第03讲 二次函数与一元二次方程、不等式(基础训练)(解析版)-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第03讲二次函数与一元二次方程、不等式

【基础训练】

一、单选题

x2+y-2=0,a

1.若相异两实数X,y满足《2，则/―2孙+y3之值为（）

/+x-2=0'-

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】

XV=-1

根据已知条件求得＜,,由此求得所求表达式的值.

x+y=1

【详解】

两式作差消元得：（x-y）（x+y—l）=0=x+y=l（xwy）,反代回去得：

,（孙=一1

X2-X-l=0-同理可得：y*-y-1=0,由同构及韦达定理有：＜,

x+y=1

继而有：x3-2xy+y3=x（2-y）+2+＞,（2-x）

=2（x+y）—2xy+2-2+2+2—6.

故选：D

2.已知不等式一+双+4..0的解集为R,则a的取值范围是（）

A-[-4.4]B.（-4,4）C.D.（-oo,-4）U（4,+oo）

【答案】A

【分析】

利用判别式小于等于零列不等式求解即可.

【详解】

因为不等式Y+6+4..0的解集为R,

所以八=。2-4乂1*4,,0,

解得T釉4,

所以。的取值范围是[-4,4卜

故选：A.

3.不等式(x+l)(x-2)<0的解集为()

A.{x|x<-l或x>2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|x<-2或x>l}D.{x|-2<x<l}

【答案】B

【分析】

由(x+l)(x—2)<0可得x+l,x-2异号，分类讨论解不等式组可得答案.

【详解】

因为(x+l)(x-2)<0,

x+1>0x+l<0

所以《或V

x—2<0x-2>0

解得-4<xv2或

综上可得，不等式(x+l)(x-2)<0的解集为{x|-l<x<2},

故选：B.

4.不等式/一xwo的解集为()

A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】A

【分析】

根据一元二次不等式解法即可得结果.

【详解】

由d—xwo得解得owxwi

故先：A

5.不等式，4x_%2<x的解集是()

A.(0,2]B.(2,+00)C.(2,4]D.(-8,O)U(2,+8)

【答案】C

【分析】

根据无理不等式的解法列出不等式组解之可得答案.

【详解】

由题意得

x〉0

<4x-x2>0,解得2<x44,

4x-x2<x2

故选：C.

【点睛】

本题考查无理不等式的解法，对于J丽<g(x)型，可以转化为去解，考查了学生的计

J(x)<[g(x)?

算能力.

6.不等式》2—2》23的解集是()

A.(-00,-1]U[3,+oo)B.(f

C.(—oo,—2]U[l,+°°)D.(-oo,-1]口[2,+00)

【答案】A

【分析】

根据一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】

解：因为幺一2兀23,BP(x-3)(x+l)?0,所以尤23或x<—l,

所以原不等式的解集为(T,-1]U[3,+8),

故选：A.

7.不等式(x+l)(4—x)<0的解集为()

A.1x|-l<x<41B.{x|xN4或不<一1}

C.{x|-l<x<4}D.{x|x>4或xv-1}

【答案】B

【分析】

利用分类讨论方法求解或者利用二次函数的图象求解.

【详解】

x+l<0x+l>0

解法一：(x+l)(4—x)<0等价于〈或《

4-x>04-x<0'

x<-lx>-l

化简得』或<即xW-l或xN4,

x>4

所以(x+l)(4—x)K0的解集为{x|xN4或xW-l}

故选：B.

解法二：设f(x)=(x+l)(4—x),这是开口向下的二次函数,

函数图象与x轴的交点横坐标为—1和4,

/(x)<0所对应的x的取值范围xWT或x»4,

所以(x+l)(4-x)<0的解集为｛x|x»4或

故选：B.

【点睛】

利用二次函数的图象求解简洁迅速，但要注意考查二次函数的平方项的系数的正负，进而正确判定二次函

数的开口方向.

8.不等式lx?-3%一220的解集为()

A.{x|x4—2或xN]}B."x-2<x<^

C./或x»2}D."X——<x<2>

2

【答案】C

【分析】

根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.

