第10讲 三角形与全等三角形（易错点梳理+微练习）（解析版）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）-中考数学备考复习重点资

第10讲三角形与全等三角形易错点梳理

易错点梳理

易错点01对三角形中“三线”位置掌握不好

对三角形中“三线”位置掌握不好，导致出错三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而

三角形的高不一定在三角形内部.锐角三角形的高在三角形的内部；直角三角形的两条高与

直角边重合，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形外部。

易错点02误用多边形的内角和公式及三角形外角的性质

n边形的内角和等于(n-2)-180°,而并非为n780°对三角形外角的性质理解不透彻而出

现错误，在应用三角形外角的性质时，不可忽略了“不相邻”这个条件。

易错点03忽略三角形存在的条件而导致计算错误

进行等腰三角形的边长或周长计算时，一般需要分类讨论，但不可忽略三角形存在的条件，

即任意两边之和大于第三边.对出现的情况需要逐一验证，确定取舍。

易错点04对正多边形的概念理解有误导致判断失误

判断正多边形的两个条件一一各个角都相等、各条边都相等，两者缺一不可，不要以为每个

内角都相等的多边形便是正多边形。

易错点05全等三角形的对应关系考虑不全面而出错

用“丝”表示两个三角形全等时，对应点放在时应位置，但用语言描述的两个三角形全等却

不需要，不要形成固定思维.解决这类问题要考虑各种对应情况，避免出现考虑不全面，导

致结果错误.

易错点06错用“SSA”进行判定三角形全等

判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4种方法,不存在“SSA”的判定

方法.

易错点07运用角平分线的性质和判定时，误将斜线段当作距离

在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件。

W例题分析

考向01三角形的三边关系

例题1:（2021•广东新丰•九年级期中）三角形的两边长分别是3和6,第三边的长是方程》2_7X

+10=0的一个根，则这个三角形的周长是（）

A.11或14B.14或16C.14D.11

【答案】C

【分析】

首先利用因式分解法求得一元二次方程f-7x+10=0的两个根，又由三角形的两边长分别是3

和6,利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可.

【解析】解：；x2-7x+l（M）,

（x-5）（x-2）=0,

解得：%|=5,X2=2,

•••三角形的两边长分别是3和6,

当45时，3+5>6,能组成三角形；

当x=2时，2+3<6,不能组成三角形.

.••这个三角形的第三边长是5,

.,•这个三角形的周长为：3+6+5=14.

故选：C.

【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识.解题的关键是注

意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用.

例题2：（2021•江苏•常州外国语学校九年级）如图，。。的半径为2,定点P在。。上，动

点A,8也在。O上，且满足NAP3=30。，C为P8的中点，则点A,8在圆上运动的过程

中，线段AC的最大值为（）

B

A.1+y/3B.-\/3+2C.2>/3-2D-

【答案】A

【分析】

延长BA到点力，使D4=BA,连接PD,运用三角形中位线定理，当尸。最大时，AC最大,

运用三角形不等式原理计算即可.

【解析】如图，延长氏4到点。，使DA=3A,连接尸£）,P。，0A9OB,OD,

t

：BA=AD1BC=PC,

・・・4。是4的中位线，

：.AC=^PD,

•IZAPB=30°,

・・・ZAOB=60°f

•••△AO8等边三角形，

：.0A=0B=AB=AD=2,NAO8=NOAB=60°,

NAD矢NA00=30。，

・・・N006=90°,

：・0D=yjBD2-OB2=V42-22=2百，

9：DO+PO>PD,

・・・P9的最大值为：DO+Pg6+2,

：.AC=^PD=\+yf3,

故选A.

【点拨】本题考查了圆的基本性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定

理，三角形不等式，构造三角形中位线定理，灵活运用勾股定理是解题的关键.

考向02三角形的高、中线

例题3：（2021•山东安丘•二模）如图，四边形ABCC为菱形，BF//AC,。尸交AC的延长线

于点E,交BF于点F,且CE：AC=1：2.则下列结论不正确的有（）

D

A.AABE义/\ADE；B.ZCBE=ZCDF；

C.DE=FE；D.SABCE：S四边形ABZ7)=1:9

【答案】D

【分析】

由四边形A8CO为菱形，AB^AD,ZBAC=ZDAC,可证AAfiE丝AADE(SAS)可判定A；由

^ABE^/SADE,可得/ABE=/AOE,由四边形A8C£＞为菱形，可得/A8C=/ADC,利用

等角之差NCBE=NCDE,可判定B；连结8Z)交AC于O,四边形A8C3为菱形,可得BD=20D,

可证△DOE^/XDBF,HfiiEDF=2DE，可判定C；根据0E为△DBF的中位线，

ADOE^/\DBF,可得SwF=44“£,由CE：AC=1：2.可得叉BOA=SABOGSABCE=SAADO,

SADOE=2SABCE，可求^!SABFD=IOSABCE可判定D.

