2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题）.

1.命题“Va,b>0,〃+工>2和至少有一个成立”的否定为（）

bd〈2S少有一个成立

A.Xfa,b>0f

ba

a和bd》御不成立

B.Vcz,

ba

ad〈丽b△〈座少有一个成立

C.3a,b>3

ba

aJ》2和bJ》渊不成立

D.3a,/?>0,

ba

已知a.beR,则“a+/?V0”是ua\a\+b\b\<^的（

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘

的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加.现将A房产中介公司2010

-2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010-2013年，2014-2016年，2017

-2019年的数据分别建立回归直线方程y%x+a、y=b2X+a2'y=b3X+a'则（）

A>>>>

b1b2b3a3a2a1

B<*A<A*

2>>>>1

bb1b,a3a2a

C3

A**AAA

22

b>b>b,>>

13a3a1a

>>>>

bbbaaa

D.2A13312

4.在空间四边形A8CQ各边AB、BC、CD、D4上分别取点E、F、G、H,若直线EF、GH

相交于点P,则（）

A.点P必在直线AC上B.点P必在直线8力上

C.点P必在平面48。内D.点P必在平面BCO内

5.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速

度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器

接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为

零时，反射光相对探测光会发生频移f=2'守）,其中-为测速仪测得被测物体的

PA

横向速度，入为激光波长，＜p为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在

距离高铁处，发出的激光波长为1500〃成（1〃m=10-9机），某次检验中可测频移范围

9

为9.500X109（]//7）至]o.OOOX10（1//?）,该高铁以运行速度（337.5切物至3755物）

经过时，可测量的概率为（）

--40mm

6.已知4,B分别为双曲线「：x2-（=l实轴的左右两个端点，过双曲线「的左焦点尸

作直线尸。交双曲线于P,。两点（点尸，。异于A,B）,则直线AP,的斜率之比

kAP：kBQ=（）

A.」1B.-3C2.D.上3

332

7.将边长为1的正方形ABC。沿对角线8。翻折，使得二面角A-80-C的平面角的大小

JT

为F~,若点E,尸分别是线段AC和BQ上的动点，则就•赤的取值范围为（）

A.[-L0]B.[-1,卷]C.0]D.

8.在矩形ABC。中，A3=4,BC=4愿，点G,H分别为直线3C,CD上的动点，AH交

OG于点P.若m=2入前，CG^-XCB(O<A<1),则点尸的轨迹是()

A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线

二、多项选择题(共4小题).

9.对下列命题的否定说法正确是()

A.P：VxGR,X>0；「p：3XGR,X<0

B.P：3xeR,X2^-1；-'p：3XGR,X2>-1

C.P：如果xV2,那么xVl；「p：如果xV2,那么

D.P：VxeR,使N+lWO；­'p：3XGR,X2+1=0

10.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次.记事件A=｛第

一个四面体向下的一面出现偶数｝;事件B=｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝;C=

｛两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数｝.给出下列说法：

A.P(A)=P(B)=P(C)；B.P(AB)=P(AC)=P(BC)；C.p(ABC)="1-；

£».p(A)P(B)P(C)=1-

o

其中正确的是()

A.AB.BC.CD.D

11.正方体A8CO-4B1G2的棱长为3,点E,尸分别在棱CC”01G上，且CiE=2EC,

D\F=2FC\,下列命题：

A.异面直线BE,CF所成角的余弦值为需；

B.过点B,E,F的平面截正方体，截面为等腰梯形；

C.三棱锥Bi-BEF的体积为•1；

D.过3作平面a,使得AEJ_a,则平面a截正方体所得截面面积为殳叵.

2

其中所有真命题为()

A.AB.BC.CD.D

22

12.已知椭圆M：当令=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi,若椭圆M与坐标

轴分别交于4B,C,。四点，且从八，Fz,A,B,C,。这六点中，可以找到三点构

成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为()

A.返B.返C.依一]D.愿一]

2222

三、填空题（共4小题）.

13.已知“6R,命题p：VxG[l,2],x2-a^O,命题q：3.reR.x2+2ax+2-a—0,若命题p

Nq为真命题，则实数a的取值范围是.