【详解】

I2X2-3X-2>0可得(2X+1)(X-2)N0,

解得x22或,

2

即原不等式的解集为(一8,一；U[2,+co).

故选：C.

9.不等式(x+2)(2x—l)<0的解集为()

—00,-2]U(2,+8)

C.(-oo,-2)UD.

【答案】B

【分析】

直接根据二次函数的图象特征解不等式即可.

【详解】

不等式对应的二次函数/(x)=(x+2)(2x—l),开口向上，零点为%=-2,/=3,

1

故f(x)=(x+2)(2元-1)<0的解为一2<x<j,即解集为-2,不.

2v2/

故选：B.

10.在R上的定义运算*:a*Z?="+2a+6,则满足x*(x-2)<0的解集为()

A.(0,2)B.(-2,1)C.(-a>,-2)U(l,4w)D.(-1,2)

【答案】B

【分析】

根据运算的定义可得关于了的不等式，从而可求不等式的解集.

【详解】

2

x*(%-2)<0即为x(x—2)+2x+X—2<0,整理得到x+x-2<0.

故一2v元<1,

故选：B.

11.己知不等式依2+笈+2>。的解为则。+匕=()

23

A.-14B.-8C.10D.12

【答案】A

【分析】

由题可得一]■和].是方程⑪2+加+2=0的两个根，利用韦达定理可求出.

23

【详解】

由题可得—和—是方程ax?+Z?x+2=0的两个根，且〃<0，

23

11b

---1--=---

•••«；；2"，解得4=-12，b=-2,

——x-=—

[23a

a+b=-14.

故选：A.

12.已知关于%的方程/+巾+加=0有两个实数根，则加的取值范围为()

A.机24B.m>4或/“<0

C.或机<0D.0<m<4

【答案】C

【分析】

由一元二次方程存在两个实根，有判别式ANO即可求"?的取值范围.

【详解】

由题意知：△=»?一4机？0，解之得〃zN4或加<0,

故选：C

13.已知函数/(x)=f-2or+4在(-1,+8)上是增函数，则实数。的取值范围为().

A.(-co,-l]B.[-l,+oo)C.[0,+oo)D.(-oo,0]

【答案】A

【分析】

先求得了(X)=f-2m；+4的对称轴，再根据函数在(-l,+o。)上是增函数求解.

【详解】

/(x)=f—2ax+4,

f(x)的对称轴为x=a,

要使/(x)在(一1,一)上是增函数，

则需aK—1.

故选：A

14.一元二次不等式2/一x-l<0的解集是()

A.(-00,-^-)0(1,+oo)B.(-1,^-)C.(-<»,-l)U(^+℃)D.(-^,1)

2222

【答案】D

【分析】

根据公式直接求解一元二次不等式.

【详解】

2x2-x-1<0<=>(%-1)(2%+1)<0,

解得：—<x<1,

2

所以不等式的解集是>.

2

故选：D

15.已知不々是方程％2一仿+1=0的两根，贝心,+芍2=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】

由韦达定理的乙+W='，玉%=1，再根据X；+/2=(%+9)2-2%/即可求出.

【详解】

.・.石，工2是方程x2-币X+1=0的两根，

/.玉+/=>/7，玉％2=1»

2

西2+x2=(七+芍『-2为工2=7-2=5

故选：D.

16.“xV3”是“犬―7X+1220”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

利用一元二次不等式的解法求出Y-7x+1220的解集，再根据充分条件与必要条件的定义求解即可.

【详解】

记“小一7x+12»0”的解集为集合8,

则3={x|xW3或xN4}

所以“xW3”能推出“为2一7%+1220”

一7X+I2?0”不能推出“xW3”

所以“尤W3”是“f一7x+12»（）”的的充分不必要条件.

故选：A.

17.若关于x的不等式以2一2依+1<0的解集为0,则实数。的取值范围是（）

A.a>1B.a>\C.0<a<lD.0<a<l

【答案】D

【分析】

根据题意，讨论二次项系数。的取值情况，找出满足不等式无解的。的取值集合即可.