【解析】解：；四边形ABCD为菱形，

：.AB=AD,ZBAC=ZDAC,

.•.在AABE和AADE中,

AB=AD

-ZBAE=ZDAE,

AE=AE

/.MBE^MDE(SAS)

故选项A正确；

；MBE^/SADE

：.NABE=NADE,

•.•四边形ABC。为菱形，

ZABC=ZADC,

：.ZCBE=ZABE-ZABC=NADE-NADC=NCDE,

故选项8正确；

连结8。交AC于O,

•；四边形A8CD为菱形，

?.DO=BO,OELBD,

：.80=200,

,:BF〃AE,

:・/DOE=NDBF,NDEO=NF,

:•△DOEsADBF,

.DODE\

••丽一而一5'

・•・DF=2DE,

DF=EF+DE=2DE,

，EF=DE,

故选项。正确；

,:DO=OB,DE=EF,

：・0E为Ab的中位线，

：.BF=2OEf

■:ADOEsmBF,

.S皿J叫J

F.[BE)4

•q-4<?

••°&DBF~r48D0E

VCE：AC=\：2.

：.AC=2CEf

：.A0=0C=CEf

S»BOA=S^BOC-Sh.BCE=S^A。。，

SADO尸2sABCE,

**S四A"。=SgBD+SADBF=2S2CE+=1OS.CE

故选项。不正确.

故选择D.

【点拨】本题考查菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积

与四边形面积，掌握菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面

积与四边形面积是解题关键.

例题4：（2021•安徽包河•九年级期中）如图，在AABC中，。、E分别是边8C、AC上的点,

A3与BE相交于点F,若E为AC的中点，BD.DC=2:3,则的值是（）

A.2.5B.3C.4D.2

【答案】A

【分析】

过点E作EG〃8c交于G,则EG是△ACO的中位线，AAGES△A。。，可以得到

4GCF1£FCFCFGF3

把=匕=上,再证明△尸GEs△尸得到匕=匕，即可推出3=匕=1,设

ADCD2BDFDBDFD4

AD=2AG=2x,则AG=GD=GF+H)=x,GF=-xDF=-xAF=AG+GF=—x,

7f7f7

由此求解即可.

【解析】解：如图所示，过点E作EG〃8C交A。于G,

YE是AC的中点，EG//BC.

・・・EG是AAC。的中位线，&AGEsXADC,

AGGE

：.EG=-CD,

2~AD~~CD

.AGGE

"AD"CD-2'

同理可证4FGES^FDB,

・GEGF

••丽一而'

VBD:DC=2:3,GE:DC=1:2,

.GEGF_3

••茄—访一"

设AO=24G=2x,则46=6。=6/+尸。=不，

34

AGF=-x,DF=—x,

77

AF=AG+GF=yx,

104

・・・AF:FD=-x:-x=2.5

77f

故选A.

【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能

够熟练掌握相似三角形的性质与判定.

考向03三角形的角平分线

例题5：（2021•湖南・常德市第五中学九年级开学考试）如图，RSABC中，ZC=90°,NB

=30。，NBAC的平分线交BC于点。，CD=B则8。的长是（）

【答案】B

【分析】

根据三角形的内角和定理可知：ZC4B=6O°,根据角平分线的定义得到

ZCAD=ZBAD=1ZCAB=30°,求得NZMB=ZB，得到3D=根据直角三角形性质即

可得到答案.

【解析】：NC=90。，4=30°

ZC4B=60°

；NC4B的平分线交BC于点。

ZCAD=ZBAD=-ZCAB=30°

2

ZDAB=ZB

：.BD=AD

CD=yj3

：.BD=AD=2CD=2y/3

故选：B

【点拨】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，正确

的理解题意、运用相应的性质是解题的关键.

例题6：（2021•陕西藩桥一模）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,A。是BC边上的高，BE

是AC边的中线，CF是/ACB的角平分线，CF交AD于点G,交.BE于点H,下面说法正

确的是（）

①AABE的面积=△BCE的面积；®ZMG=ZFCB；③AF=AG；®BH=CH.

