2）法一：设，，；当时，根据点的坐标写出直线PA的方程，与椭圆方程联立，可求出点的坐标；同理可求出点的坐标，然后即可求出直线EF的方程，从而证明直线EF过定点.法二：首先根据时直线EF的方程为，可判断出直线EF过的定点M必在y轴上，设为；然后同方法一，求出点，的坐标，根据，即可求出的值.【小问1详解】由题意，知，解得，所以椭圆C的标准方程为【小问2详解】法一：设，，，当时，直线PA的方程为，由，得解得，所以．所以同理可得所以直线EF的斜率为，所以直线EF的方程为，整理得，所以直线EF过定点当时，点E，F在y轴上，EF的方程为，显然过点综上，直线EF过定点法二：当点P在y轴上时，E，F分别与B，A重合，直线EF的方程为，若直线EF过定点M，则M必在y轴上，可设当点P不在y轴上时，设，，，则直线PA的方程为，由，得，解得，所以，所以，同理可得，所以，因为E，F，M三点共线，所以，所以，整理得，因为，所以，解得，即所以直线EF过定点20、（1）（2）1【解析】（1）根据椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-，由求解；（2）根据点M（，）在椭圆C上，顶点，再由，求得椭圆方程，由，结合，得到，设直线方程为，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由，求得Q的坐标，代入求解.【小问1详解】解：设椭圆C：的上顶点为，左顶点为，右顶点为，因为椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-,所以，即，又所以，解得；【小问2详解】因为点M（，）在椭圆C上，所以，又，解得，所以椭圆方程为，，则，因为，所以，又，所以，则，设，则，当时，则，不合题意；当时，设直线方程为，与题意方程联立，消去y得：则，所以，则，因为，由，得，因为，所以，化简得，因，则.21、（1）存在，为的中点，证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，证明，由线面平行的判定定理即可求证；（2）先证明平面面，过点作于点，即可证明面，在中，利用面积公式求出即为四棱锥的高，再由棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）线段上存在点使得平面，为的中点.证明如下：如图取的中点，的中点，连接，，，因为，分别为，的中点，所以且因为且，所以，且，所以四边形为平行四边形，可得，因为面，面，所以平面；（2）过点作于点，因为平面，面，所以平面面，因为，面，平面面，所以面，因为，，所以，，所以，即，所以，即为四棱锥的高，所以