【详解】

解：当a=0时，1<0,此不等式无解；

当。工0,要使原不等式无解，应满足：

（a>Q

IA=46r2-4a<0）

解得：OWaWl.

故选：D.

18.不等式（x+3）2<1的解集是（)

A.{x|x>-2}B.{x|x<-4}C,{xf<x<-2}D.1x|-4<%<

【答案】C

【分析】

由(X+3)2<1可得一I<x+3<1,然后可得答案.

【详解】

因为(X+3)2<1,所以一1<X+3<1,所以T<x<—2

故选：C

【点睛】

本题考查的是一元二次不等式的解法，较简单.

19.若关于x的不等式_/+4%>2加的解集为{x[0<x<2},则实数加的值为(

A.-1B.]C.2D.-2

【答案】B

【分析】

根据题意得x=0和x=2是方程一/+4x=2mx的实数根,再代入求解即可得答案.

【详解】

解：根据题意得x=0和x=2是方程+4x=2处的实数根，

所以-4+8=4加，解得加=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查根据二次不等式解集求参数，是基础题.

20.关于x的一元二次不等式5x+6<d的解集为()

A.B.{R-l<x<6}

C.{x|x<-2痴>3}D.{x|-2<x<3}

【答案】A

【分析】

先把不等式5x+6<f化为(x+l)(x-6)>0,再写出解集来可得答案.

【详解】

解:不等式5元+6vd可化为/一5%一6>0,

即：(x+l)(x—6)>0,可得xv-1取>6，

故不等式的解集为：{虫<—1或。6},

故选：A.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解集问题，可以把不等式化为两个因式枳的形式，属于基础题.

21.若实数a,b,c满足(a-与S-c)>(),则()

A.a(b-c')>0B.(a-h)(a-c)>0

C.a(b-c)<0D.(a-b)(a-c)<0

【答案】B

【分析】

由已知可得“，％,c大小不等，同b在a,c之间，取。=0可排除两个选项，将(。一。)3-。)用(。一份(。一c)

表示出即可得解.

【详解】

因实数a，b,c满足(a—Z?)S—c)>0o3一—c)<0,则a,b,c•大小不等，且b在a,c之间，

取a=0,则aS—c)=(),即选项A,C都不正确，

而(a-b)(a-c)=(a-b)[(a-，)+(O-c)]=(a-，)2+(a-b)(b-c)>0,即选项D不正确，选项B正确.

故选：B

22.设一元二次不等式0^+法+1>0的解集为{x|-l<x<2},则她的值为()

1I1

A.-1B.——C.-D.一一

442

【答案】B

【分析】

根据-1和2是方程依2+法+1=0的两个根，由韦达定理解得。和人可得结果.

【详解】

由题意可知方程双2+区+1=()的根为一1,2,

b1

由韦达定理得：-1+2=一上，-1x2=-,

aa

解得b=L,a=—L,所以=

224

故选：B.

23.在R上定义运算aQb=ab+2a+b,则满足XG)(L2)<0的实数x的取值范围为()

A.{x|0<x<2}B.{x|—2<x<l}

C.{4x<—2或x>l}D.{x|—l<x<2}

【答案】B

【分析】

根据定义可得(x+2)(x—1)<0,结合一元二次不等式的解法即可选出正确答案.

【详解】

根据给出的定义得，xO(x—2)=x(x—2)+2x+(x—2)=r+工-2=(》+2)(》-1),

又2)<0,则(x+2)(x—1)<0,故不等式的解集是{x|-20<1}.

故选:B.

24.对于任意实数x,不等式(a—2)/一2(a—2)x—4<0恒成立，则实数a的取值范围为()

A.{«|«<2}B.{a\a<l}

C.{a\-2<a<2}D.{a\~2<a<2}

【答案】D

【分析】

分a-2=0和a—2用两种情况进行讨论，第一种情况很容易验证符合题意，第二种情况结合二次函数的特

点，讨论开口方向和判别式从而可求出参数的取值范围.

