2021年高中数学第三章 学案新人教A版选修1-2

第三章数系的扩充与复数的引入

我们知道，在实数范围内，解方程X2+1=O是无能为力的，只有把实数集扩充到复数

集上才能解决，可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事.

16世纪意大利米兰学者卡当（1501〜1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公

布了三次方程的一般解法（“卡当公式”），他把10分成两部分，使它们的乘积等于40,即

（5+、-15）（515）=40,尽管他认为（5+、-15）和（5—7一15）这两个表示式是没有意义

的、想象的、虚无缥缈的.法国数学家笛卡儿（1596〜1650）在《几何学》中使用“虚的数”

与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.但这引起了数学界的一片困惑，很多大数学

家都不承认虚数.然而，真理性的东西一定可以经得住时间的考验，并最终占有一席之地.许

多数学家经过长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200

年的“幽灵”——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚.虚数成为

数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了复数集.

同学们，你想了解复数的初步知识吗？那就让我们步入本章的学习吧！

随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发

展有着极其重要的意义，而且在系统分析、信号分析、量子力学、电工学、应用数学、流体

力学、振动理论、机翼理论等方面得到了广泛应用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的

威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.

3.1救余的步充和复数的机念

3.1.1数系的扩充和复数的概念

自主预习•探新知

V

2018年8月，希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛.一天，张明与王华面

对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话.

张明：海纳百川，心阔容海.海、心孰大？

王华：夸张的手法，不可比较.

张明：那么数"，"可否比较大小？

王华：未必.

同学们，你能准确回答张明的问题吗？

V

新知导学

1.复数的定义：形如“+6i(a、&GR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=

-1.

全体复数构成的集合叫做.复数集一.

2.复数的代数表示：复数通常用字母z表示，BPz=a+hi(a.b^R),这一表示形式叫

做复数的代数形式，。与。分别叫做复数z的一实部_与一虚部一.

3.复数相等的充要条件

设a、b、c、d都是实数，那么a+bi=c+dioa=c且Z?=d__.

4.复数z=a+bi(a、&WR),z=0的充要条件是a=0口一1=0,a=0是z为纯虚数

的必要不充分条件.

5.复数的分类

a=0

(1)复数z=a+bi(a,Z?GR),z为实数06=0,z为虚数z为纯虚数合

b中。

(2)集合表示:

预习自测

1.复数2—3i的虚部是(B)

A.3B.13

C.3iD.-3i

［解析］复数2—3i的虚部为一3,故选B.

2.设机WR,复数z=7??—l)i表示纯虚数，则〃7的值为(B)

A.1B.-1

C.±1D.0

加2—1=0

［解析］由题意得，,m=—\,

加一1W0

3.(2020・浙江，2)已知a£R,若。一1+(〃-2)i(i为虚数单位)是实数，则〃=(C)

A.1B.-1

C.2D.-2

［解析］:。一l+(〃-2)i是实数，

ci―2=0,・.a=2.

-1

4.若(x+2y)i=2r—1,则实数x,＞的值分别为4

［解析］,：(x+2)，)i=2x-l,

f2x-l=0x=2

1

-

4

5.实数k为何值时，复数z=(M—3Z—4)+(R—5%—6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数?

(4)零?

［解析］(1)当斤一5k—6=0,即4=6或k=一1时，z是实数.

(2)当斤一5%—6/0,即上#6且％#—1时，z是虚数.

^-3^-4=0

⑶当好_5-6切'即％=4时，z是纯虚数.

3_34一4=0

{―。‘即QT时，z”

互动探究•攻重难

互动探究解疑

命题方向❶

复数的概念

■典例1判断以下命题是否正确：

(1)复数由实数、虚数、纯虚数构成；

(2)两个复数一定不能比较大小；

(3)复数m+"i中,实部和虚部分别是〃?和"；

(4)在复数a+6i(a,〃GR)中，若则〃+历一定不是纯虚数；

(5)满足/=—1的数x只能是i；

(6)若〃GR,则复数(a+2)i是纯虚数.