14.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取

60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001,--799进行

编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛

奶的编号.

（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

15.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）

的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点Q上，片门

位于另一个焦点在2上.由椭圆一个焦点Fi发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另

一个焦点尸2.已知BCLF\F2,尸闿=孕，尸产2|=4,则截口BAC所在椭圆的离心率

为.

16.如图，在△ABC中，AB=\,BC=2、/5，B=不，将AABC绕边AB翻转至使

面ABP_L面ABC,力是BC的中点，设。是线段PA上的动点，则当PC与。。所成角取

得最小值时，线段AQ的长度为.

B

四、解答题（共70分）

17.已知命题p：方程/-2J为+机=0有两个不相等的实数根；命题q：2n,+1<4.

（1）若p为真命题，求实数机的取值范围；

（2）若pVg为真命题，p/\q为假命题，求实数，〃的取值范围.

18.有编号为1,2,3的三只小球，和编号为1,2,3,4的四个盒子，将三个小球逐个随

机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立.

（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；

（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率.

19.已知抛物线及V=2px（p>0）的焦点为凡直线/：y=2x-2,直线/与E的交点为A,

B.同时|AF|+|8f]=8,直线直线机与E的交点为C、D,与y轴交于点P.

（/）求抛物线E的方程；

（II）若百=4而，求|C£）|的长.

20.“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980

年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用.个

税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=

收入一个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人

等.

新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：

旧个税税率表（税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000

元）

缴税级数每月应纳税所得税率（％）每月应纳税所得税率（％）

额（含税）=收额（含税）=收

入一个税起征点入一个税起征点

-专项附加扣除

1不超过1500元部3不超过3000元部3

分分

2超过1500元至10超过3000元至10

4500元部分12000元部分

3超过4500元至20超过12000元至20

9000元的部分25000元的部分

4超过9000元至25超过25000元至25

35000元的部分35000元的部分

5超过35000元至30超过35000元至30

55000元部分55000元部分

…・・・・・・…•••

随机抽取某市1000名同一收入层级的厅从业者的相关资料,经统计分析，预估他们2021

年的人均月收入24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每

人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符

合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但

不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：

1;此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：

住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.

假设该市该收入层级的厅从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的

/T从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：

(1)求该市该收入层级的/T从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率.

(2)根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的

/T从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？

21.如图，四棱锥P-ABC。中，侧棱PA垂直于底面4BC£),AB=AC=AD=3,2AM=MD,

N为PB的中点，平行于BC,MN平行于面PCQ,PA=2.

(1)求8c的长；

(2)求二面角N-PM-。的余弦值.

22

22.已知椭圆：G：々■送了=1(心心0)的右顶点与抛物线C2：炉=2内(p>0)的焦点

bz

重合，椭圆G的离心率为，■,过椭圆G的右焦点F且垂直于X轴的直线截抛物线所得

的弦长为472.

(I)求椭圆G和抛物线C2的方程；

(II)过点4(-4,0)的直线，与椭圆Ci交于“，N两点，点M关于x轴的对称点为

E.当直线/绕点4旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论.

参考答案

一、单项选择题（共8小题）.

1.命题“Ya,b>0,a+工22和加工22至少有一个成立”的否定为（）

ba

A.V”，b>0,ad〈2ffbd<25少有一个成立

ba

B.Ya,b>0,a+看》2和不成立

C.3a,/?>0,少有一■个成立

ba

D.Ba,b>0,&」~》2和1）「"?2都不成立

ba

解：根据含有量词的命题否定可知，

\fa,b>0,a+工》2和6+!22至少有一个成立的否定为：

ba

皿，b>0,a+"^">2和不成立，

ba

故选：D.