【答案】D

【分析】

根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出/项G=/AC8,再判断

②即可，根据三角形的内角和定理求出NAFG=/4GF,再根据等腰三角形的判定判断③即

可，根据等腰三角形的判定判断④即可.

【解析】解：•••8E是AC边的中线，

：.AE=CE,

/\ABE的面积=1xAExA3,△BCE的面积=,xCExAB,

22

/\ABE的面积=△BCE的面积，故①正确；

是8c边上的高，

ZADC=90°,

,/ZBAC=90°,

：.ZDAC+ZACB=90°,ZFAG+ZDAC=90°,

：./用G=ZACB,

•••CP是/ACB的角平分线，

:./ACF=NFCB,ZACB=2ZFCB,

：.ZFAG=2ZFCB,故②错误；

,在△ACF和△QGC中，NBAC=NACC=90。，ZACF^ZFCB,

：.ZAFG=\SQ°-NBAC-ZACF,ZAGF=ZDGC=\S00-ZADC-NFCB,

：.ZAFG^ZAGF,

：.AF=AG,故③正确；

根据已知不能推出N48c=N”C8,即不能推出“8="C,故④错误；

即正确的为①③，

故选：D.

【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形

内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

考向04三角形的内角和

例题7：（2021•福建•福州十八中九年级期中）如图，AOOC是由AOA8绕点O顺时针旋转30°

后得到的图形，若点。恰好落在AB上，则NA的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.750

【答案】D

【分析】

由旋转的性质知/力。。=30。，OA=OD,根据等腰三角形的性质及内角和定理可得答案.

【解析】由题意得：/AOO=30。，OA=OD,

180°-N4O£>

：.ZA=ZADO==75°.

2

故选D.

【点拨】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等.②

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等是解题的关键.

例题8：（2021•青海互助•九年级期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80。，得到AADE,

若点£＞在线段的延长线上，则ZPDE的度数为（）

B

A.60°B.80°C.100°D.120°

【答案】B

【分析】

由题意得AB=AD,ZBAD=80°,ZB=ZADE,得NB=N4D3=50。，则=N3=50。,

即可得.

【解析】解：,••将△ABC绕点A逆时针旋转80。，得至必ADE,

AAB=AD,ZBA£>=80°,ZB=ZADE,

：.ZB=ZADB=-（180°-ZBAD）=-x（180°-80°）=50°,

22

ZADE=/B=50°,

：.APDE=1800-ZADE-ZB=180°-50°-50°=80°,

故选B.

【点拨】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点.

考向05三角形的外角

例题9：（2021•河南大学附属中学九年级期中）如图，在平行四边形中，E是边CD

上一点，将AADE沿AE折叠至AAD'E处，A"与CE交于点F,若N8=52。，ZQ4E=20°,

则ZFEO的度数为（）

A.40°B.36°C.50°D.45°

【答案】B

【分析】

由平行四边形的性质得出NQ=4=52。，由折叠的性质得"'=/£>=52。，

NDAE=NDAE=20°,由三角形的外角性质求出NA£C=72。，由三角形内角和定理求出

ZAED'=108。，即可得出4ED的大小.

【解析】解：..•四边形ABCO是平行四边形，

.♦."=々=52°,

由折叠的性质得：/£>'=/£>=52。，ZD'AE-ZDAE=20°,

ZAEC=ZD+NDAE=520+20°=72°,

ZAED=180°-（ND'+ZD'AE）=180°-（52°+20°）=108°,

ZFED'=ZAED-ZAEC=108°-72°=36°.

故选：B.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和

定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出乙4EC和NAE。’是解决问题的关键.

例题10：如图，四边形A8C£>内接于。0,点尸为边AD上任意一点（点P不与点A、£（重

合）连接CP,若28=120。，则NAPC的度数可能为（）

D

O

BC

A.30°B.54°C.50°D.65°

【答案】D

【分析】

根据圆内接四边形对角互补，求得N0的度数，根据三角形的外角性质可得NAPC>".

进而可确定N4PC的范围，根据选项即可求解.

【解析】解：...四边形ABC。内接于O,

ZB+ZD=180°,

•.*ZB=120°,

ZD=180°-ZB=60°,

,/ZAPC为APCD的夕卜角，

ZAPC>ZD,只有。满足题意.

故选：D.

【点拨】本题考查了圆内接四边形形对角互补，三角形的外角性质，求得ND的大小是解题

的关键.