［解析］(1)不正确.复数是由实数和虚数构成的，虚数中包含纯虚数.

(2)不正确.复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，它们就可以比较大小.

(3)不正确.对于复数w+”i,由于没有条件um,〃GR"，所以其实部和虚部不一定等

于m和n.

(4)正确.在复数“+庆(a,6GR)中，只要〃W0,不论/>=0还是力WO,它一定不是纯

虚数.

(5)不正确.满足/=—1的数x=±i.

(6)不正确.当。=-2时，复数(a+2)i就是实数0,不是纯虚数，只有当adR且

—2时，(a+2)i才是纯虚数.

II跟踪练习L・

给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z=3/n+2〃i,则其实部

与虚部分别为3机2〃；③在复数z=x+yi(x,yCR)中，若xWO,则复数z一定不是纯虚数；

④若aWR,a^O,则(4+3)i是纯虚数.其中正确的说法的序号是_球.

［解析］①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.

②错，只有当m,时，才能说复数z=3,〃+2"i的实部与虚部分别为3m,2〃.

③正确，复数z=x+yi(x,yGR)为纯虚数的条件是x=0且y/0,只要xr0,则复数z

一定不是纯虚数.

④错，只有当a6R,且“w—3时，（a+3）i才是纯虚数.

命题方向❷

复数的分类

"22-m-6

典例2，〃取何实数时，复数z=”7+3一+（而—2，“-15）i.

（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？

［思路分析］根据复数分类的标准及条件，建立关于实数机的方程或不等式（组），求解

满足的条件.

机2-2m-15=0

［解析］（1）：Z为实数,

加+3W0

m=5或"2=—3

,.\m=5.

mW—3

二当巾=5时，z是实数.

机—22m—15#0

（2）：z为虚数,

"1+3W0

[mW5且"3

Ai,且m#—3.

[〃?W—3

当m^5且mW—3时，z是虚数.

nv一机—6=0

(3)，z为纯虚数，.丁加+3#0,

“2—2加一15H0

m=3或6=—2

.・.<mW—3,・••m=3或m=-2.

且加#—3

/.当m=3或m=-2时，z是纯虚数.

『规律方法』1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先

要保证参数值使虚数表达式有意义，其次要注意复数代数形式的条件，另外对参数值的取舍，

是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的.

2.形如历的数不一定是纯虚数，只有限定条件b£R且bWO时，形如齿的数才是纯

虚数.

II跟踪练习2_・

实数〃?取什么值时，复数（帆2—5%+6）+（加一3帆）i为：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数?

（4）零?

［解析］设z=（n?2—5/w+6）+（zw2—3/w）i.

(1)要使Z为实数，必须有

nr—3m=0,

得m=0或〃?=3,

故m=0或加=3时，z为实数.

(2)要使z为虚数，必须有

〃「一3〃?W0,

得zzzWO且/刀W3,

故加W0且〃?W3时，z为虚数.

［机2—3机#0

(3)要使Z为纯虚数，必须有2「「八

［%/—5m+6=0

机H3且加#0

m=3或〃2=2

/.zn=2,

.•.m=2时，z为纯虚数.

(4)要使z=0,依复数相等的充要条件有

〃彼―5m+6=0［加=2或帆=3

.\m=3.

m2—3m=0'=0或6=3

・・・当〃7=3时，复数Z为零.

命题方向❸

复数相等

I典例3求解下列各题:

(1)若(3x—2y)i=2一戈，求实数x,y的值；

(2)已知(/—b)+4i=6+(a—b)i,求实数。的值.

［思路分析］根据两个复数相等的充要条件，由实部、虚部分别相等，建立关于实数心

y或a,〃的方程组进行求解.

［解析］(l)V(3x-2y)i=2-x,且x,y是实数，

［2—x=0［x=2

出-2y=0［y=3

即x,y的值分别是2和3.