【详解】

当4—2=0,即a=2时，-4<0,恒成立，符合题意：

a—2<0

当a-2押时，山题意知，、2/、，解得一2<a<2,；.-2<^2,

4(a-2)'+16(a-2)<0

故选:D

【点睛】

易错点睛：

本题的易错点是忽略了尤2的系数可能为零这种情况，只根据：次函数来求参数，导致求出参数的范围比实

际小.

25.已知集合4=词(》+4)(》-1)WO},8={x|W<2},则AU^=()

A.{x|-2<x<2}B.{x\-2<x<1|

C.{x[-2<x<4}D.{x|-4<x<2}

【答案】D

【分析】

根据不等式的解法，求得集合人=3|9<%<1},结合集合并集的运算，即可求解.

【详解】

由不等式(x+4)(x-l)W0,解得-4WxWl,即4=37<》<1},

又因为8={H-2cx<2},所以Au3={x|-44x<2}.

故选：D.

26.已知不等式⑪2+汝+2>0的解集为{x|-l<x<2},则不等式2/+公+。<0的解集为()

A.{x|一1cxeg}：B.{x|x<-l或x>g}C.{R_2cx<1}D.{x|x<-2或x>l}

【答案】A

【分析】

根据不等式以2+旅+2>0的解集求出a,〃，代入不等式2犬+法+.<()中，化简求出不等式的解集.

【详解】

•••不等式面:2+勿+2>0的解集为{x|T<x<2},

ax?+匕x+2=0的两根为一1,2,ILacO,即-1+2=—,(—1)x2=—,解得a=—l,b=l,

aa

则不等式可化为2Y+X一1V0,解得一1<X<g,则不等式2d+灰+a<0的解集为{x|-1<x<g}.

故选：A

27.若关于x的不等式4x_2_a>0在区间(1，4)内有解，则实数〃的取值范围是()

A.(-oo,-2)B.(-oo,-2]C.(-6,+oo)D.-6)

【答案】A

【分析】

转化为求a<(f-4x-2)即可.

\/max

【详解】

不等式等价于存在X€0,4),使。<%2一4%一2成立，

即a<(X?—4x—2)

\/max

设y=12_4%—2=(九-2)’—6

当x£(1,4)时，ye［-6,-2)

所以Q<—2.

故选：4

1—Y

28.不等式——>0的解集是()

x+1

A.(1,+8)B.(-1,1)C.(7,-1)D.(F,-1)U(1，”)

【答案】B

【分析】

把分式不等式等价转换为与之等价的一元二次不等式，从而求出它的解集.

【详解】

分式不等式宗>0等价于(一元)(x+l)>0,HP(x-l)(x+l)<0

解一元二次不等式得：-1<X<1

1—x

故不等式—>0的解集是(-1,1)

x+1

故选：B.

29.设/(x)=x2+(a一1卜+5,若函数/(x)在区间［1,4］上的图象位于直线y=x+l上方，则实数”的

取值范围是()

A.(—2,+oo)B.［—2,-Foo)C.(—<x>,—2)D.(―℃>,—2］

【答案】A

【分析】

根据题意，由〃x)=x2+(a—l)x+5>x+l在区间［1,4］上恒成立，转化为a-2>-x—d在区间［1,4］上

X

恒成立求解.

【详解】

由题意得，/(x)=x2+(a—l)x+5>x+1在区间［1,4］上恒成立,

ci—2>—x—在区间［1,4］上恒成立,

4

令丁=工+一，其图象如图所不：

X

由图象知yN4,

所以。一2>~4,

解得a>—2,

故选：A.

30.已知函数/(幻=如2+云+c,满足/(3+x)=/(3—x),且/(4)</(5),则不等式/(I一九)<./■⑴

的解集为()

A.(0,+oo)B.(-2,-KO)C.(-4,0)D.(2,4)

【答案】C

【分析】

由题设知f(x)关于x=3对称且开口向上，根据二次函数的对称性/(1一为</(1)有1<1一x<5,求解集.

【详解】

依题意，有二次函数关于x=3对称且开口向上，

.••根据二次函数的对称性：若/(1一幻</(1),即有1<1一万<5,

-4<x<0.

