2024-2025学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）限时训练数学试卷（9月份）

第1页（共1页）2024-2025学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）限时训练数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是（）A．120° B．180° C．240° D．360°2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，△ABC与△A′B′C关于点C（0，﹣1）成中心对称（3，1），则点A′的坐标为（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣3，﹣4）4．（3分）若⊙O的直径为4cm，点A到圆心O的距离为2cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定5．（3分）如图，已知点A（1，3），B（4，1），将线段AB绕点M逆时针旋转到A′B′，点B与B′是对应点，则点M的坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣3）6．（3分）如图，AD为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，连接AB，则∠D的度数是（）A．28° B．32° C．34° D．36°7．（3分）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心（）A． B．4 C．6 D．8．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝67.5°．点D是AO延长线上一点，若⊙O的半径为1，则AD长为（）A． B． C． D．39．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A． B．3 C．3 D．10．（3分）如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转30°得到线段BO'，①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为5；④四边形AOBO'面积＝；⑤，其中正确的结论是（）A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cmcm．12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，若∠D＝34°，则∠A的度数为．13．（3分）若点P（x+1，y﹣1）关于原点的对称的点Q的坐标为（3，﹣2），则x+y＝．14．（3分）直角三角形的两条边长分别为5和12，那么这个三角形的外接圆半径等于．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠CAB，过点D作⊙O的切线交AC于点E，若∠CAD＝22.5°，．16．（3分）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转120°得到线段BA，点D是平面内一动点，连接DA、DC，则DA+DC的最小值为．三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，求证：．18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0），将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A′的坐标．19．如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．20．如图，在平面内，△ABC绕点A逆时针旋转60°后得△ADE，连接DC．求证：△ABC≌△ADC．21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．22．在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，把BD逆时针旋转60°得到HD′，连接AD′，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″（1）判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；（2）求证：D′A＝DC；（3）求证：四边形AD'DD″是平行四边形．23．如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，垂足为E，DB平分∠CDF，连接AF，CD于H．（1）求证：DF＝DH；（2）连接EG，若∠CDF＝45°，⊙O的半径为224．问题发现：如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．拓展探究：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，并说明理由；解决问题：（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，请直接写出线段AD的长度．25．如图，AB为⊙O直径，P为AB延长线上一点，切点为C，CD⊥AB，连接AC和BC．（1）如图1，求证：CB平分∠PCD；（2）在⊙O上取点E，使得∠ACE＝2∠PCB；①如图2，E为AB下方⊙O上一点，连接BE，若BD＝1，EB＝4；②如图3，E为上一点，且＝，若半径为2，则AC的长为．

2024-2025学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）限时训练数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是（）A．120° B．180° C．240° D．360°【解答】解：由图形知，该图形是旋转对称图形，则旋转120°，240°，故选：B．2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、可以找到一点旋转180°后与原图重合，也可以找到对称轴，也是轴对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、可以找到对称轴，是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、可以找到对称轴，是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：A．3．（3分）如图，△ABC与△A′B′C关于点C（0，﹣1）成中心对称（3，1），则点A′的坐标为（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣3，﹣4）【解答】解：∵△ABC与△A′B′C关于点C（0，﹣1）成中心对称，4），设A′（m，n），依题意，，解得：m＝﹣3，n＝﹣3，∴点A′的坐标为（﹣7，﹣3），故选：C．4．（3分）若⊙O的直径为4cm，点A到圆心O的距离为2cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定【解答】解：∵⊙O的半径为2cm，点A到圆心O的距离为2cm，∴d＝r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆上，故选：B．