(2)-b)+4i=6+(a—b)i,

a2—b=6

两式相减，得a2—。=2,

a-b=4

.,.4=2或-1,从而b=-2或一5,

即〃=2,Z?=—2或〃=—1,h=-5.

II跟踪练习3—■

已知2%—1+。，+l)i=x—y+(一九一y)i,求实数x、y的值.

［解析］因为x、y为实数，

所以2x—1、y+1、x—y、一元一y均为实数.

{2x-1=x-y\x=3

由复数相等的充要条件，知—，所以.

ly十l=_%_y［y=-2

易混易错警示

准确掌握概念

■典例4在下列命题中，正确命题的个数是(A)

①两个复数不能比较大小；

②若Z1和Z2都是虚数，且它们的虚部相等，则Z1=Z2：

③若“、〃是两个相等的实数，则3—力+(a+6)i是纯虚数.

A.0B.1

C.2D.3

［错解］两个复数不能比较大小，故①正确；

设zi=〃?i(〃?GR),Z2=〃i(〃GR)

•；Z1与Z2的虚部相等，，机=〃，.；1=22，故②正确.

若〃、6是两个相等的实数，则“一6=0,

所以m—%)+3+〃)i是纯虚数，故③正确.

综上可知：①②③都正确，故选D.

［辨析］两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情

况导致错误；而错解②将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代

数形式上，纯虚数为bi(bCR且b/0)虚数为“+加(a,bSR,且6#0).③中要保证

才可能是纯虚数.

［正解］两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的；

设zi=a+5(。、匕WO),Z2=c+di(c、deR且dWO),,:b=d,C.zi—c+b\.

当〃=<:时，z］=Z2，当arc时，zi#Z2，故②是错误的，③当a=b/O时，a-b+(a+

与i是纯虚数，当。=b=0时，a—/?+(a+6)i=0是实数，故③错误，因此选A.

II跟踪练习4一・

实数m取什么值时，复数lg(/«2—2m—2)+(m2+3m+2)i分别是(1)纯虚数？(2)实数？

［解析］⑴复数1g(加2—2〃?-2)+(,”2+3〃?+2)i为纯虚数，

[/H2—2/n-2=1,

则《

[m2+3m+2^0,

Jm=3或m=-l,

万"[m#—2且机W—1,

所以m=3.

即加=3时，lg(/w2—2m—2)+(nr+3tn+2)i为纯虚数.

[小一2〃?一2>0,①

(2)复数lg(/—2〃?-2)+(加2+3加+2)[为实数，贝小？「ic八方

加-十3m+2=0,(2

解得②得m——2或m=-1,

代入①检验知满足不等式，

所以当m——2或m——1时，1g(m2—2〃?-2)+(w2+2>m+2)i为实数.

学科核心素养

根据复数的大小求参数的值

两个复数能比较大小时，这两个复数必为实数，从而这两个复数的虚部为0.

■典例5如果k>gl（〃?+〃）一（加2—3加万2—1,求自然数相，〃的值.

2

［思路分析］由虚数不能比较大小知本题中的logl（帆+〃）一（加一3m）i必为实数，所以

2

）22—3m=0.故原不等式转化为logj_（m+〃）2—1.

2

［解析］*.*logj_（相+〃）一（苏一3/n）i2—1,

2

・•・错误！・,・错误！

•.,加，〃£N,

，机=0,九=1或〃=2.

『规律方法』已知两个复数的大小求参数值时，一般先由复数的虚部为0求得参数的

值，再进一步检验复数的大小关系即可.

