山东省泰安市第四中学2025届高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析

山东省泰安市第四中学2025届高二数学第一学期期末检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等差数列的公差，且，，则的通项公式是（）A. B.C. D.2．已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A. B.C. D.3．箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件=“至少有一件次品”，则的对立事件为（）A.至多两件次品 B.至多一件次品C.没有次品 D.至少一件次品4．甲、乙、丙、丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的排名有（）种不同情况.A.6 B.8C.10 D.125．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°6．曲线在处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.7．已知函数满足对于恒成立，设则下列不等关系正确是（）A. B.C. D.8．直线被圆所截得的弦长为（）A. B.C. D.9．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x10．“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．设为数列的前n项和，且，则=（）A.26 B.19C.11 D.912．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝________14．已知抛物线C的方程为：，F为抛物线C的焦点，倾斜角为的直线过点F交抛物线C于A、B两点，则线段AB的长为________15．已知直线，抛物线上一动点到直线l的距离为d，则的最小值是______16．已知平行四边形内接于椭圆，且的斜率之积为，则椭圆的离心率为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆交于、两点，、是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形面积的最大值.18．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，点在抛物线C上（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若求直线l的方程19．（12分）在等差数列中，已知公差，前项和(其中)（1）求；（2）求和：20．（12分）已知，，且，求实数的取值范围.21．（12分）已知命题实数满足不等式，命题实数满足不等式.（1）当时，命题，均为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.22．（10分）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点.（1）求圆C的方程；（2）过点的直线与圆C交于两点，线段的中点为M，直线与直线的交点为N.判断是否为定值.若是，求出这个定值，若不是，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由于数列为等差数列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的两个根，由可知，所以，从而可求出，可得到通项公式.【详解】解：因为数列为等差数列，所以，因为，所以可以看成一元二次方程的两个根，因为，所以，所以，解得，所以故选：C【点睛】此题考查的是等差数列的通项公式和性质，属于基础题.2、B【解析】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得以为直径的圆与椭圆C有公共点，则有以，再根据直线倾斜角不小于得，由椭圆的定义得，由此可求得椭圆离心率的范围.【详解】解：设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，，N，四点共圆得，四边形必为一个矩形，即以为直径的圆与椭圆C有公共点，所以，所以，所以，因为直线倾斜角不小于，所以直线倾斜角不小于，所以，化简得，，因为，所以，所以，，又，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B.3、C【解析】利用对立事件的定义，分析即得解【详解】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况根据对立事件的定义，事件=“至少有一件次品”其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“故选：C4、C【解析】由题可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分类讨论可得答案.【详解】若甲是最后一名，则其他三人没有限制，4人排名即为，若甲是第三名，4人的排名为，所以4人的排名有种情况.故选：C5、A【解析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为故选：A6、D【解析】求出函数的导数，再求出并借助导数的几何意义求解作答.【详解】由求导得：，则有，因此，曲线在处的切线的斜率为，所以曲线在处切线的倾斜角是.故选：D7、A【解析】由条件可得函数为上的增函数，构造函数，利用函数单调性比较的大小，再根据函数的单调性确定各选项的对错.【详解】设，则，∵，∴，∴函数在上为增函数，∵，∴，故，所以，C错，令()，则，当时，，当时，∴函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，∴，∴，即，∴，故，所以，D错，，故，所以，A对，，故，所以，B错，故选：A.8、A【解析】求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以弦长为.故选：A.9、C【解析】过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选：C.10、B【解析】因但11、D【解析】先求得，然后求得.【详解】依题意，当时，，当时，，，所以，所以.故选：D12、A【解析】两直线垂直，斜率之积为，曲线与直线相切，联立方程令.【详解】法一：直线，所以，所以切线的，设切线的方程为，联立方程，所以，令，解得，所以切线方程为.法二：直线，所以，所以切线的，，所以令，所以，带入曲线方程得切点坐标为，所以切线方程为，化简得.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1则f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e14、8【解析】根据给定条件求出抛物线C的焦点坐标，准线方程，再求出点A，B的横坐标和即可计算作答.【详解】抛物线C：焦点，准线方程为，依题意，直线l的方程为：，由消去x并整理得：，设，则，于是得，所以线段AB的长为8.故答案为：815、##【解析】作直线l，抛物线准线且交y轴于A点，根据抛物线定义有，进而判断目标式最小时的位置关系，结合点线距离公式求最小值.【详解】如下图示：若直线l，抛物线准线且交y轴于A点，则，，由抛物线定义知：，则，所以，要使目标式最小，即最小，当共线时，又，此时.故答案为：.16、##0.5【解析】根据对称性设，，，根据得到，再求离心率即可.【详解】由对称性，，关于原点对称，设，，，，故.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据离心率的定义以及椭圆与抛物线焦点的关系，可以求出椭圆方程；（2）根据题意，可以利用铅锤底水平高的方法求四边形APBQ的面积，即是要利用韦达定理算出.【小问1详解】由题意，即；抛物线，焦点为，故，所以椭圆C的标准方程为：.【小问2详解】由题意作图如下：设AB直线的方程为：，并设点，，联立方程：得：，∴……①，……②，；由于A，B两点在直线PQ的两边（如上图），所以，即，将①②带入得：，解得；即由题意直线PQ的方程为，联立方程解得，，∴；将线段PQ看做铅锤底，A，B两点的横坐标之差看做水平高，得四边形APBQ的面积为：，当且仅当m=0时取最大值，而，所以的最大值为.18、（1）（2）或【解析】(1)把点的坐标代入方程即可；(2)设直线方程，解联立方程组，消未知数，得到一元二次方程，再利用韦达定理和已知条件求斜率.【小问1详解】因为抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，所以设抛物线方程为又因为点在抛物线C上，所以，解得，所以抛物线的方程为；【小问2详解】抛物线C的焦点为，当直线l的斜率不存在时，，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设直线l交抛物线的两点坐标为，，由得，，，，由抛物线得定义可知，所以，解得，即，所以直线l的方程为或19、（1）12（2）18【解析】（1）根据已知的,利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可列式求解；（2）由第（1）问中求解出的的通项公式，要求前12项绝对值的和，可以发现，该数列前6项为正项，后6项为负项，因此在算和的时候，后6项和可以取原通项公式的相反数即可计算，即为，然后再加上前6项和，即为要求的前12项绝对值的和.【小问1详解】由题意可得，在等差数列中，已知公差，前项和所以，解之得，所以n=12【小问2详解】由（1）可知数列{an}的通项公式为，所以即20、.【解析】求得集合，根据，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，集合当时，即，解得，此时满足，当时，要使得，则或，当时，可得，即，此时，满足；当时，可得，即，此时，不满足，综上可知，实数的取值范围为.21、（1）；（2）.【解析】（1）分别求出命题，均为真命题时的取值范围，再求交集即可.（2）利用集合间的关系求解即可.【详解】实数满足不等式，即命题实数满足不等式，即（1）当时，命题，均为真命题，则且则实数的取值范围为；（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集则且解得故的取值范围为.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.22、（1）（2）【解析】（1）设过点且与直线垂直的直线为，将代入直线方程，即可求出，再与求交点坐标，得到圆心坐标，再求出半径，即可得解；（2）分直线的斜率存在与不存在两种