考向06全等三角形的性质

例题11：（2021•广西大化•九年级期中）如图，已知。，E分别是正三角形的边和C4上

的点，且AE=C£>,A少与5E交于P,则/3尸。的度数为（）

【答案】D

【分析】

根据△A8C是等边三角形，可得AC=BC,NABO=/C=60。，结合AE=C£>,利用等式性

质易得BO=CE,利用SAS易证△丝△BCE,从而有乙4。8=NBEC,再利用三角形外

角性质可证NC=NAPE,而NAPE和N8P。是对顶角，故可得Z8PO=NC.

【解析】•r△ABC是等边三角形，

：.AC=BC,ZABD^ZC=60°,

'：AE=CD,

：.AC-AE=BC-CD,

即BD=CE,

又•.•/ABO=NC=60°,AC=BC,

：.△ABD-BCE,

：.NADB=NBEC,

'：ZADB^ZC+ZDAC,

ZBEC=ZDAC+ZAPE,

：.ZC=ZAPE,

"：NAPE=NBPD,

N8PO=NC=60°.

故选D

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角性质、等边三角形的性质，解题

的关键是证明△ABD^/\BCE.

例题12：(2021•黑龙江•哈尔滨市第六十九中学校九年级期中)如图△ABCg/XDEC,点4

和点。是对应顶点，当B和点E是对应顶点，过点A作AFLC。，垂足为点凡若NBCE

=65°,则/C4尸的度数为()

【答案】B

【分析】

根据三角形全等的性质可得NACB=NDCE,进而可得NBCE=NACD,根据直角三角形的

两个锐角互余，即可求得NC4尸的度数.

【解析】小ABC四公DEC,

ZACB=ZDCE,

ZACB-ZACE=ADCE-^ACE

即N8CE=NACD,

AFVCD,NBCE=65°,

ZCAF=90°-ZACD=25°

故选B

【点拨】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余，证明NBCE=NACD

是解题的关键.

考向07全等三角形的判定

例题13：（2021•山东•禹城市教育和体育局九年级期中）如图，在边长为6的正方形A8CO

内作㈤F=45。，AE交BC于点E,4尸交C。于点尸，连接E凡将AADF绕点A顺时针旋

转90。得到AABG.若DF=3,则BE的长为（）

【答案】A

【分析】

根据旋转的性质可知，AADF丝△A8G,然后即可得到QF=8G,ZDAF=ZBAG,然后根据

题目中的条件，可以得到△E4GT4E4凡再根据。尸=3,48=6和勾股定理，可以求出8E

的长.

【解析】解：由题意可得，

△ADF^AABG,

.：DF=BG,NDAF=NBAG,

；NDAB=90。,NEAF=45°,

.".ZDAF+ZEAB=45°,

.,.ZBAG+ZEAB^45°,

.".ZEAF=ZEAG,

在小以6和4E4尸中，

AG=AF

,ZEAG=NEAF,

AE^AE

：.△EAG丝△E4&S4S）,

：.GE=FE,

设BE=x,则GE=8G+8E=3+x,CE=6-x,

：.EF=3+x,

"：CD=6,。尸=3,

：.CF=3,

'：ZC=90°,

••.(6-X)2+32=(3+X)2,

解得，x=2,

即BE=2.

故选A..

【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明

确题意，利用数形结合的思想.

例题14：（2021•黑龙江•哈尔滨德强学校九年级期中）如图，在AABC中，ZC=90°,AC^BC,

将AABC绕点A顺时针方向旋转60。到AAB'C'的位置，连接CB,则ZCBA的度数为（）

A.15°B.20°D.45°

【答案】C

【分析】

连接33'，证明AABB，为等边三角形，然后进一步证明@ABAC',得到

^BC=ZABC,即可求出NC84的度数.

连接BB'，

由题意得：

AB=AB',ABAS'=60°,

•••△ABB'为等边三角形，

a4=60°,BB=BA；

在△BQC与ABAC'中,

BB'=BA

BC'=BC'

B'C'=AC

：.△8BV色AABAC'（SSS）,

，AB'BC=ZABC=30°,

故选：C.

【点拨】该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点

问题.解题的关键是作辅助线；灵活运用旋转变换的性质、全等三角形的判定来分析、解答.