3.1.2复数的几何意义

自主预习•探新知

情景引入

大家知道实数的几何模型是数轴上的点，即实数和数轴上的点建立了一一对应关系，那

么复数的几何模型又是怎样的呢？在1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法，

即虚数能用平面内的点来表示.在直角坐标系中，横轴上取对应实部。的点A,纵轴上取对

应虚部6的点8,通过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a+bi,这

样就将复数与平面内的点建立了一一对应关系，至此找到了复数的几何模型——平面内的

点.以后随着对复数的进一步研究，又将复数与平面内的向量建立了一一对应关系，因此复

数就有了另一个几何模型——平面内的向量，并且阐述了复数的几何加法和乘法，从而丰富

了内涵，至此复数理论也就较完整地建立起来了.

新知导学

1.复平面的定义

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做一实轴一，y轴叫做轴

_,实轴上的点都表示实数，除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义

(1)每一个复数都由它的实部和虚部一唯一确定,当把实部和虚部作为一个有序

数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是_一一对

应—关系.

(2)若复数z=〃+/;i(a、/?GR),则其对应的点的坐标是(。，b),不是(a,bi).

(3)复数与复平面内一以原点为始点一的向量也可以建立一一对应关系.

如图，在复平面内，复数z=a+bi(a、6GR)可以用点

Z(a,6)或向量应表示.

复数z=a+%i(a、hdR)与点Z(a,切和向量OZ的——对应关系如下:

复数z=a+bi(a,b€R)

平面向量该

3.复数的模

复数z=a+5(纵6CR)对应的向量为ON,则。彳的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|

=__-\/a2+/?2.

当b=0时，z的模就是实数〃的绝对值.

4.复数模的几何意义

复数模的几何意义就是复数z^a+bi所对应的点Z（m6）到原点（0,0）的一距离_.

由向量的几何意义知，|Z|-Z2|表示在复平面内复数zi与z,对应的两点之间的距离

预习自测

1.复数z=一疝在复平面内对应的点Z的坐标为（A）

A.（0,一无）B.（一兀，0）

C.（0,0）D.（一兀，一兀）

［解析］复数z=ni的实部为0,虚部为一无，故在复平面内对应的点Z的坐标为（0,一兀）,

故选A.

2.复数z=-l—2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（C）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［解析］z=-1—2i对应点Z（—1,-2）,位于第三象限.

3.已知平行四边形OABC中，O,A,C三点对应的复数分别为0,l+2i,3—2i,则向量

施的模|B|=（D）

A.小B.2y［5

C.4D.V13

［解析］由于OABC是平行四边形，所以赢=次7,因此|而=|沆|=|3-2i|=MT5.

4.已知复数z=（n?—3）+（%—l）i的模等于2,则实数m的值为（A）

A.1或3B.1

C.3D.2

［解析］依题意可得♦（•-3）2+（加-1）2=2,解得"2=1或3.

5.求复数zi=3+4i及Z2=一义一gi的模，并比较它们的模的大小.

［解析］忆1|=小可^=5,

V5>|,.'.|zi|>|z2|.

互动探究•攻重难

互动探究解疑

命题方向❶

复数的几何意义

»■■典例1在复平面内，若复数z=（加2+2〃?-8）+（〃?一3〃?+2）i对应的点分别满

足下列要求，试求复数z：

（1）在虚轴上（不包括原点）；（2）在实轴负半轴上；（3）在第一、三象限的角平分线上.

［思路分析］把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件，求出参数，〃的值，即得

复数z.

［解析］（1）若复数z对应的点在虚轴上（不包括原点），则〃尸+2〃?-8=0且m2—3m+

2W0,

.♦.m=一4,此时z=30i.

（2）若复数z对应的点在实轴负半轴上，则

;n2+2/n—8<0,

.苏一3〃?+2=0,

解得〃?=1,此时z=-5.

（3）若复数z对应的点在第一、三象限的角平分线上，即在直线y=x上，即评一3加+2

=〃P+2m-8,

此时z=0.

『规律方法』1.复数的几何意义包含两种：

（1）复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、

虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.

（2）复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确

定，从而可与该终点对应的复数建立——对应关系，借助平面向量的有关知识，能更好地理

解复数的相关知识.