2.己知a,bER,则“a+bVO”是“a|a|+臼切〈0”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：由a+&<0,可得“WO,b<0或a>0,b<-a,

当aWO,bVO时，可得“间+匕依VO,

当a>0,bV-a时,可得a|a|+b|b|VO,

故“〃+，<0”是“a|a|+""<0”的充分条件，

由4同+6|〃|<0,可得当a<0时，b<0,或。<-“，得〃+&<（）；

当a>0时，可得6<-“，得a+b<0,

故“。+匕<0”是“。⑷+方网<0”的必要条件，

：.a,bER,则“a+b<0”是ua\a\+b\b\<On的充分必要条件,

故选：C.

3.自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘

的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加.现将A房产中介公司2010

-2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010-2013年，2014-2016年，2017

-2019年的数据分别建立回归直线方程y=bix+a、y=b2x+a2、y=b3x+a》h）

S

论

7o

Q

o

4o

o

d‘O

1O

.bl">b2'>b3，a3">a2^>a1

A44444

B,b2>b[>b3，@3〉a2〉a1

AAAAAA

C.b[>l>2>b3，a3>a]>a2

A444AA

D，b2>b[〉b3，23〉@]〉a2

解：回归直线分布在散点图附近，b表示回归直线的斜率，a表示回归直线在）'轴上的截

距，

由题意可知，2010-2013年，y随x的增加而迅速增加，

2014-2016年，y随x的增加而平缓增加，

2017-2019年,y随x的增加而减少，

故b[>b2>b3'

由图可知，*>_>,，

a3a2a1

故选：A.

4.在空间四边形ABC。各边AB、BC、CD、D4上分别取点E、F、G、H,若直线EF、GH

相交于点P,则（）

A.点P必在直线AC上B.点尸必在直线BO上

C.点尸必在平面ABC内D.点P必在平面BCD内

解：作图如下:

.4

因为EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点尸，

所以P在两面的交线上，

因为AC是两平面的交线，

所以点P必在直线AC上.

故选：A.

5.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速

度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器

接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为

零时，反射光相对探测光会发生频移J0,其中v为测速仪测得被测物体的

横向速度，入为激光波长，＜p为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在

距离高铁山处，发出的激光波长为1500m”（1〃,〃=10，），某次检验中可测频移范围

为9.500X109（1〃?）至1o,OOOX109（1//?）,该高铁以运行速度（337.5%向〃至375版/力）

经过时，可测量的概率为（）

--40nlm-

s.20X10-30.02

解：町飞+(20X10-3)2=7H荻'

P入----------Zq-

1500X10y

2X337.5X1000X,0-02

当高铁以运行速度331.5km/h经过时，频移为V1.0004^8.998X

1500X10-9

109(1/A)；

2X375X1000X-,0--2—

当高铁以运行速度375kmM经过时，频移为VI.0004^9.998X1Q9

1500X10"9

(1//2).

则频移范围为9.998X109(血)至8.998X109(]〃?)，

又检验中可测频移范围为9.500X109(皿)至10.000X109(皿)，

•••该高铁以运行速度(3315kmlh至315kmih)经过时，可测量的概率为P=

(10000-9.500)X1。9_1

(9.998-8.998)X1092'

故选：A.

6.已知A,8分别为双曲线「x2=1实轴的左右两个端点，过双曲线r的左焦点尸

3

作直线PQ交双曲线于P,。两点（点P,。异于月，B）,则直线AP,BQ的斜率之比

kAP：knQ=()

122

A・」B.-3C・/D.上

332

解：由己知得双曲线「：a=\,c=2.

故尸(-2,0),4(-1,0),B(1,0).

设直线P。：x—my-2,且P(xi,yi),Q(及，”).

x=my-2

222

由＜0v消去x整理得(3/7t-Dy-12my+9=0,

x---=1

x3

12m9

"产2K可，32高工

oYi+y9_

两式相比得X------①，

4丫/

一,yl、,*2-1yi（my2-3）严丫门2-3了1个

xi+1了2丫2加丫-1）^^2-y2

3

将①代入②得：上式=瓷2*与也1-

-^（y1+y2）-y2%々

故AAP：kBQ=-3.

故选：B.

7.将边长为1的正方形ABC。沿对角线8。翻折，使得二面角A-30-C的平面角的大小

TT

为〒，若点£厂分别是线段AC和3。上的动点，则丽•寺的取值范围为（）

A.[-1,0]B.[-1,卷]C.0]D.