故选：c

【点睛】

关键点点睛：山题设可得/（幻关于x=3对称且开口向上，根据对称性求函数不等式的解集即可.

31.不等式2+x-f＜0的解集为（）

A.(-oo,-l)U(2,+co)B.(-2,1)

C.(-1,2)D.y,-2)u(L”)

【答案】A

【分析】

根据一元二次不等式的解法即可求出.

【详解】

不等式可变形为X2-X-2＞0.即（X-2）（X+1）＞0,

解得或x＞2,所以不等式2+》_幺＜0的解集为（-8,-DU（2,+S）.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法，属于容易题.

32.若不等式£_2x—〃?＜0在xe；,2上有解，则实数机的取值范围是（）

A.[-l,+oo）B.（-1,+co）

C.（一]00）D.（0,+8）

【答案】B

【分析】

将不等式＜0在xe1,2上有解，转化为不等式机＞/—2x在XG；,2上有解求解.

【详解】

因为不等式工2—21—根＜0在X£—,2上有解，

所以不等式机＞/一2%在1,21^.有解，

令/=一],则4nin=_l，

所以能＞一1，

所以实数机的取值范围是(—1,+8)

故选：B

33.若不等式改2+区—120的解集是｛工|一；＜了«-；1,则。=()

6

A.-6B.-5C.—D.6

5

【答案】A

【分析】

将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数〃.

【详解】

,不等式方2+法_[20的解集为(X-,

—＞一”为方程ax?+bx—\=0的两个根，

23

根据韦达定理，—X—=—,解得：a—

23a

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方

程根的关系，属于中档题.

34.不等式2+x-f40的解集为()

A.[-2,1]B.[-1,2]

c.(-oo,-l]u[2,+oo)D.(F,—2]U[1,+°0)

【答案】C

【分析】

把二次项系数化为正数，并因式分解后可得不等式的解.

【详解】

原不等式可化为X2-X-2>0.即(%—2)(%+1)>0,

所以x«-l或x»2.

故选：C.

35.已知函数=+g(x)=(“2-2a)x+4a—4,若对于任意,均有

〃x)>g(x)成立，则实数。的取值范围是()

A.(一1,3)B.(3,—1)C.(-co,—1)D.(3,+^c)

【答案】A

【分析】

由/(x)>g(x)得E(x)=/(x)-g(x)>0恒成立，分离参数，转化为求函数的最小值，然后可得解。的范

围.

【详解】

设下⑶=y(x)-g(x)=x2-(a-Y)2x+4,/(x)>g(x)恒成立,即1(x)>0恒成立,

X>1时，尸(X)>0恒成立,即—1)2<X+：恒成立,

X

4I44.

x>l时，x+—>2.XX—=4,当且仅当x=2时等号成立，.•.x+-的最小值为4.

x\xx

：.(4Z-1)2<4,解得一1<。<3.

故选：A.

36.若关于x的不等式£一(加+3)%+3加<0的解集中恰有3个正整数，则实数〃？的取值范围为()

A.[-2,-1)B.(3,4)C.(5,6]D.(6,7]

【答案】D

【分析】

根据不等式的解集中恰有3个正整数，得出加>3,再由不等式的解集求出实数机的取值范围.

【详解】

因为不等式加+3)x+3加<0的解集中恰有3个正整数，

即不等式(x—3)(x—机)<0的解集中恰有3个正整数，

所以加>3,所以不等式的解集为（3,加）

所以这三个正整数为4,5,6,所以6<加<7,即6<aV7

故选：D

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

37.关于x的不等式如：2+加+。<0的解集为（一3,1）,则不等式板2+以+。<0的解集为（）

A.（1,2）：B.（-1,2）C.f-pljE

【答案】D

【分析】

a>0

b

首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系，-3+1=一一，得到的关系，代入不

a

C

-3x1

等式化简求解.