2.有关复数在复平面内的对应点位置（在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线

上等）的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式（组）求解.

II跟踪练习・

在复平面内，复数6+5i,—2+3i对应的点分别为A,8.若C为线段A2的中点，则点

C对应的复数是（C）

A.4+8iB.8+2i

C.2+4iD.4+i

［解析］由题意知A(6,5),B(—2,3),；.C(2,4),...点C对应的复数为2+4i,故选C.

命题方向❷

复数与复平面内向量的对应

例2在复平面上，点A,B,C对应的复数分别为l+4i,—3i,2,。为复平

面的坐标原点.

(1)求向量万1+五，病对应的复数；

(2)求平行四边形ABCD的顶点。对应的复数.

［思路分析］根据复数与点、复数与向量的对应关系求解.

［解析］(1)由已知得殖，0B,沆所对应的复数分别为l+4i,-3i,2,

于是后=(1,4),OB=(0,-3),沆=(2,0),

因此宓+加=(1,1),AC=OC-OA=(1,-4),

故—十初对应的复数为1+i,启对应的复数为1-4i.

3

(2)由已知得点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,一3),(2,0),则AC的中点为伤，2),

(O+XQ3

3I2=■

由平行四边形的性质知BD的中点也是(5,2),若设yo),则有＜_,解得

2-3+yo

I2-2,

xo=3,

r故既3,7).

尻=7,

『规律方法』1.若复数2="+从(“，匕GR),则复数z在复平面内对应的向量花=伍,

b).

2.复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得.

3.一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可

能改变.

II跟踪练习2一・

ABC。是复平面内的平行四边形，A,B,C三点对应的复数分别是l+3i,-i,2+i.

(1)求点。对应的复数；

(2)求AABC的边BC上的高.

［解析］(1)复平面内A,B,C对应点的坐标分别为(1,3),(0,-1),(2,1),

设点。的坐标为(x,y),

由屐)=跆，得＞-3)=(2,2),

/.X—1=2,y—3=2,解得x=3,y=5,

故点0(3,5),其对应的复数为3+5i.

(2)VB(0,-1),C(2,l),

•*.BC的直线方程为x一y1=0,

点A到BC的直线距离公口宝忆亭,

故BC边上的高为邛^.

命题方向❸

复数模的计算

■典例3已知复数z满足z+|z|=2+8i,求复数z.

［思路分析］设2=。+历(小人CR),代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出小

b.

［解析］解法一：设z="+bi(a、bGR),则|才="层+82,

代入方程得a+hi+yla2+b2=2-［-^i,

［a+\la2+b2=2,=-15

,解得..\z=-15+8i.

18=8［%=8

解法二：原式可化为z=2一|z|+8i,

：|zgR,；.2一|z|是z的实部，于是团=寸(2—|才)2+82,

即|ZF=68—4|z|+|z|2,.-.|z|=17.

代入z=2一|z|+8i得z=-15+8i.

『规律方法』计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行

计算.两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.

II跟踪练习3_・

下列各复数的模不是1的为(D)

易混易错警示

混淆复数的模与实数的绝对值致误

■典例4已知复数Z满足|z|2—2|Z|-3=0,则复数z对应点的轨迹是(A)

A.1个圆B.线段

C.2个点D.2个圆

［错解］由题意可知(|z|-3)(|z|+l)=0,即团=3或忆|=一1,故选D.

［辨析］错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误.

［正解］由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,

即|z|=3或|z|=一1.

...|z|=-l应舍去，故应选A.

［点评］由复数模的定义和复数的几何意义知，|z|表示z在复平面内的对应点到原点的

年颗因此|z|》0.z=i时，但团¥一1,不要作错误的迁移.

学科核心素养

利用复数的几何意义解题

我们知道，在实数集中，实数«的绝对值，即同是表示实数。的点与原点0间的距离.那

么在复数集中，类似地，|z|是表示复数z的点到坐标原点间的距离，也就是向量々的模，|z|

=|用.运用此性质，可以解决有关问题.