解：如图，BE-BC=（B0+0E）•（而+而）

=B0-CCTBO-OTOE-CO+0E-OF

=0-<OB'OF^OE-0C）+0

=-（OB-OTOE-OC）-

'•"OB=OD=冬工林•碇l-/，》

：OC=O4=返，二面角A-8。-C的平面角的大小为二,

23

•"­OE-OC6!-^'寺’

二BE,CF®-1，

故选：B.

A

8.在矩形4BCD中，48=4,BC=4«，点G,“分别为直线BC,C£）上的动点，AH交

DG于点、P.若而=2入庆，CG=yXCB（O<A<1）,则点P的轨迹是（）

A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线

解：分别以MN和A£>所在的直线为x,y轴建立平面直角坐标系,

则A（0,-2e），D（0,2/），M（2,0）,N（-2,0）,

因为而=2入天，CG-y^CB（0<A<l）,

所以H（8入,2®G（4,2正（1-入）），

所以直线A”的方程为y挈x-2畲关x-2«，

直线。G的方程为丫=辛X+2F*X+2«,

联立这两条件直线方程可得点p（.,2返（1一:，））

1+X21+X2

因为

9

(8入)22V3(1-X2)

1+入2,1+-264,12(162)24X2+l-2X2+X4(1+12)2

--------------------+-----------------------------------=-------------------------+-------------------------=-------------------------------------=--------------------=1

161216(1+入02)12(1+入92)(l+xo2)(1+XO2)

22

则点P的坐标满足式—=1，

1612

所以点P的轨迹是以。为对称中心，N,M分别为左右焦点的椭圆，其中a=4,b=2E，

c=2.

故选：C.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多

项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9.对下列命题的否定说法正确是()

A.P：VxGR,X>0；-'p：IreR,x<0

B.P：3.vGR,NW-1；「p：3x6R,x2>-1

C.P：如果x<2,那么x<l；「p：如果x<2,那么

D.P：VxeR,使x2+lW0；「p：3xGR,N+1=O

解：P-.VxGR,X>0；「p：3XGR,XWO,A正确；

P：3^6R,NW-l；「p：VxeR,x2>-1,B错误；

P：如果x<2,那么x<l；—'p：如果x<2,那么C正确；

P：VxeR,使x2+lW0；「p：3xGR,N+1=O,。正确.

故选：ACD.

10.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次.记事件A=｛第

一个四面体向下的一面出现偶数｝;事件8=｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝;C=

｛两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数｝.给出下列说法：

A.P(A)=P(B)=P(C)；B.P(.AB)=P(AC)=P(BC)；C.p(ABC)=—；

8

DP(A)P(B)P(C)4-

o

其中正确的是()

A.AB.BC.CD.D

解：同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次.

记事件A=｛第一个四面体向下的一面出现偶数｝,则尸(A)=¥=《，

事件8=｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝,则尸(B)=告=5，

42

C=｛两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数｝,则P(C)=

1v11v1_1

22222

：.P(A)=P(B)=P(C),故A正确；

B,C是相互独立事件，：.P(AB)=P(AC)=P(BC)=^X—,故B正

224

确：

：A、B、C不是两两互斥事件，.,.p(ABC)=*1"不正确，故C错误；

O

-：P(A)=P(B)=P(C)•••P(A)P(B)P(C)4故。正确.

2o

故选：ABD.

11.正方体ABCZ)-48iGd的棱长为3,点E,尸分别在棱CC”QG上，且CiE=2EC,

D]F—2FC\,卜列命题：

A.异面直线BE,CF所成角的余弦值为且；

过点8,E,尸的平面截正方体，截面为等腰梯形;

三棱锥-BEF的体积为5；

D.过5作平面a,使得AE_La,则平面a截正方体所得截面面积为巨叵.

