数学同步练习：不等式的实际应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。4不等式的实际应用1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元,其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为()A．95元B．100元C．105元D．110元2．设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖），按交通规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是()A．(38－3eq\r(73）)m3B．16m3C．4eq\r(2）m3D．14m33．某居民小区收取冬季供暖费,根据规定,住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米4元；（2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过__________．4．一段长为lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,菜园的最大面积是__________m2.答案:1．A设每个涨价x元,则y＝(x＋10）（400－20x）＝－20x2＋200x＋4000，∴当x＝eq\f（200,40)＝5时，y取得最大值，即涨价5元，每个售价为95元时利润最大．2．B设长为bm,高为am，由已知得2b＋2ab＋4a＝32.∴b＝eq\f(16－2a，a＋1)。∴V＝a·b·2＝2·eq\f(16a－2a2，a＋1）。设t＝a＋1，则V＝2(20－2t－eq\f(18,t））≤2(20－2eq\r（2t·\f（18，t）））＝16.3．80平方米根据使用面积应该缴纳的费用为60×4＝240元,设建筑面积为x，则根据他所选择的方案知3x－240≤0，所以x≤80,即建筑面积不超过80平方米．4。eq\f（l2,8）设墙的对边为x，另一边为eq\f（l－x,2）,∴面积S＝x·eq\f(l－x,2)≤eq\f(1，2)[eq\f（x＋（l－x),2)］2＝eq\f(l2,8），当且仅当x＝eq\f(l－x，2)，即x＝eq\f(l，3）时，面积最大．课堂巩固1．若a、b、m∈R＋,a〈b,将ag食盐加入到（b－a）g水中，所得溶液的盐的质量分数为P1,将（a＋m）g食盐加入到（b－a）g水中,所得溶液的盐的质量分数为P2，则()A．P1〈P2B．P1＝P2C．P1>P2D．不确定2．某品牌彩电为了打开市场,促进销售，准备对其特定型号彩电降价，有四种降价方案：方案（1）：先降价a％，再降价b％;方案（2）：先降价b%，再降价a%；方案(3）：先降价eq\f(a＋b，2)％，再降价eq\f（a＋b，2)％；方案(4）：一次性降价(a＋b)％。其中a〉0，b>0，a≠b，上述四种方案中，降价幅度最小的是()A．方案(1）B．方案(2）C．方案（3）D．方案(4）3．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，则正方形的周长应为__________．4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨,运费4万元/次，一年总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．5．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1。2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x〈1),则出厂价相应的提高比例为0。75x,同时预计年销售量增加的比例为0。6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？6．如图,某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8平方米．(1）求x,y的关系式，并求x的取值范围；（2）问x，y分别为多少时用料最省?答案：1．AP1＝eq\f(a,a＋（b－a））＝eq\f（a,b)，P2＝eq\f(a＋m,（a＋m）＋(b－a)）＝eq\f(a＋m，b＋m），P1－P2＝eq\f(（a－b)m，b（b＋m)）。由0〈a<b,m〉0，∴a－b<0，P1－P2<0,即P1<P2。2．C设原来价格为1，四种方案降价后分别得新价：方案（1)：(1－a％)（1－b%），方案（2)：（1－b%)（1－a%），方案(3）：（1－eq\f（a＋b,2)%）2,方案（4）：1－（a＋b）%，很明显(1－a％）(1－b%）＝（1－b%)（1－a%)<（eq\f(1－a％＋1－b％,2))2＝（1－eq\f(a＋b，2）%）2。又（1－eq\f（a＋b，2）%）2－[1－（a＋b)%]＝（eq\f（a＋b，2）%)2〉0，∴方案（3)的新价最高．故降价幅度最小的是方案(3）．3。eq\f(1，4(π＋4))设正方形的周长为x，则圆周长为1－x.设圆的半径为r，则2πr＝1－x,r＝eq\f(1－x，2π）。所求面积之和为（eq\f(x,4）)2＋π（eq\f(1－x，2π）)2＝eq\f(1，16π)［（π＋4）x2－8x＋4］＝eq\f(π＋4,16π)（x－eq\f（4,π＋4))2＋eq\f(1,4(π＋4))，∴当x＝eq\f(4,π＋4)时，面积之和为eq\f（1,4(π＋4))最小．4．20因为每次都购买x吨，一年购货400吨，所以购货次数为eq\f（400，x）。总运费与存储费用之和f(x)＝4x＋4×eq\f（400,x）＝4（x＋eq\f(400,x)）≥4·2eq\r(x·\f(400，x）)＝160(吨）．f（x)最小时,x＝eq\f(400,x)⇔x＝20.5．解：(1)由题意得y＝［1。2×（1＋0。75x)－1×(1＋x）］×1000×（1＋0。6x）（0<x<1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0<x<1）．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y－(1.2－1）×1000>0，，0<x<1，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－60x2＋20x〉0，,0<x〈1。))解不等式得0<x<eq\f（1，3).答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0<x<eq\f(1,3）.6．