■典例5已知复数z=3+“i,且|z|<4,求实数a的取值范围.

［思路分析］由题目可获取以下主要信息：

①已知复数及其模的范围；

②求复数虚部的取值范围.

解答本题可利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解.

［解析］解法一：：z=3+ai(aeR),

：.\z\—y］32+cr,

由已知得32+/V42,二/<7,(—巾，巾).

解法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，

以4为半径的圆内(不包括边界)，

由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合，由

32+>2=42得

，A（3,币），8（3,一币）.由图可知：S<a<®

『规律方法』解决复数问题的主要思想方法有：（1）转化思想：复数问题实数化；（2）

数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；（3）整体化思想：利用复数的特征整体

处理.

3.2复数代数形式的四则运算

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

自主预习•探新知

情景引入

加法是一种累积，使人从小到大，从弱到强，从单纯走向复杂；减法是一种删节，在经

过一定的积累以后，删去多余的枝枝叶叶，以化解心灵的重负；乘法是一种跨越，是实现人

生跨越的秘诀；除法是一种卸载，一切不道德的尘埃，必须依靠理性来及时卸载，以剔除心

灵的稗种.这就是人生的四则运算.

复数作为数系大家庭的一员，它的四则运算又是怎样的呢？

新知导学

复数的加、减法法则及几何意义与运算律

Zi、Zi、Z3《C,设应1、应分别与复数zi=a+bi,Z2=c+di（a.b、c、”CR）相对应，且应卜

无不共线

加法减法

运算Z\+Z2Z]—Z2

法则=(a+c)+(b+d)\=(a-c)+(b—d)\

w

几何

意义

复数的差Z1—Z2与向量历|一

复数的和21+22与向量021+。22=。2的坐标

对应晶2=ZZ的坐标对应

运算律交换律Z|+Z2=Z2+_Z1—

结合律(Z1+Z2)+Z3=Z］+(Zg+z3_)

预习自测

1.已知复数zi=3+4i,Z2=3—4i,则zi+z2=(B)

A.8iB.6

C.6+8iD.6-8i

［解析］zi+z2=3+4i+3—4i=(3+3)+(4—4)i=6.

2.复数(1+i)~~(2—i)—3i等于(A)

A.-1-iB.1-i

C.iD.-i

［解析］(l+i)-(2-i)—3i=(l-2)+(i+i—3i)=-l-i.故选A.

3.(2020,全国卷I文,2)若z=l+2i+i3,则|z|=(C)

A.0B.1

C，V2D.2

［解析］；z=l+2i+i3=l+2i-i=l+i,

.,.|Z|=^/12+12=V2.

4.若复数Z|=-2+i,Z2=l+2i,则复数ZLZ2在复平面内对应点所在的象限是(C)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［解析］ZI—Z2=(—2+i)—(l+2i)=(—2—l)+(i—2i)=—3—i,故z1一Z2对应点的坐标

为(-3,一1)在第三象限.

5.若复数zi=2+i,Z2=3+ai(adR),zi+z2所对应的点在实轴上，则〃=一一L.

［解析］zi+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(tz+l)i,「Z1+Z2所对应的点在实轴上，・・・a+l=0,

*.a=-1.

6.计算：(l)(2+4i)+(—5+i)；

(2)(2/i-8)+(l-V2i).

［解析］(l)(2+4i)+(—5+i)=(2—5)+(4+l)ii=-3+5i・

(2)(2吸i-8)+(1—6i)=(-8+2小i)+(l-_^/2i)=(-8+1(2y［2—y［2］i=-7+A/2

互动探究•攻重难

互动探究解疑

命题方向❶

复数代数形式的加减运算

■典例1计算下列各题：

(1)(也—4)+(一6+乎i)+1；

(3)(5—6i)+(—2—2i)—(3+3i).

［思路分析］解答本题可根据复数加减运算的法则进行.

