2025届华东师大三附中高三数学上学期第一次检测试卷附答案解析

届华东师大三附中高三数学上学期第一次检测试卷时间:120分钟满分:150分填空题:（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合则=_________2.已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为_____________.（用集合或区间表示）3.已知集合，若，则__________．4.已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______．5.若函数在区间上单调递增，则实数取值范围是______．6.若，则的值为__________.7.正实数a、b，若a与b几何平均值为2，那么a与4b的算术平均值的最小值为________．8.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则______.9.写出使得函数的值域为的一个定义域_________．10.已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________.11.设，若时，均有成立，则实数的取值集合为_____12.已知方程有四个不同的实数根，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为__________．二、选择题：（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.14.已知，使成立一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.15.已知三次函数的图象如图，则不正确的是（）A.B.C.解集为D.若，则16.已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（）A.10 B.11 C.1023 D.1024三、解答题:（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知，为第二象限角．（1）求的值；（2）求的值．18.已知函数.（1）证明函数在上严格增；（2）若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集.19.问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数x，y满足，求的最小值；（2）若实数a，b，x，y满足，求证：；（3）求代数式最小值，并求出使得M最小的m的值.20.已知，函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围；（3）设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围.21.设函数，直线是曲线在点处的切线．（1）当时，求的单调区间.（2）求证：不经过点.（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，，）2025届华东师大三附中高三数学上学期第一次检测试卷时间:120分钟满分:150分一、填空题:（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合则=_________【答案】【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】集合则.故答案为：2.已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为_____________.（用集合或区间表示）【答案】或【分析】由题意可知的两根分别为从而可得，代入求解即可.【详解】解：由题意可知的两根分别为，由韦达定理可得，所以不等式即为，即，解得或.所以原不等式的解集为：或.故答案为：或3.已知集合，若，则__________．【答案】【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解.【详解】因为，且，则或，解得.故答案为：.4.已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______．【答案】2【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值.【详解】由为幂函数，则，解得，或，当时，，其图象关于轴对称，当时，，其图象关于对称，因此，故答案为：2.5.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解.【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上，所以函数在上单调递增，因为函数在区间上单调递增，所以，解得.故答案为：.6.若，则的值为__________.【答案】【分析】弦化切，代入即可.【详解】故答案：7.正实数a、b，若a与b的几何平均值为2，那么a与4b的算术平均值的最小值为________．【答案】4【分析】根据几何平均数求出，再利用基本不等式“积定，和最小”求解．【详解】因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故答案为：4．8.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则______.【答案】【分析】由题意可得且，直接计算即可求解.【详解】设函数的最小正周期为，则.因为是定义在上的偶函数，所以，所以.故答案为：9.写出使得函数的值域为的一个定义域_________．【答案】（答案不唯一）【分析】求出当和2时所对应值，再根据二次函数的性质即可得到答案.【详解】由得，即，得，由得，即或，则根据二次函数的性质可举例定义域为.故答案为：.10.已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________.【答案】【分析】求定义域，求导，依题得到在区间上有两个不相等的实根，由根的判别式和韦达定理得到不等式组，求得，化简并计算得到，构造，，求导得到函数单调性，即可推得所求式的范围.【详解】由，可得由题意得方程在区间上有两个不相等的实根，故Δ=4−8a>0x1又.设，则，故在上单调递增，则，即的取值范围是.故答案为：.11.设，若时，均有成立，则实数的取值集合为_____【答案】【分析】可得时，不等式不恒成立，当，必定是方程的一个正根，由此可求出.【详解】当时，，则，由于的图象开口向上，则不恒成立，当时，由可解得，而方程有两个不相等的实数根且异号，所以，必定是方程的一个正根，则，，则可解得，故实数的取值集合为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先判断，再得出当，必定是方程的一个正根.12.已知方程有四个不同的实数根，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】方法一可以化为．