考向08角平分线与线段垂直平分线

例题15：如图，正方形A8CO的边长为2,点E从点A出发沿着线段A。向点。运动（不与

点A,加重合），同时点F从点。出发沿着线段OC向点C运动（不与点。，C重合），点E与

点尸的运动速度相同.BE与4尸相交于点G,H为BF中点、则有下列结论：

①/BGP是定值；

②用平分ZAFC；

③当E运动到AD中点时，GH=—；

2

④当AG+8G="时，四边形GE£＞尸的面积是g

其中正确的是（）

A.①0©B.①②③

C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】

根据题意很容易证得△BAEgZVI。尸，即可得到AF=BE,利用正方形内角为90。，得出

AFVBE,即可判断①；②假设BF平分NAFC,则角平分线的性质得至UBG=BC,则8G=AB,

又由/8GA=90。，得至由此即可判断②；③先利用勾股定理求出BF的长，然后

根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解；④根据△丝△AOF,即可得到S

22

桎边心GEDF=S^ABG，然后根据AG+GB=#时，得至（AG+GBf=AG+2AGGB+GB^6,

1

再由AG?+BG=AB?=4即可得至U2AGGB=2,则SVABG=-AGGB=-.

【解析】证明：在A力边上（不与A,。重合），点尸在OC边上（不与D,C重合）,

又..•点E,F分别同时从A,。出发以相同的速度运动，

：.AE=DF,

•••四边形A88是正方形，

AAB^DA,ZBAE=ND=90"

在^BAE和尸中，

AE=DF

•ZBA£=ZADF=90,

AB=DA

.,.△BAE<△AORSAS）,

；.N1=N2,

N2+N3=90，

Zl+Z3=90即ZAG8=90,

ZBGF=90。即NBG尸是定值，故①正确；

假设BF平分/AFC,

•••四边形48C£>是正方形，

：.BC±FC,BC=AB

'：BGLAF,

二BG=BC,

：.BG=AB,

又•.•/8GA=90°,

：.AB>BG,

假设不成立，

，②不正确；

③当E运动到AD中点时，，则F运动到CD中点,

CF=-CD=\,

2

BF=yjBC2+CF2=逐，

,/ZBGF=90°,，为BF的中点

:.GH=LBF=®，故③正确；

22

④:△BAE丝△4。凡

,,S6BAK=S

=

••spuan：GEDFS.ABC,

当AG+G8="时，（AG+GB'）2=AG2+2AGGB+GB2=6,

AG2+BG2^AB2^4,

:.2AGGB=2,

SVvABC=-2AGGB=-2,

•,•S四边杉GE。广=3故④正确；

故选c.

【点拨】考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，角平分线的性质，直

角三角形斜边上的中线，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

例题16：（2021•广东•深圳市高级中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC=

2AB=8,连接BD,分别以点8,。为圆心，大于38。长为半径作弧，两弧交于点E和点

F,作直线EF交A。于点/,交BC于点H,点”恰为BC的中点，连接AH,则AH的长为

（）

【答案】A

【分析】

连接。”，根据作图过程可得所是线段8。的垂直平分线，证明是等边三角形，然

后证明NA〃Q=90。，根据勾股定理可得A”的长.

【解析】解:如图，连接

E

w

根据作图过程可知：即是线段。。的垂直平分线，

:・DH=BH,

•・,点H为BC的中点,

:・BH=CH,BC=2CH,

:.DH=CH,

在口中，AB=DC,

u

：AD=BC=2AB=Sf

:,DH=CH=CD=4,

是等边三角形，

，NC=NCDH=NDHC=60。,

在口ABC。中，NBAD=NC=60。,AD//BC,

：./DAH=/BHA,

■:AB=BH,

：.ZBAH=ZBHAf

：.NBAH=NDAH=30。,

：.NAHD=90°,

JAH=^ADr-DH1=782-42=4G-

故选：A.

【点拨】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质,

平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法.

微练习

一、单选题

1.（2021•浙江拱墅•九年级期中）如图，〃是△48C的重心，延长4/交回于〃延长加

交然于物£是加上一点，且应：EC=3:2,连结四交威于G,则BH\HG：掰等于（）

A

A.7：5：2B.13：5：2C.5：3：1D.26：10：3

【答案】D

【分析】

过。作CF//BM,交熊的延长线于F,设CF=a,则GM=1a,依据CF//BG,DE\EC=3:3,

213

〃是欧的中点，可得宓=66F=6a,再根据〃是△放的重心，即可得到药/=］困右左a,

HG=BG-BH=a,进而得到BH：HG：GM=a:a:ga=26：10：3.

