黑龙江省大庆大庆二中、二十三中、二十八中、十中2025届高三数学第一学期期末达标测试试题含解析

黑龙江省大庆大庆二中、二十三中、二十八中、十中2025届高三数学第一学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（）A． B．C． D．2．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为A． B． C． D．3．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．04．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．845．若，则“”是“的展开式中项的系数为90”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形7．若双曲线：绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则的离心率等于（）A． B． C．2或 D．2或8．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（）A． B． C． D．9．已知函数，则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为；②函数的图象是轴对称图形；③函数的极大值为；④函数的最小值为．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④10．如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）A．， B．，C．， D．，11．设命题：，，则为A．， B．，C．， D．，12．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．充分不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在上的最小值和最大值分别是_____________．14．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点的坐标，则点落在圆内的概率为______________．15．已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为______.16．曲线在点（1，1）处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为，则实数=____。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，平面分别是上的动点，且.（1）若平面与平面的交线为，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.18．（12分）设实数满足.（1）若，求的取值范围；（2）若，，求证：.19．（12分）已知数列{an}满足条件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn．20．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.21．（12分）已知均为正实数，函数的最小值为.证明：（1）；（2）.22．（10分）在△ABC中，分别为三个内角A、B、C的对边，且(1)求角A；(2)若且求△ABC的面积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详解】椭圆的离心率：，（c为半焦距;a为长半轴），设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r，n，如图：则所以,,故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.2、D【解析】

由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可．【详解】解：如图，

∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小，

∴

设正方体的棱长为，则，∴．

取，连接，则共面，在中，设到的距离为，

设到平面的距离为，

.

故选D．【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．3、C【解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．【详解】①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；③对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，故③为假命题．故选：．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题．4、B【解析】

画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故.故选：.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5、B【解析】

求得的二项展开式的通项为,令时,可得项的系数为90,即,求得,即可得出结果.【详解】若则二项展开式的通项为,令,即,则项的系数为,充分性成立;当的展开式中项的系数为90,则有,从而,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.6、C【解析】试题分析：画出截面图形如图显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C．考点：平面的基本性质及推论．7、C【解析】

由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，所以或，由离心率公式即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，又双曲线的焦点既可在轴，又可在轴上，所以或，或.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.8、B【解析】

连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；【详解】解：连接、，，是半圆弧的两个三等分点，，且，所以四边形为棱形，．故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.9、D【解析】

因为，所以①不正确；因为，所以，，所以，所以函数的图象是轴对称图形，②正确；易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可．当时，，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，③正确；因为，所以，所以函数的最小值为，④正确．故选D．10、B【解析】

试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，．考点：程序框图、茎叶图．11、D【解析】

直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，.故本题答案为D.【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.12、D【解析】

充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数，使得，则，，得证；必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立；所以是充分不必要条件故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求导，研究函数单调性，分析，即得解【详解】由题意得，，令，解得，令，解得.在上递减，在递增．，而，故在区间上的最小值和最大值分别是．故答案为：【点睛】本题考查了导数在函数最值的求解中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题14、【解析】

连续掷两次骰子共有种结果，列出满足条件的结果有11种，利用古典概型即得解【详解】由题意知，连续掷两次骰子共有种结果，而满足条件的结果为：共有11种结果，根据古典概型概率公式，可得所求概率．故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.15、1【解析】

由双曲线的渐近线，以及求得的值即可得答案．【详解】由于双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，所以，即①，把代入，得，即②又③联立①②③，得．所以．故答案是：1．【点睛】本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即，容易只计算到，就得到结论．16、或1【解析】

利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与轴和的交点，由三角形的面积公式可得所求值．【详解】的导数为，可得切线的斜率为3，切线方程为，可得，可得切线与轴的交点为，，切线与的交点为，可得，解得或。【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）首先由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理即可得证；（2）以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴，以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【详解】解：（1）由，又平面，平面，所以平面.又平面，且平面平面，故.（2）因为平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以.若平面平面，则平面，所以，由且，又，所以.以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴，以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，设则由，可得，，即，所以可得，所以，设平面的一个法向量为，则，，，取，得所以易知平面的法向量为，设平面与平面所成的二面角为，则，结合图形可知平面与平面所成的二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用，利用空间向量法求二面角，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．18、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）依题意可得，考虑到，则有再分类讨论可得；（2）要证明，即证，即证.利用基本不等式即可得证；【详解】解：（1）由及，得，考虑到，则有，它可化为或即或前者无解，后者的解集为，综上，的取值范围是.（2）要证明，即证，由，得，即证.因为（当且仅当，时取等号）.所以成立，故成立.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.19、（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析【解析】

（Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，对分奇偶讨论，即可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用错位相减法求出，运用分析法证明即可.【详解】（Ⅰ），当为奇数时，，又由，得，当为偶数时，，又由a2＝3，得，；（Ⅱ）由（1）得，则①②①-②可得：，，若证明Sn，则需要证明，又，即证明，即证，又显然成立，故Sn得证.【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，错位相减法求前项和，分析法证明不等式，考查了分类讨论的思想，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.20、【解析】

将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.【详解】由，得，，即圆的方程为，又由消，得，直线与圆相切，，．【点睛】本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.21、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到结论，注意