解：（1)由题意得x·y＋eq\f(1,2）x·eq\f（x，2）＝8(x〉0，y〉0)，∵y＝eq\f(8,x）－eq\f（x，4)〉0，∴0<x〈4eq\r（2）。(2）设框架用料长度为l,则l＝2x＋2y＋eq\r(2)x＝(eq\f（3,2）＋eq\r(2）)x＋eq\f(16，x)≥4eq\r(6＋4\r(2）)＝8＋4eq\r（2),当且仅当(eq\f(3，2）＋eq\r（2)）x＝eq\f(16，x），x＝8－4eq\r(2)，y＝2eq\r（2)，满足0<x〈4eq\r(2)。答：当x＝8－4eq\r(2)米，y＝2eq\r（2)米时，用料最省．点评:在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1）先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题;（3）在定义域内，求出函数的最值；(4)正确写出答案．1．把长为12cm的铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为（）A。eq\f(3\r（2)，2)cm2B．4cm2C．3eq\r（2)cm2D．2eq\r(3）cm21．答案：D设12cm长的铁丝分成两段为xcm和(12－x）cm，则面积之和S＝eq\f(1,2）×(eq\f(x，3））2×sin60°＋eq\f（1,2）（eq\f(12－x，3))2·sin60°＝eq\f(\r（3）,4)×eq\f（1，9)×［x2＋（12－x)2］≥eq\f(\r（3），36）×eq\f（［x＋（12－x)]2，2)＝2eq\r（3)，当且仅当x＝12－x，即x＝6时等号成立．2．张先生买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入中国联通130网,经调查，收费标准如下表：网络月租费本地话费长途话费甲联通130网10元0。2元/分0.03元/6秒乙移动“神州行”无0.3元/分0.04元/6秒(注：本地话费以分钟为单位计费，长途话费以6秒钟为单位计费）若张先生每月拨打本地电话的时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间（分钟）在区间（40，50)内，则选择较为省钱的网络为（)A．甲B．乙C．甲或乙D．分情况而定2．答案:B设张先生每月拨打长途电话的时长为x分钟，则有40〈5x＋x<50,即eq\f(20,3）<x〈eq\f（25，3)，使用甲和乙方式应付话费的差为10＋0。2×5x＋0.03×10x－(0.3×5x＋10x×0。04)＝10－0。4x〉0。∴应选择乙方式．3。某公司一年急需购买某种货物100吨，每次都购买x吨,运费为a万元/次，一年的总存储费为ax万元，要使一年的总运费与总存储费最小，则x＝__________.3．答案：10y＝eq\f(100，x)·a＋ax≥2eq\r(\f（100a，x）·ax）＝20a(万元)，当且仅当eq\f（100a,x)＝ax，即x＝10时,y取最小值．4．若Rt△ABC的斜边长为1，则它的内切圆半径r的最大值为__________．4。答案：eq\f（\r(2）－1，2)如图，由题知a2＋b2＝1，由基本不等式2ab≤a2＋b2，∴(a＋b)2≤2(a2＋b2)．∴a＋b≤eq\r（2（a2＋b2）).根据切线的性质,如图，∴r＝eq\f（a＋b－1,2）≤eq\f(\r(2（a2＋b2））－1,2）＝eq\f（\r（2）－1,2）.5．某家庭用14。4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升,第n年维修费用约为0.2n万元，每年其他费用为0。9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在______年后报废损失最小．5．答案：12年平均值eq\x\to(y）＝eq\f（14.4＋0。9n＋0。2（1＋2＋…＋n),n）＝eq\f(14。4,n)＋0.1n＋1≥3.4，当且仅当eq\f（14.4,n)＝0。1n，即n＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．6．商店经销某商品，年销售量为D件,每件商品库存费用为I元，每批进货为Q件，每次进货所需的费用为S元．现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量为平均eq\f(Q，2）件，问每批进货量Q为多大时，整个费用最省？6．答案:解：设整个费用为y元,则y含有两部分，一部分是库存费用eq\f（Q,2）·I，另一部分是进货费用eq\f(D,Q)·S，因此y＝eq\f（Q,2）·I＋eq\f（D，Q）·S，其中D、I、S均为定值,Q为变量．∵D、I、S、Q〉0，∴y＝eq\f(Q,2）·I＋eq\f(D,Q）·S≥2eq\r（\f（IQ,2)·\f(DS,Q））＝eq\r(2DIS).当且仅当eq\f（IQ，2）＝eq\f（DS,Q)，即Q＝eq\r(\f（2DS,I))时，整个费用y最省．7．建造一个容积为8m3、深2m的无盖长方体水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元,求这个水池的最低造价．7．答案：解:设水池的造价为y元,池底的长为xm，则宽为eq\f（4，x)m，根据题意，有y＝4×120＋2(2x＋eq\f（8,x））·80＝480＋320(x＋eq\f(4,x））≥480＋320·2eq\r(x·\f（4，x））＝1760，∴当x＝eq\f(4，x），即x＝2时，ymin＝1760（元),即当且仅当池底的长为2m时,这个水池的造价最低，最低造价为1760元．8．有一批影碟机(VCD)原销售价为800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元，买两台每台单价为760元,依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？8．答案：解：设该单位需购买x（x∈N＋）台影碟机，甲、乙两商场的购货差价为y，则因为去甲商场购买共花费(800－20x）·x元，据题意800－20x≥440，∴1≤x≤18.去乙商场购买共花费600x，∴y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（(800－20x）x－600x，，－160x，））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤18，,x〉18))＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(200x－20x2，，－160