【解析】：如图，过C作⑦〃网交力后的延长线于凡

・・,，是△力欧的重心，

，材是〃'的中点，〃是比的中点，

・・・G是4的中点,

/.GM=|CF,

设CF=a,则GM=ga,

,:CF〃BG,DE：EC=^：2,〃是笈的中点，

.CFCE2_1

，a~BG~~BE~5+5+26*

:・BG=6CF=6a,

BM——a,

2

•・•〃是△/欧的重心，

213

33

135

:・HG=BG-BH=6a——a=二a,

33

：.BH\HG：GM1=3J：5-a：：a=26：10：3.

332

故选D.

A

【点拨】本题主要考查了重心的性质，解题的关键在于能够熟练掌握重心是三条中线的交点

以及重心的性质.

2.（2021•云南鲁甸•九年级期中）已知三角形的两边长为2和5,第三边满足方程

X2-7X+12=0,则三角形的周长为（）

A.10B.11C.10或11D.以上都不对

【答案】B

【分析】

解方程得到两个解，分两类情况讨论，看是否能构成三角形，若能构成，则三边长加起来即

为三角形周长.

【解析】•..X：!-7X+12=0,

解得%=3,々=4

...三角形三边长可能的情况为：

①2,5,3,V2+3=5,.*.2,3,5不能构成三角形

②2,5,4,V2+4>5,：.2,4,5能构成三角形

.•.三角形的周长为2+4+5=11

故选B

【点拨】本题考查了解一元二次方程，注意用三角形三边关系验证是否能构成三角形是解决

本题的关键.

3.（2021•吉林•长春市第五十二中学九年级期中）如图，在AABC中，ZACB>90°.按以

下步骤作图：分别以点A和C为圆心，大于!AC的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和N；

作直线MN交A3于点。，连结CO.若AB=7an,则3c的长可能是（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

【答案】A

【分析】

由基本作图得到的V垂直平分〃；则法〃C,根据三角形三边的关系得到比'〈缈■〃氏然后

对各选项进行判断.

【解析】解：由作法得拗唾直平分力乙

:.D归DC,

：.CD^BD-DA+DB^A^l,

：.BC<1.

故选：A.

【点拨】本题考查了作图-基本作图一作已知线段的垂直平分线.三角形三边关系，线段垂

直平分线的性质，掌握三角形三边关系，线段垂直平分线的性质是解题关键.

4.（2021-江苏•宜兴市树人中学九年级期中）下列说法正确的是（）

A.三角形三条中线的交点是三角形重心B.等弦所对的圆周角相等

C.长度相等的两条弧是等弧D.三角形的外心到三边的距离相等

【答案】A

【分析】

根据重心，弦与圆周角之间的关系，等弧的定义以及外心的定义进行逐一判断即可.

【解析】解：A、三角形三条中线的交点是三角形重心，故此选项符合题意；

B、在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，故此选项不符合题意；

C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故此说法不符合题意：

D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，故此说法不符合题意;

故选A.

【点拨】本题主要考查了三角形重心，外心，以及圆中弦、弧的知识，解题的关键在于能够

熟练掌握相关知识进行求解.

5.（2021•浙江•杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，。。的两条弦46、勿所在的直

线交于点尸，AC.BD交于点、E,ZJ£9=105°,N万=55°,则N/切等于（）

A

EO

PD

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】

由图可得：比所对的圆周角相等，可得=在VPC4及△PB£）中利用三角形

内角和定理分别表示出NPC4,ZPBD,由等式的性质可得：ZPCA=ZPBD,对顶角相等

可得：ABEC=ZAED,根据四边形内角和为360。可得N4CP,由平角定义即可得出结果.

【解析】解：由图可得：BC所对的圆周角相等，即：

NBAC=NBDC,

在VPC4中，

ZPCA=180°—NP-ABAC,

在△P3D中，

ZPBD=180°-ZP-ZBDC,,

NPCA=NPBD,

VZA£D=105°,

ZBEC=ZAED=\O50,

：.ZACP=~(360°-ZP-ZBEC)=100°,

ZACD=]8O0-ZACP=80°,

故选：C.

【点拨】题目主要考查同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理及对顶角相等的性质，理

解同弧所对圆周角相等是解题关键.

6.（2021•辽宁旅顺口•九年级期中）如图，将RtZ\ABC绕直角顶点。顺时针旋转90°,

得到△A£C,连接若4=25。，则4MC的度数是（）.