其中所有真命题为(

解：对于A.取45的三等分点为F\,使又力।尸=2FCi,

；.尸山1〃尸。且~8=FG,...四边形FGBFi为平行四边形，

:.FF\〃B\C\//BC且FQ=BG=BC,...四边形FiFCB为平行四边形，

:.BF\〃CF,则/QBE为异面直线BE,CF所成的角，

连接EFi,由题意得：BFi=V10>8匹=百5，EFi=m

对于B.取Bi8的三等分点为Ei,使BiEi=2EiB,又CiE=2EC,

：.BE\//CE且BEi=CE,.,.四边形BE\EC为平行四边形，则E|E〃BC且E\E=BC,

又由A得，FF\//BC且FF尸BC,于是FFI〃EEI且FFi=EEi,

四边形EE\F\F为平行四边形，

取的中点为G,连接BG,

又!L=.1；.EyF\//BG//EF,则四边形BEFG即为所求截面，

B,GE,B1

由题意知：BE/FG,故B不正确；

对于C.SBIB£=—X3X3=—,又CiEL面B\BE,C\F=\,

A22

=XF：=XX=

所以gi-BEF=^F-BB1E^AB1BECI--1--|-1-T'故C正确；

对于。.取CD的三等分点为Hl,使CHi=2DHi,取BC的三等分点为H,使CH=

2BH,

：.HHi//BD//B\Di,则面BiDiHiH即为所求的截面a,建立如图所示的空间坐标系，

则A(3,0,0),E(0,3,1),Bi(3,3,3),Di(0,0,3),H\(0,1,0),

标=(-3,3,1),B[D；=(-3,-3,0),B[H；=(-3,-2,-3),

:标邛1口；=0,标•百百=0，所以平面BiDHH,

由已知条件得，86=3、巧，HHi=*Di=2近,B\H=D\H\=-^,

等腰梯形BIDIHIH的高为仁J(仍伺)2_(_§返券2)2=1&

所以截面面积为S=.——"32=54•,故。正确.

222

故选：ACD.

22

12.已知椭圆M：当三=l(a>6>0)的左、右焦点分别为八，F2,若椭圆M与坐标

轴分别交于4,B,C,。四点，且从尸”Fa,A,B,C,。这六点中，可以找到三点构

成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为()

A返B.返C.疾-1D.愿V

2222

解：由题意可得左右焦点和上下顶点可能构成直角三角形，这时b=c,

离心率e=W=Ji马=卓；

aVa22

或者长轴的点和短轴的点和一个焦点可能构成直角三角形，如图所示：这时AF?=

即（a+c）2=足+从+02,整理可得：〃+e-l=O,

可得e=近」

2

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）

13.已知“CR,命题p：Vxell,2],x2-a^O,命题q：3XGR,N+2办+2-a=0,若命题p

Nq为真命题，则实数a的取值范围是aW-2,或a=l.

解：若命题p：KVX6[1,2],为真；

贝ij1-.20,

解得：aWl,

若命题q：u3xGR,炉+2以+2-。=0”为真，

则△=4层-4（2-。）20,

解得：aW-2,或

若命题是真命题，则〃W-2,或。=1,

故答案为：-2,或。=1

14.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取

60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将•800袋牛奶按000,001,799进行

编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛

奶的编号331、572、455.

（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

解：利用随机数表抽取是样本数据，找到第7行第8列的数开始向右读,

第一个符合条件的是331,第二个数是572,第三个数是455.

故答案为：331,572,455.

15.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）

的一部分，过对称轴的截口丘4（?是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点Q上，片门

位于另一个焦点尸2上.由椭圆一个焦点目发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另

一个焦点尸2.已知BCLFE,|F1B|=学，|F]F2|=4,则截口BAC所在椭圆的离心率为

0

1

a3

所以离心率e=g=g=《，

a63

故答案为：-1.

16.如图，在AABC中，AB=\,BC=2V2，BTT->将△ABC绕边AB翻转至△ABP,使

面A8PL面ABC,。是BC的中点，设。是线段PA上的动点，则当PC与。。所成角取

得最小值时，线段AQ的长度为—看而_.