【详解】

a>0

•.•a^+^x+ccO的解集是（一3,1）,-3+1=-，，得b=2a,c=--3a,

-3xl=-

、a

则不等式汝2+ax+c<0=2ax2+ax-3a<O>

3

即2£+X-3<0，解得：一二<x<l,

2

所以不等式的解集是(-1,1

故选：D

38.已知函数/。)=40r+41-1,入6(-1,1),/(为<0恒成立，则实数4的取值范围是()

,3

A.--B.a<—\

4

,3

C.-1<a«—D.a<—1

4

【答案】B

【分析】

将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数”的取值范围.

【详解】

f(x)-4ax2+4x-l<0,即4a£<-4x+l

当x=0时，不等式恒成立，acR；

当XHO时，％2>0,则4a<--+[

Ixx一人演

19

令/=_£(_8,_l)u(l,+oo),则y=Y/+/=(f_2)-4G[-4,+OO)

即4(7<—4，解得Q<—1

故选：B

„_o

39.不等式丁不<-1的解集为()

X2+2

A.(—3,-2)B.(—3,2)C.(—3,4)D.(—2,4)

【答案】B

【分析】

y_O

将--<-1转化为/+》_6<o,利用一元二次不等式的解法求解.

X2+2

【详解】

„_o

1可得V+x—6<0,

X2+2

解得—3<x<2,

所以不等式的解集为(-3,2).

故选：B

40.若对满足8。+力的任意正数。，〃及任意xeR,不等式a+劝之一/+2x+18-加恒成立，则实

数阳的取值范围是()

A.[-6,+2o)B.(-8,-6]C.(Y0,1]D.[l,+8)

【答案】A

【分析】

利用基本不等式“1”的妙用求得a+2Z>的最小值，即可转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求得实数

m的取值范围即可.

【详解】

,正数a,人满足8a+Z?=a6,

.81,c,/…2b8a-c12b8a«

••i—1,a+2b=(a+2b)—I—=174---1>17+2J-----25,

ba\ba)ab\ab

当且仅当——=；,即b=2a，a=5,Z?=10时，等号成立，

ab

.，.25>-X2+2X+18-W.即/一2x+7+m20时任意实数x恒成立，

AA=4-4(7+m)<0,解得加2-6.

故选：A.

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和

为定值；三相等——等号能否取得“，若忽略了某个条件，就会出现错误.

41.使“不等式/一2%+。>0在xeR上恒成立”的一个必要不充分条件是()

A.a>1B.«>0C.a<1D.a<0

【答案】B

【分析】

先利用参变量分离法求出。的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可.

【详解】

解：因为不等式£—2x+a>0在xeR上恒成立，

所以一。<(/-2%)*=[U-I)2-1U=T，

即a>l,而a>1可以推出。>0,。:>0不能推出a>l,

所以“不等式为2-2x+a>0在xeR上恒成立'’的一个必要不充分条件是a>0，

故选：B.

二、多选题

42.若不等式依2——+c>o的解集是(一1,2),则下列选项正确的是()

A.a<0B.ZxOfLoO

C.a+b+c>0D.不等式<o的解集是R

【答案】AB

【分析】

结合不等式的解集与方程的根之间的关系，求得b=a,c=-2a且。<0,逐项判定，即可求解.

【详解】

由题意，不等式at?一版+<?>0的解集是(—1,2),

''cb

—1+2=—

可得一1,2是方程以2—乐+c=。的两个根，所以,"，且。<0,所以A正确；

-1x2=-

a

又由Z?=a,c=-2a,所以b<O,c>。，所以B正确；

当％=-1时，此时a+b+c=0，所以C不正确；

把匕=a,c=-2。代入不等式⑪?一5+〃<0,可得ax?+2OX+QvO，

因为a<0,所以f+2x+l>0，g|J(x+l)2>0,此时不等式的解集为{x|xH-l},

所以D不正确.

故选：AB.

43.不等式以2+陵+。20的解集是{乂一14%42},对于系数a,b,c,下列结论正确的是()

A.a+h=OB.a+h+c>0C.c>()D.b<0

【答案】ABC

【分析】

根据一元二次不等式的解集以及韦达定理即可求解.