［解析］(1)原式=(6一啦)+(—巾+坐)i+1=1一半.

(2)原式=(-、+%+(—＞，+l)i=，+:i.

(3)原式=(5—2—3)+［-6+(-2)-3］i=-lIi.

『规律方法』复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.

II跟踪练习［_■

计算：(l)(l+2i)+(3-4i)-(5+6i)；

(2)5i-［(3+4i)-(-l+3i)］；

(3)(a+bi)—(2a—3bi)—3i(a,6CR).

［解析］(l)(l+2i)+(3—4i)-(5+6i)=(4-2i)—(5+6i)=-l-8i.

(2)5i—［(3+4i)-(—l+3i)］=5i-(4+i)=-4+4i.

OXa+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+［b-［-3b)-3］i=-a+(4b~3)i.

命题方向❷

复数加、减法运算的几何意义

■典例2已知复平面内的平行四边形0A8C的三个顶点0、A、C对应的复数分

别为0、3+2i、-2+4i,试求：

(1)命对应的复数；

(2)以对应的复数；

(3)8点对应的复数.

［解析］(1)公=一亦，则43对应的复数为一(3+2i),即一3一2i.

(2)CA=OA-OC,所以以对应的复数为(3+2i)一(-2+4i)=5-2i.

(3)^=0A+AB=dA+0C,所以而对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=l+6i,

即B点对应的复数为l+6i.

『规律方法』1.对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与复数的模有关的问题可将

复数与复平面内以原点为起点的向量加以转化，利用几何意义给予几何解释，数形结合解决.

2.若几何图形的变换可以坐标化，可利用向量、点与复数的关系转化为数的运算处理.

例如关系式|zi+Z2|=|zi—Z2|的几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形04cB

为矩形.

II跟踪练习2一■

设向量应।及应在复平面内分别与复数zi=5+3i及复数Z2=4+i对应，试计算zi—Z2,

并在复平面内表示出来.

［解析］zi-z2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-l)i=l+2i.

如下图所示，ZN即为ZI-Z2所对应的向量.

根据复数减法的几何意义：复数Z1一Z2是连接向量无I,血的终点，并指向被减数的

向量ZZ所对应的复数.

命题方向❸

复数加减法的综合问题

■典例3已知|Z1|=|Z2|=|Z|—Z2|=l,求|Z1+Z2|.

［思路分析］设出Z］、Z2,将复数问题转化为实数问题或利用复数运算的几何意义求解.

［解析］解法一：设zi=a+6i,Z2=c+M(a、b、c、R),

*.*|Z1|=|Z2|=|Z1-Z21=1,

.*•a2+b2=c2+d2=1,①

(a-c)2+(b~d)2=l,②

由①@得2ac+2M=1.

/.|zi+Z2I=d(a+c)2+(A+rf)2

=y］a2+c2+h2+d2+2ac+2bd=y［3.

解法二：作出ZI、Z2对应的向量龙：1、dll,

则Z1—Z2对应Z2Z1,

：|Z1|=|Z2|=1,若应1、应2共线,

则|zi-Z2|=|叁|=2或0,与已知矛盾.

二应|与应2不共线.

又|Z]|=|Z2|=|Z1—Z2),

...△OZ|Z2为等边三角形.

...NZ|OZ2=60°,

设ZI+Z2对应向量应,则NOZiZ=120。,

...在△OZiZz中，由余弦定理得：

|OZ|=^12+12-2X1X1XCOS1200

『规律方法』1.设出复数z=x+yi(x,yCR),利用复数相等或模的概念，可把条件转

化为x、y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化思想”的应用.

2.在复平面内，zi,Z2对应的点为A、B,zi+z2对应的点为C,。为坐标原点，则四

边形OACB:

(1)为平行四边形；(2)若|zi+z2|=|z|-Z2|,则四边形OACB为矩形；(3)若|zi|=|zd,则四

边形。4cB为菱形：(4)若⑵|=0|且|zi+z2|=|zi-Z2|,则四边形OACB为正方形.