A.10°B.D.40°

【答案】B

【分析】

由旋转得A'C=AC,ZAC4'=90。，求出NG4A'=45。，利用外角性质求出NA'B'C,山旋转

的性质得到/笈的度数，再计算90°-/6即可得到结果.

【解析】解：山旋转得A'C=AC,/4C4'=9（）。,

ZCAA'=45°,

Zl=25°,

ZA,B,C=Z1+ZCAAr=70°,

由旋转得/庐NA'3'C=70°,

/.Z&4C=90°-N庐20°,

故选：B.

【点拨】此题考查三角形外角的性质，等边对等角求角的度数，直角三角形两锐角互余的性

质，旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键.

7.（2021•陕西师大附中九年级期中）如图所示，在AABC中，ZACB=90°,44=30。，将

△ABC绕点C顺时针旋转得到VA'3'C,点"恰好在四上，交然于F,在不添加其他线

段的情况下，图中与AAB'F相似的三角形有（)

A

A.2个D.5个

【答案】C

【分析】

根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即4.

【解析】由题意得：BC=B'C，AB=AB<AC=A!C,ZB=ZB-ZA=ZA'=30。,

ZACB=ZA,CB,=90°

VZA=30°,NAC庐90°

.,.Z^=60°

BC=BC

...△BB'C是等边三角形

/.ZB=ZBffC=ABCS=60°

AZB,C4=30°,ZZA,C4=60°,ZAB'A'=60°

：.A!B'//BC

'：N4⑦=90°

ACLAIf

与AAB，F相似的三角形有AA'CF、XABC、ACB'F、VA'ffC

所以有4个

故选：C

【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键.

8.（2021•重庆一中九年级期中）下列命题是真命题的是（）

A.三角形的外角大于它的任何一个内角B.〃（〃上3）边形的外角和为360°

C.矩形的对角线互相垂直且平分D.三角形的内心到三角形三个项点的距离相

等

【答案】B

【分析】

根据三角形的性质、多边形外角的性质，以及矩形的性质，对选项逐个判断即可.

【解析】解：A、三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角，则选项错误，不符合题意;

B、〃（〃23）边形的外角和为360。，则选项正确，符合题意；C、矩形的对角线互相平分，但

不一定垂直，则选项错误，不符合题意；I）、三角形的内心到三角形三个边的距离相等，则

选项错误，不符合题意：故选B

【点拨】本题考查的是真假命题的判断，同时考查三角形的外角的性质，多边形的外角和定

理，矩形的性质，三角形内心的性质，掌握以上知识是解题的关键.

9.（2021•宁夏•银川市第十五中学九年级期中）如图，在平行四边形中，用直尺

和圆规作㈤。的平分线AG交BC于点A以点｛为圆心，AB的长为半径画弧交AE＞于点

F.若8尸=12,48=10,则AE的长为（）

A.16B.15C.14D.13

【答案】A

【分析】

连接EF,设交于点0,根据平行四边形的性质和作图可知/2=/3,AF=AB，进

而证明四边形A8即是菱形，根据勾股定理求得A。的长，即可求得AE的长.

【解析】解：如图，连接所，设交于点。，

・四边形ABCO是平行四边形

.\AD//BC

/.Z2=Z3

:.AB=BE

又AB=AF

:.AF=BE

AF//BE

••・四边形是平行四边形

AB=BE

••・四边形AB"是菱形

/.AEA.BF,AO=OE,BO=OF=-BF

2

在MABO中，AB=1（）,BO=-BF=6

2

AO=\lAB2-BO2=VlO2-62=8

.-.AE=2AO=16

故选A

【点拨】本题考查了作角平分线，等角对等边，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判

定，勾股定理，证明/WEF是菱形是解题的关键.

10.（2021•黑龙江•大庆市第六十九中学九年级）如图，在等边△/回中，48=6,点〃，

£分别在边BC,4c上，且劭=圆连接AD,应交于点F,连接CF,则CF的最小值是（）

E

BDC

A.3B.2上C.4D.3网

【答案】B

【分析】

根据三角形全等的判定定理和性质可得：AABD三ABCE,ZBAD=NCBE,利用各角之间的

数量关系可得：ZAFB=120°,作AABF的外接圆，则点尸在圆匕运动，连接破0C,交劣

弧砂于点尸,当点尸与点尸'重合时,CF的长度最小，由切线定理可得OBVBC,ZBCO=30°,

在RtAOBC中，利用三角函数的正切可得08=2白，再根据30。所对直角边是斜边的一半即

可确定OC=46,即可求出）的最小值.