B

解：过点尸作POJ■平面ABC,交BA延长线于点0,连结。C,

以。为原点，08为x轴，0C为y轴，0P为z轴，

建立空间直角坐标系,

在△ABC中，AB=\,BC=2圾,8=亍，

将△A8C绕边AB翻转至△ABP,

使平面平面A8C,。是BC的中点，设。是线段PA上的动点，

则8（2,0,0）,A（1,0,0）,。（0,0,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,

设。（x,y,z）,蕊=入屈=入（-1,0,2）,AG[0,11，

即（x-1,y,z）=（-入，0,2入），.♦.。（1-入，0,2入），

D（L1,0）,而=（-入，-1,2入）,pc=（0,2,-2）,

X前，衣＞尸/；2a"我卡果手

令/（人）俎。，H，

5入2+1

2（1+2入）（2-5人）

(A)（5人2+1产

由/(入)—0,Ae[0,1J,得入=1,

5

Ae[0,4)时,f⑴>°，入e仔，1]时,f(x)<0,

55

.♦•当入《时，/（入）取最大值，此时尸。与OQ所成角取得最小值,

HQ尸春屈

四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知命题p：方程*2-2后+加=0有两个不相等的实数根；命题/2«|+1<4.

(1)若p为真命题，求实数机的取值范围；

(2)若pVq为真命题,pAq为假命题，求实数，”的取值范围.

解：(1)若p为真命题，则应有△=8-4〃?>0,…

解得小<2.…

(2)若q为真命题，则有根+1<2,即相<1,…

因为pVq为真命题，pAq为假命题,

则p,q应一真一假.…

①当p真q假时，有，得

②当p假q真时，有,无解.…

综上，，〃的取值范围是［1,2).-

18.有编号为1,2,3的三只小球，和编号为1,2,3,4的四个盒子，将三个小球逐个随

机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立.

(1)求三只小球恰在两个盒子中的概率;

(2)求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率.

解：(1)设“三只小球恰在两个盒子中”为事件A,

c；c匆9

则P(A)=

4316

(2)设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件8,“三个球的编号与盒子的编号

不同”为事件C,

则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件：B+C.

以(1+2)92+C3X311

P(B)=P(C)=B与C互斥,

436464

故P(B+C)=P⑻+P(C)卷噂啥

19.已知抛物线E：V=2px(p>0)的焦点为F,直线/：y=2x-2,直线/与E的交点为A,

B.同时|4月+|8月=8,直线相〃/.直线相与£的交点为C、D,与y轴交于点P.

(/)求抛物线E的方程；

(II)若而=4而，求ICDI的长.

【解答】解⑺联立方程Iy=2px得：2x2-(4+p)x+2=0,

y=2x-2

设A(xi,yi),B(%2,yz),

由韦达定理得：xi+xQ=—?■»

142

由抛物线定义可得：|BF|+|AF|=X]+X2+P号pj=8，，p=4.

则抛物线E的方程为：)2=8x；

(H)设直线m,y=2x+t,

y=2x+t

联立方程19得：4N+(4-8)x+P=O,

由4=(4f-8)2-16/2>0得：t<1f

设C(l3，”)，D(X4,》4),

一一x3

;CP=4DP可知尢3=4无4,——二4,

x4

•X3+X42-1,YY――

X3X44

2,2

X3卜X4=X3+>422

-2=-4'7'-2=4+y

x4X3-X3X4X3X4t224,

4

解之得：t=^■■或-8,

・•・|CD|他2+N（X3+X4）2-4x3X4=2亚义'卜七

当t嗓寸，加|=多兀；当f=-8时,|CD|=6V5.

20.“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980

年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用.个

税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=

收入一个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人

等.

新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：

旧个税税率表（税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000

元）

缴税级数每月应纳税所得税率（％）每月应纳税所得税率（％）

额（含税）=收额（含税）=收

入一个税起征点入一个税起征点

-专项附加扣除

1不超过1500元部3不超过3000元部3

分分

2超过1500元至10超过3000元至10

4500元部分12000元部分

3超过4500元至20超过12000元至20

9000元的部分25000元的部分

4超过9000元至25超过25000元至25

35000元的部分3