II跟踪练习3一■

设Zl、Z2《c,已知|Z1|=|Z2|=1,|ZI+Z2|=6,求|ZLZ2］.

［解析］解法一：设zi=a+6i,Z2=c+di(a,b、c、JGR).

由题意，知/+/=1,/+/=1.

(a+c')2+(b+d)2=2,：.2ac+2bd=0.

\z\—zJr—(a—c)2+(b—d)2

=<72+c2+/>2+J2—2ac—2M=2.

/.|zi—Z2|=A/2.

解法二：设复数Z|,Z2,Z1+Z2分别对应向量无I、无2、OZ,

|Z1I=|Z2|=11|Z1+Z2|—"\/2,

平行四边形OZ|ZZ2为正方形.

，|Z|一Z2|=|爱1|=|西=也.

V

V

易混易错警示

考虑问题要全面

■典例4已知：复平面上的四个点4、B、C、力构成平行四边形，顶点4、B、

C对应于复数一5一2i、-4+5i、2,求点。对应的复数.

［错解］'：BA=CD,

•»ZA-ZB=ZD-ZCf

,ZD=ZA-ZB+ZC

=(-5-2i)-(-4+5i)+2=l-7i.

即点。对应的复数为l-7i.

［辨析］四个点A、B、C、力构成平行四边形，并不仅有。4BC。一种情况，应该还有

口A8OC和。4CB力两种情况.如图所示.

［正解］用错解可求。对应的复数为l—7i,用相同的方法可求得另两种情况下点。对

应的复数z.

图①中点。对应的复数为3+7i,

图②中点。对应的复数为-11+3i.

故点。对应的复数为l-7i或3+7i或一ll+3i.

V

V

V

学科核心素养

复数的模的取值范围问题

■典例5设》6［0,2兀)，复数zi=cosx+isinx对应的点在第一象限中直线y=x的

左上方，Z2=l—i,则|Z|+Z2|的取值范围是」

［思路分析］第一步，审题.

一审条件，挖掘题目信息，由苫e［0,2兀)，复数zi的对应点位于第一象限且在直线y=x

的左上方可求得X的取值范围；由Z|与Z2的代数形式及复数加法运算法则可求出ZI+Z2.

二审结论，明确解题方向，求|Z|+Z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化

为求三角函数值域，要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是［0,2兀).

第二步，建立联系，确定解题步骤.

由条件与结论之间的关系，确定本题解题步骤：先求X的取值范围，再将|Z|+Z2|表示为

X的三角函数，然后化为一角一函形式，利用三角函数的值域求|Z|+Z2|的取值范围.

第三步，规范解答.

［解析］由已知得zi+z2=(cosx+l)+(sinr—l)i,

22

所以|zi+z2|=^(cosx+l)+(sin.r-l)

=-ycos2jf+2cosx+1+sin2JC—2sinx+1

="\/2(cosx-sinx)+3=J2吸cos(x+，)+3.

因为复数z〕=cosx+isinx对应点在第一象限中直线y=x的左上方，且刀右［0,2兀)，

cos^>0

所以jsinx>0,解得*xV全

.siar>cosx

所以六x+上季

故cos（xT$£（一乎，0）,

所以#cos（x+；）+3£（l,小）,

故|ZI+Z2|£（1,y/3）.

3.2.2复数代数形式的乘除运算

自主预习•探新知

情景引入

根据复数的几何意义和平面向量在坐标表示下的加(减)法运算，我们很容易规定了复

数的加(减)法规则，因为实数是复数的一部分，且实数有其乘法运算，因此我们有理由且应

当规定复数集内的乘法运算，使实数的乘法作为复数乘法的一种特殊情况，考虑到复数的代

数标准形式及i2=-l,并联系多项式的乘法法则，就可建立复数的代数乘法规则.

新知导学

1.复数代数形式的乘法法则

设z