【解析】解:在AABD与ABCE中,

AB=BC

•ZABC=NACB=60°,

BD=CE

.".AABDmABCE,

ZBAD=NCBE,

：.ZABF+ZBAF=ZABF+ZCBE=60°,

ZAF8=120。，

作AABF的外接圆，则点尸的运动轨迹为以。为圆心，如为半径的圆，如图所示，连接以

0C,交劣弧循于点尸，当点尸与点尸'重合时，6F的长度最小，

由切线定理可得：比l与。。相切尸点4

：.OBLBC,ZBCO=30。，

在RtAOBC中，

OB=BCtan30°=2g,

/.OC=2OB=46,

，CF'=OC-OF'=2-j3,

.♦.江'的最小值为26，

故选:B.

【点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的相关性质定理、

正切三角函数等，添加辅助圆作出相应辅助线是解题关键.

11.（2021•陕西碑林•九年级期中）如图，平行四边形/腼的周长为16,AC,切相交于

点。OELAC交AD于E,则4腔•的周长为（）

【答案】C

【分析】

先证明/!£'=&；再求解4必a=8,再利用三角形的周长公式进行计算即可.

【解析】解：•.•平行四边形4&®,

：.AD=BC,AB=CD,OA=OC,

'：E0LAC,

：.AE=EC,

；4小以％办49=16,

：.AJ^DC=8,

△〃四的周长是：CD^DE+CE=AE+DE+CD=AD^CD=8,

故选：C.

【点拨】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明4£=於是解本题关

键.

12.（2021•湖北青山♦九年级期中）如图，四边形48曲内接于。。，AB=AD,ZBCD=\20

°,E、尸分别为比、①上一点，N£4F=30°,EF=3,DF=\.则出的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

延长晒到〃，使阱〃片1,连接力〃，则可证得△力掰9△力〃E从而/I庐/；NBA+/DAF,

易证△力磔△力阳可得小炉3,则可求得然的长.

【解析】延长⑦到凡使附腔1,连接加/,如图

・・,四边形力〃切内接于。。

・•・/力阶N力叱180°

•；NABffi~NABC=180°

:./AB4/ADF

在△457/和△4F中

AB=AD

</ABH=ZADF

BH=DF

:.△ABgXADF

：.AH=AF,NBA4NDAF

,.・N为Z>NMM80°,NBC庐120°

：.ZBAD=\800-/BCIA600

VZ.EAF=3Q°

:・/BAE+NDA片/BAI)~/EAW30°

:・/EAH=/BAE+/BAH=3Q°

在△〃处和△加万中

AH=AD

<NEAH=ZEAF

AE=AE

:.XAH恒XAFE

:・H4E衿3

:・BI^HE—B件R-\二2

故选：B

【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等

三角形的问题的关键与难点.

二、填空题

13.（2021•四川恩阳•九年级期中）点G为AABC的重心，如果AG=6,BG=8,CG=10,

则AABC的面积为.

【答案】72

【分析】

延长布到G',连接CG',使得DG=OG',则再证明aCGG'是直角三

角形即可得解；

【解析】如图所示，延长/G到G',连接CG',使得。G=QG',则△BOG=△C£>G'，

，GG'=BG=8,

・.・DG=-AG=3

2f

JDG=DG'=3,

：.GG'=6,

CG=10,

••.△CGG'是直角二角形，

S&GBC=S&CGG,=-x8x6=24,

S“BC=3SNGBC=72；

故答案是:72.

【点拨】本题主要考查了三角形重心的性质和三角形全等判定与性质，准确计算是解题的关

键.

14.（2021•上海交通大学附属第二中学九年级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积

分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线.已知中，AB

=4C=5,BC=6,点D、〃在边宽上，且BD=2,£1为花1中点，过点〃的优美线交过点£

的优美线于F,那么线段尸的长等于.

【答案】y

【分析】

作AGDC使得GD是X/%一条优美线，过点G作G”_LBC于点H,根据GH_LBC,4E_LBC,

ACGHs4CAE,/XDEF^^DGH,列出比例式，代入数值计算即可.

【解析】如图，△4式中，力片/105,BC=6,

E为EC中点"

AE±BC,BE=EC—；BC=3,SABE=SAEC

AE是A48C的一条优美线

AE=yjAB2-BE2=4

SdA-iA/iDBtC-=-2BCXA£=2-X6X4=12

.劭