5．（3分）如图，已知点A（1，3），B（4，1），将线段AB绕点M逆时针旋转到A′B′，点B与B′是对应点，则点M的坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣3）【解答】解：因为线段A′B′由线段AB绕点M逆时针旋转得到，所以AA′和BB′的垂直平分线经过旋转中心M．如图所示，画出线段AA′和BB′的垂直平分线，所以点M的坐标为（﹣1，1）．故选：C．6．（3分）如图，AD为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，连接AB，则∠D的度数是（）A．28° B．32° C．34° D．36°【解答】解：连接OA，如图所示：∵，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×28°＝56°，∵DA为⊙O的切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，∴∠D＝90°﹣56°＝34°，故C正确，故选：C．7．（3分）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心（）A． B．4 C．6 D．【解答】解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA，如图，∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，∴AB垂直平分OC，∴AC＝AO，而OA＝OC，∴OA＝AC＝OC，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∠OAD＝30°，∴cm，∴cm，∵OD⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝7AD＝4cm．故选：C．8．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝67.5°．点D是AO延长线上一点，若⊙O的半径为1，则AD长为（）A． B． C． D．3【解答】解：连接OB，∵∠ACB＝67.5°．∴∠AOB＝2∠C＝135°，∴∠BOD＝45°，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠OBD＝90°，∴△OBD是等腰直角三角形，∴OB＝BD＝OA＝2，∴OD＝＝，∴AD＝AO+OD＝1+，故选：A．9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A． B．3 C．3 D．【解答】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（﹣6，0），6），∴OA＝OB＝6，∴AB＝6∴OP＝AB＝4，∵OQ＝2，∴PQ＝＝，故选：D．10．（3分）如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转30°得到线段BO'，①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为5；④四边形AOBO'面积＝；⑤，其中正确的结论是（）A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤【解答】解：连接OO′，过点O作OD⊥BO′，由旋转得：∠OBO′＝60°，BO＝BO′，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠OBO′﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，∴∠O′BA＝∠COB，∴ΔO′BA≌△OBC（SAS），∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故①正确；由旋转得：∠OBO′＝60°，BO＝BO′，∴△BOO′是等边三角形，∴OO′＝OB＝4，∴点O与O′的距离为4；故②错误；∵△BOO′是等边三角形，∴∠BOO′＝60°，∵ΔO′BA≌△OBC，∴AO′＝OC＝7，∴AO2+OO′2＝AO′5，∴△AOO′是直角三角形，∴∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠BOO′+∠AOO′＝150°，故③正确；将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，连接OE，垂足为F∴AO＝AE，∠OAE＝60°，∴△AOE是等边三角形，∴OE＝AO＝3，∵OC＝5，∴OE4+EC2＝OC2，∴△OEC是直角三角形，在Rt△AOF中，AF＝AOsin60°＝4×＝，∴S△AOC+S△AOB＝S△AOC+S△ACE＝S△AOE+S△OCE＝OE•AF+×6×+，故⑤正确；在Rt△BOD中，OD＝BOsin60°＝6×，∴S四边形AOBO′＝S△BOO′+S△AOO′＝BO′•OD+×4×2 ++6，故④正确；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm2cm．【解答】解：∵OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，∴，∴，∴AD＝OA﹣OD＝5﹣6＝2（cm）；故答案为：2．12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，若∠D＝34°，则∠A的度数为28°．【解答】解：如图，连接OC，∵DC切⊙O于点C，∴OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝34°，∴∠DOC＝90°﹣34°＝56°，∴，故答案为：28°．13．（3分）若点P（x+1，y﹣1）关于原点的对称的点Q的坐标为（3，﹣2），则x+y＝﹣1．【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点P（x+1，y﹣1）关于原点的对称的点Q的坐标为（7，∴x+1＝﹣3，y﹣5＝2，解得：x＝﹣4，y＝8，∴x+y＝﹣4+3＝﹣5．故答案为：﹣1．14．（3分）直角三角形的两条边长分别为5和12，那么这个三角形的外接圆半径等于6或6.5．【解答】解：由勾股定理可知：①当直角三角形的斜边长为：12；因此这个三角形的外接圆半径为6，②当两条直角边长分别为5和12，则直角三角形的斜边长为：．因此这个三角形的外接圆半径为3.5．综上所述：这个三角形的外接圆半径等于6或2.5．故答案为：6或7.5．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠CAB，过点D作⊙O的切线交AC于点E，若∠CAD＝22.5°，1．【解答】解：过点O作OF⊥AC于点F，∵弦AD平分∠CAB，∠CAD＝22.5°，∴∠BAD＝∠CAD＝22.5°，∴∠CAB＝45°，∴∠FOA＝45°，∴FO＝FA，∵，∴，∴；∵AO＝DO，∴∠BAD＝∠ODA，过点D作⊙O的切线交AC于点E，∴∠ODE＝90°，∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD，∴∠AED＝∠ODE＝90°，∴四边形DEFO是矩形，∴DE＝FO＝1，故答案为：1．16．（3分）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转120°得到线段BA，点D是平面内一动点，连接DA、DC，则DA+DC的最小值为．