【详解】

不等式o?+法+C20的解集是{x|—l<x<2},

可得。<0，且or?+法+。=0的两个根为一1,2,

韦达定理=—1+2=1>0,所以Z?=—〃,/?>0,故A正确,D错误;

a

由£=—2,则c>0,故c正确；

a

二次函数/(%)=52+云+c开口向下，函数的零点为一1,2,

当x=l时，,f(l)=a+8+c>0,故B正确；

故选：ABC.

44.若方程/+2工+/1=0在区间(一1,0)上有实数根，则实数/I的取值可以是()

A.—3B.—C.—D.1

84

【答案】BC

【分析】

分离参数得4=一万2一2%，求出—f—2x在(―1,0)内的值域即可判断.

【详解】

由题意4=一2%在(-1,0)上有解.

VXG(-1,0),2=-x2-2x=-(x+1)2+1e(0,1),

故选：BC.

(2b—l)x+b—2(%>0),

45.若函数〃尤)='2二,、，/二在R上为单调增函数，则实数匕的值可以为()

-x+(2-/?)%-1(A;,0)

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】ABC

【分析】

令工⑴=(2〃—l)x+b-2(x>0),2a)=+(2-b)x-1(%,0),根据/(x)在R上为增函数，则工(x)

递增，力(x)递增，且力(。),"(0)求解.

【详解】

(2b—l)x+b—2(尤>0),

因为函数/(X)=<在R上为单调增函数,

一厂+(2—份x-•l(x,0)

2/?-1>0,

0.0,

所以《

2

—L,b—2,

解得啜/2.

故选：ABC

46.已知函数/(力=加+2；1+1(4。0),若方程/(x)=0有两个不等的实数根*,々且王<々()

A.当a>0时，不等式/(x)<0的解集为｛R玉<x<w｝

B.当a>0时，不等式/(x)<0的解集为｛xlx<X］或%>々｝

C.若不等式〃力>0的解集为｛R玉<%<9｝，则否>。

D.若不等式/(x)>0的解集为｛N玉<%<%｝,则/>0

【答案】AD

【分析】

利用二次函数，二次方程和一元二次不等式的解集间的关系判断.

【详解】

1

A.,］。〉。时，函数图象开口方向向上，所以不等式/(x)<0的解集为｛x|X1cx<%｝,故正确；

B.当a>0时，函数图象开口方向向上，所以不等式f(x)<0的解集为｛Rx<x<w｝,故错误；

C.若不等式f(x)>0的解集为何n<x<xj,则a<0,对称轴」>0,函数乂过定点(0,1)，则不<0,

故错误；

D.若不等式/(力>0的解集为｛x|X|CXV^｝,贝iJa<0，对称轴一:>0，则尤2>。，故正确；

故选：AD

三、填空题

47.不等式!〈尤的解集为.

X

【答案】(-1,0)?(1,?)

【分析】

根据分式不等式以及一元二次不等式解法即可求解.

【详解】

11-r2

一%<0,即」L<0,

XX

即x(l—》2)<0,即x(x-l)(%+l)>0,

x>0x<0

所以—+0a(x-l)(x+l)<0

解得x>1或一1<x<0

所以不等式的解集为(-1,0)?(1,?).

故答案为：(-1,0)7(1,?)

48.不等式<1的解集是.

2

【答案】(1,2)

【分析】

由指数函数的单调性可得/一3X+2<0,求解即可.

【详解】

•••2*5+1<1=2-1,.”2_3%+1<-1，即％2_3%+2<0,解得

2

故不等式的解集为(1,2).

故答案为：(1,2).

49.若不等式/+办+120对一切恒成立，则。的取值范围是.

【答案】［一之,+8)

2

【分析】

利用参变分离法将不等式/+以+后。转化为aN—(x+3,令/(x)=_(x+L),将不等式恒成立问题

XX

转化为a>成立，求解函数/(X)的最大值.

【详解】

因为不等式必+改+1之0对一切恒成立，所以aZ-(x+3对一切xe(o，］恒成立，令

I2」xI2」

/(x)=—(X+L),可知a2/,(x)m”成立，当xe(0,1,函数单调递增，所以/'(©〈―'，所以aN—

xI2」22

故答案为：［---,+8)

2

50.若ar2+/?x+2>0的充要条件是卜一;<了<§卜则""的值为•

【答案】-14.

【分析】

根据ax2+bx+2>0的充要条件是《工|一/<%<3由一』和'为方程堞+叱2=0的两根求解.

23

【详解】

因为〃/+加:+2>()的充要条件是\-v|--<x<^

所以ar2+/?x+2=0的两根为—和一，且a<0.

23

b11

—=-------1—

由za23

所以211且4V0,

—=------X-

[a23

解得a=-12,b=-2.

a+b=-14.

故答案为：・14

51.函数y=yjmx2-2/wc+m+2的定义域是R，则实数m的取值范围是.

【答案】［0,+oo)

【分析】

根据函数y=7mx2-2zm+m+2的定义域是R，分m=0和gO,利用判别式法求解.

【详解】

因为函数y=mx2-2inx+m+2的定义域是R,

当加=0时，符合题意；

当“印0时，由题意知mx2—2nvc+m+2>0对x£R恒成立,

m>0

则《2，

A=4加~-4m（m+2）<0

解得加>0.

综上，"?K）.

所以实数次的取值范围是［0，+助.

故答案为：［0,+oo）.

四、双空题

52.关于X的不等式/+办_3<0的解集为（一3,1）,则a=,不等式ax2+x-3<Q的解集为.

【答案】2

【分析】

根据题意尤=-3,x=l是方程/+办一3=0的两个实数根，进而得a=2,再解一元二次不等式即可得

答案.

【详解】

解：根据题意得x=—3,%=1是方程/+方一3=0的两个实数根，

所以根据韦达定理得：—3+l=—a,即a=2.

所以不等式加+x-3<0即为2d+x-3<0，

所以（2x+3）（x-l）<0,解得一■|<x<l

所以不等式以2+工一3<0的解集为（一；』.

故答案为：2；（一51）

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键在于掌握一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的

关系与区别，考查运算求解能力，是基础题.

五、解答题

53.设/(%)=工(常数awR),且已知x=3是方程/(幻一1+12=0的根.

a-x

(1)求函数y=/(x)的值域；

(2)设常数ZeR,解关于x的不等式：(2-x)/(x)<(&+I)x—A.

【答案】⑴(-8,-8]U[0,+S)；⑵答案不唯一，具体见解析.

【分析】

Y2Y24

(1)由条件求出。，得到/(x)=，匚，令r二2—元，则一匚=1+2一4,然后可得答案；

2—x2—xt

(2)原不等式可化为(xT)(x-A)<0(x02),然后分左e(-8,l)、k=T、Zw(L2]、:G(2,+8)四种

情况讨论求解即可.

【详解】

(1)将x=3代入方程/(x)—x+12=0,解得。=2

2

故/(x)=A

2-x

元244

令1=2-x,则-----=t+——4,因为f+—e(-oo,-4]u[4,+oo)

2-xtt

所以f+4-4e(-oo,-8](j[0,+<»)

2

即/(X)=—的值域为(3,—8]U[0,4W)

2-x

(2)(2-x)/(x)<(k+\)x-k(x^2)

•.J一(&+l)x+&<0(xw2)

即九一A)<0(xw2)

1)当：w(-oo,l)时,不等式的解集为伍,1);

2)当％=1时，不等式的解集为0；

3)当左G(1,2]时，不等式的解集为(1,k).

4)当Ze(2,+o))时，不等式的解集为(l,2)u(2,Z).

54.求下列不等式的解集:

⑴-X2+8X-3>0;

x-1

(2)<0

2x+l

【答案】(1){x|4-VB<x<4+V13}；(2)I

【分析】

(1)根据“三个二次'’之间的关系来解不等式即可;

(2)可以分类讨论或者转化为整式不等式.

【详解】

(1)因为△=82-4X(—1)X(—3)=52>0,

所以方程一f+8x—3=0有两个不相等的实根士=4一万，&=4+屈・

又二次函数丁=一/+8》一3的图象开口向下,

所以原不等式的解集为{x|4-JB<x<4+JR}.

x-1x-l<0