令，易得ℎx为偶函数，所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数．若，则．令，根据导数得到的单调性，根据在区间上存在唯一的整数，列出不等式组即可．方法二：由，得．令，易得均为奇函数，所以只需考虑时，与的图象有两个交点且在区间上存在唯一的整数，通过求导得到的单调性，根据直线过特殊点时的值即可得到的取值范围．方法三：．令，作图象，利用数形结合可得的取值范围．【详解】方法一．令，则．所以ℎx为偶函数．所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数即可．当时，令，得．令，则．当时，，所以在上单调递增；当时，0，所以上单调递减．因为在区间上存在唯一的整数，所以，即．所以的取值范围为．方法二：．令，则，所以为奇函数．因为也是奇函数，所以只需考虑时，与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数．易知，当x∈0,1时，，所以在0,1上单调递增；当x∈1,+∞时，，所以在1,+∞当直线过点时，；当直线过点时，．因为与ℎx的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数，所以，所以的取值范围为．方法三：由，得．令，两函数均为偶函数，所以只需考虑时，ℎx与φx的图象有两个交点，且在区间上存在唯一整数．如图，作的部分图象，根据图象易得，所以解得，所以取值范围为．故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数的常用方法（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．（3）将函数的化为的形式，将函数的零点个数转化为y=fx与y=gx图象交点的个数问题.二、选择题：（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可.【详解】由正弦函数的定义可知，再利用诱导公式知.故选：B14.已知，使成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.【详解】对于A，，A不是；对于B，当时，由，得，B不是；对于C，，可能有，如，C不是；对于D，由，得，则；若，则，D是.故选：D15.已知三次函数的图象如图，则不正确的是（）A.B.C.的解集为D.若，则【答案】D【分析】由图象初步确定三次函数的解析式，然后根据解析式分析函数的性质逐项判断即可.【详解】因为函数为三次函数，可设，.由图可知：；.所以设，.所以，由，.所以，，又当x∈−1,1时，f'x对A:,，因为，所以，故A正确；对B：因为，而，所以成立，故B正确；对C：，因为，所以或，所以：不等式的解集为，故C正确；对D：因为，由，所以，所以，所以，即.故D错误.故选：D.16.已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（）A.10 B.11 C.1023 D.1024【答案】B【分析】分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值．【详解】依题意，对于中元素和，当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使得的一个子集中任两个不同元素、，均满足，设集合中的元素记为，则的所有元素的位置至多有个，若位置为，其它位置为的元素有个，若全为的有个，综上中元素最多有个．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出的所有元素的位置至多有个，从而确定中元素个数的最大值.三、解答题:（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知，为第二象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.【小问1详解】，为第二象限角，，则；【小问2详解】.18.已知函数.（1）证明函数在上严格增；（2）若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用函数的单调性定义证明即得；（2）根据函数的奇偶性求出值，再求出方程的解，分别利用函数在和上的单调性即可求得不等式的解集.【小问1详解】因，任取，且，由，因，则，，故，即.故函数在上严格增；【小问2详解】因为函数在定义域上为奇函数，则，所以．所以，即，所以，由得：，即，所以或，解得或，所以不等式的解集为.19.问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数x，y满足，求的最小值；（2）若实数a，b，x，y满足，求证：；（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）时，取得最小值．【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值；（2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．（3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得．【小问1详解】因为,，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是．【小问2详解】，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足.【小问3详解】令，，由得，，又，所以，构造，由，可得，因此，由（2）知，取等号时，且同正，结合，解得，即，．所以时，取得最小值．【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题．20.已知，函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围；（3）设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）.【分析】（1）根据对数的性质列不等式即可求解，（2）将问题转化为有且仅有一正根.即可利用二次型函数的性质分类求解，（3）利用单调性的定义即可求解函数单调性，进而利用单调性求解最值，将问题进一步转化为二次函数的性质求解最值即可.【小问1详解】时，所以得，所以函数的定义域为.【小问2详解】方程，即，即.∴，化为：，方程的解集中有且只有一个元素，等价于有且仅有一正根.（1）若，化为，解得，符合题意；（2）若，此时.①令，得，解得，符合题意；②当，即时，方程有两个解，设为，.则，.当时，，此时方程有一正、一负根，符合题意.当时，，，此时方程有两个正根，不符合题意.综上，实数的取值范围为或，【小问3详解】.当时，.因为，，所以.所以，所以，所以.所以在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，.即：，即：，因为，，整理得：，令.因时，存在，故只需.因为，对称轴方程，所以在上单调递增，所以，故，得.故实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可