【解答】解：如图，把BD绕点B顺时针旋转120°得到BD'，CD'，则∠DBD'＝∠ABC＝120°，DB＝D'B＝5，∵∠ABD+∠DBC＝∠DBC+CBD′＝120°，∴∠ABD＝∠CBD'，又∵AB＝CB，DB＝D'B，∴△ABD≌△CBD'（SAS），∴AD＝CD'，∴AD+CD的最小值为CD+CD'的最小值，即DD'的值，∵BE⊥DD'，∴，，∴∠BDE＝30°，∵BD＝2，∴，∴，∴，故答案为：．三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，求证：．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，∴．18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0），将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A′的坐标．【解答】解：将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°后△A′B′C如下．∴点A的对应点A′的坐标为（0，﹣6）．19．如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．【解答】证明：如图，连接OA，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠C+∠D＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠D，∵∠BAD＝∠C，∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠D+∠C＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．20．如图，在平面内，△ABC绕点A逆时针旋转60°后得△ADE，连接DC．求证：△ABC≌△ADC．【解答】证明：∵由旋转可得△ABC≌△ADE，∴AB＝AD．∠DAE＝∠BAC，∵旋转角为60°，∴∠BAD＝∠CAE＝60°．∵AB⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠EAD＝30°，∴∠DAC＝90°﹣∠DAE﹣∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BAC．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．【解答】解：（1）如图所示：；（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，∵CO平分∠ACB，∴OB＝OD，即d＝r，∴⊙O与直线AC相切，22．在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，把BD逆时针旋转60°得到HD′，连接AD′，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″（1）判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；（2）求证：D′A＝DC；（3）求证：四边形AD'DD″是平行四边形．【解答】（1）解：∠D′BA＝∠DBC．理由如下：∵BD逆时针旋转60°得到BD′，∴∠DBD′＝60°，BD＝BD′，∴△BDD′为等边三角形，∴DD′＝BD，∠DBD′＝60°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵∠D′BA+∠ABD＝60°，∠ABD+∠DBC＝60°，∴∠D′BA＝∠DBC；（2）证明：在△ABD′和△CBD中，，∴△ABD′≌△CBD（SAS），∴D′A＝DC；（3）证明：∵CD顺时针旋转60°得到CD″，∴∠DCD″＝60°，CD＝CD″，∴△DCD″为等边三角形，∴DD″＝DC，∠DCD″＝60°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，CA＝CB，∵∠D″CA+∠ACD＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∴∠D″CA＝∠DCB；在△ACD″和△BCD中，，∴△ACD″≌Rt△BCD（SAS），∴AD″＝BD，∴DD′＝AD″，∵DD″＝DC＝AD′，∴四边形AD'DD″是平行四边形．23．如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，垂足为E，DB平分∠CDF，连接AF，CD于H．（1）求证：DF＝DH；（2）连接EG，若∠CDF＝45°，⊙O的半径为2【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°，∵DB平分∠CDF，∴∠BDE＝∠BDF，又∠BAG＝∠BDF，∴∠BAG＝∠BDE，又∵∠AHE＝∠DHG，∴∠DGH＝∠AED＝90°，∴∠B+∠BDE＝90°＝∠BED+∠DHG，∴∠DHG＝∠B＝∠F，∴DF＝DH；（2）解：如图，连接AC，OF，∵∠ACD＝∠AFD＝∠DHG，∠DHG＝∠AHC，∴∠ACH＝∠AHC，∴AC＝AH，又∵AB⊥CD，∴E为CH的中点．由（1）知DF＝DH，∠DGH＝90°，∴G为FH的中点，∴EG是△CHF的中位线，∴．∵∠CDF＝45°，∴∠COF＝3∠CDF＝90°，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF＝OC．∵OC＝2，∴，∴．24．问题发现：如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，则：（1）①∠ACE的度数是60°；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是AC＝DC+EC．拓展探究：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，并说明理由；解决问题：（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，请直接写出线段AD的长度．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴AC＝BC＝EC+CD；故答案为：60°，AC＝DC+EC；（2）BD2+CD2＝7AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD5＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE7＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD7＝2AD2；（3）作AE⊥CD于E，连接AD，∵在Rt△DBC中，DB＝2，∠BDC＝90°，∴BC＝＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，∴∠ADE＝45°∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，∵AE8+CE2＝AC2，∴AE6+（5﹣AE）2＝17，∴AE＝6，AE＝4，∴AD＝或5，方法二：由题意得，点A在BC的垂直平分线上，将△ADB逆时针旋转90°得到△AEC，∴△ADB≌△AEC，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠A