第01讲 数列的基本知识与概念（六大题型）（讲义）（含答案解析）

第01讲数列的基本知识与概念目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：数列的概念 4知识点2：数列的分类 4知识点3：数列的两种常用的表示方法 5解题方法总结 6题型一：数列的周期性 6题型二：数列的单调性 9题型三：数列的最大（小）项 13题型四：数列中的规律问题 17题型五：数列的恒成立问题 21题型六：递推数列问题 2404真题练习·命题洞见 2705课本典例·高考素材 3506易错分析·答题模板 38易错点：对数列的概念理解不准 38答题模板：数列单调性的判断与应用 39考点要求考题统计考情分析（1）数列的概念（2）数列的分类（3）数列的性质2023年北京卷第10题，4分2022年乙卷（理）第4题，5分2021年北京卷第10题，4分2020年浙江卷第11题，4分高考对数列概念的考查相对较少，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是数列与函数结合考查单调性、周期性、最值性.复习目标：（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识点1：数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．【诊断自测】下列说法中，正确的是（

）A．数列可表示为集合B．数列与数列是相同的数列C．数列的第项为D．数列可记为【答案】C【解析】对于A，由数列的定义易知A错误；对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；对于C，数列的第项为，故C正确；对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误.故选：C.知识点2：数列的分类（1）按照项数分：有限和无限（2）按单调性来分：【诊断自测】已知函数，设，则下列说法中错误的是（

）A．是无穷数列 B．是递增数列C．不是常数列 D．中有最大项【答案】D【解析】对于A，显然是无穷数列，故A正确；对于B，因为，即，即是递增数列，故B正确；对于C，因为，，，故不是常数列，故C正确；对于D，由B知，是递增数列，当趋近于无穷大时，也趋近于无穷大，所以中无最大项，故D错误.故选：D知识点3：数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【诊断自测】，数列1，，7，，31，的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于选项A：因为，故A错误；对于选项B：因为，故B错误；对于选项C：因为，故C错误；对于选项D：检验可知对均成立，故D正确；故选：D.解题方法总结（1）若数列的前项和为，通项公式为，则注意：根据求时，不要忽视对的验证．（2）在数列中，若最大，则若最小，则题型一：数列的周期性【典例1-1】在数列中，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为且，所以，，，，，，所以是以为周期的周期数列，所以.故选：C【典例1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）在数列中，，若对，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由与相减得：，即，又，故，所以.故选：A.【方法技巧】解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．【变式1-1】（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】报出的数字依次是，除了首项以外是个周期为6的周期数列.去掉首项后的新数列第一项为2，因为，所以原数列第2024个被报出的数应该为2.故选：A.【变式1-2】（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，得，，，，，，则是以6为周期的周期数列，所以.故选：C【变式1-3】（2024·辽宁·模拟预测）数列中，，，，则的值为（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】因为，，，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知数列是以6为周期的周期数列，所以.故选：A.【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，数列的首项为1，且满足．若，则数列的前2023项和为（

）A．0 B．1 C．675 D．2023【答案】B【解析】因为函数，则，所以函数在上单调递增，且是奇函数．，，，，，即，数列的前2023项和为．故选：B．题型二：数列的单调性【典例2-1】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】为递增数列时，有，不能得到为递增数列，充分性不成立；为递增数列时，不一定有，即不能得到为递增数列，必要性不成立.所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D.【典例2-2】（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，则“”是是递增数列的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，则，所以，即，所以是递增数列，故充分性成立；当时，则，所以是递增数列，所以当数列是递增数列，可以大于，所以必要性不成立，所以“”是是递增数列的充分不必要条件.故选：B【方法技巧】解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列作商比较法根据与1的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图象直观判断【变式2-1】（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得恒成立，即，即，又，，故.故选：A.【变式2-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）等差数列中，其前n项和为，则“”是“为递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列的公差为，由，可得，所以，即，所以为递减数列，所以“”是“为递减数列”的充分条件，若为递减数列，则，所以，所以，所以“”是“为递减数列”的必要条件，所以“”是“为递减数列”的充分必要条件，故选：C.【变式2-3】数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，则，两式相减得，因为数列是递增数列，所以当时，，解得.当时，，所以，解得.综上.故选：B.【变式2-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列的通项公式为，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】二次函数图象的开口向上，对称轴是直线，且在定义域内单调递增，当时，单调递减，单调递减；当时，单调递增，单调递增；因为中的自变量为正整数，且，则，解得，显然是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【变式2-5】已知数列满足：，（，），数列是递增数列，则实数的可能取值为（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】因为，，且为递增数列，所以，即，解得，结合选项可知符合题意，故选：C.【变式2-6】（2024·浙江宁波·二模）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为对任意都有，所以数列在上是递减数列，因为对任意都有，所以数列在上是递增数列，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.【变式2-7】（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，由于，即，可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，因为数列是递增数列，可得，即对任意的正整数都成立．当为偶数时，恒成立，由于数列单调递减，可得，则；当为奇数时，恒成立，由于数列单调递增，可得，则；综上可得的取值范围是．故选：B．题型三：数列的最大（小）项【典例3-1】已知，则数列的偶数项中最大项为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】数列中，，则，令，解得，则当时，，即，同理当时，，即，而当时，，所以数列的偶数项中最大项为.故选：D【典例3-2】（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为.【答案】【解析】令，得，令，得，所以当时，，当时，，而函数在上单调递减，所以当时，取得最小值，即数列的最小项的值为.故答案为：.【方法技巧】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．（3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为．【变式3-1】（2024·北京西城·一模）在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为，的最小值为.【答案】【解析】由题意，又等差数列的公差为1，所以；故，所以当时，，当时，，所以，显然的最小值是.又，所以，即的最小值是.故答案为：，【变式3-2】（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式（），则的最小值为．【答案】/【解析】由于当为奇数时，，当为偶数时，，要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可，又，且当时，，因此时，，当，，当，，综上，最小值为.故答案为：【变式3-3】数列的通项，则数列中的最大项的值为.【答案】【解析】因为，则，则，令，即，因为，解得，所以，令，解得，所以，故数列中的最大项为，其值为.故答案为：.【变式3-4】设是的展开式中x项的系数（），若，则的最大值是.【答案】【解析】，因为在是减函数，在是增函数，且，时，，所以时，，所以，所以的最小值是.故答案为：【变式3-5】已知，则数列的最小值为.【答案】【解析】，令，由对勾函数的性质得：当时递减，时递增，当时，有最小值，最小值为.故答案为：【变式3-6】在数列中，，，则数列的最大项的值是．【答案】4【解析】根据以及，可知，所以①，则②，由②①得，即，因为，所以与同号，又因为，且，所以，所以数列为单调递减数列，所以因此数列的最大项是，其值是4．故答案为：4.题型四：数列中的规律问题【典例4-1】（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（TowerofHanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具.如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子，A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（

）A． B．为等差数列C．为等比数列 D．【答案】C【解析】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：若有2个圆盘，则移动情况为：，需移动3次；若有3个圆盘，则移动情况如下：，共7次，故，A错误；由此可知若有n个圆盘，设至少移动次，则,所以，而，故为等比数列，故即，该式不是n的一次函数，则不为等差数列，B错误；又，则，，则为等比数列，C正确，，D错误，故选：C【典例4-2】（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（

）A．366 B．422 C．450 D．600【答案】C【解析】由题意，大衍数列的偶数项为，可得该数列的偶数项的通项公式为，所以此数列的第30项为.故选：C.【方法技巧】特殊值法、列举法找规律【变式4-1】（2024·陕西西安·三模）定义，，，，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，把排列成如下数阵：第n行有n个数对，各个数对的两数和为，每个数对的第一个数从左起依次为1，2，3，…，n，则前n行共有个数对，显然数列单调递增，而，所以是第64行第一个数对，即.故选：D【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（

）A．145 B．181 C．221 D．265【答案】C【解析】因为，所以．在给定的勾股弦数组序列中，，所以．易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为，所以，故“弦”的通项公式为．所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于．故选：C．【变式4-3】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（

）A．12 B．13 C．40 D．121【答案】C【解析】设题图②中第行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，依题意可得，且有，所以是以为首项，3为公比的等比数列，①；又，，故有，∴为常数数列，且，所以是以为首项，1为公比的等比数列，②；由①②相加减得：，；所以．故选：C．【变式4-4】（2024·云南保山·二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（

）

A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，...，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，可得当，所有项的个数和为55，第56项为12，故选：B.题型五：数列的恒成立问题【典例5-1】已知数列的前n项和且，若恒成立，则的最小值为．【答案】2【解析】由，，则当时，，整理得，即，∴，显然对于也成立，∴的通项公式，所以，∴又因为恒成立，所以，所以的最小值为.故答案为：.【典例5-2】记分别为数列前n项和，已知是公差为的等差数列．若恒成立，则的最小值为．【答案】3【解析】∵，∴，∴，又∵是公差为的等差数列，∴，所以，即当时，，∴，整理得：，即，∴，显然对于也成立，∴，∴．所以，即的最小值为．故答案为：3.【方法技巧】分离参数，转化为最值问题．【变式5-1】已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的正整数恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】根据，当时，;当时，，两式相减可得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，则可变为，即，令，则，且，，，即实数的取值范围是.故答案为：.【变式5-2】（2024·高三·重庆·期中）已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是.【答案】【解析】由可得，又因为，所以，即数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列，所以，对任意正整数都有，则，即，设，则，当时，，当时，，即，所以，所以故答案为：.【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若对恒成立，则的取值范围为.【答案】【解析】法一：由，得，两式相减得，则数列，都是以2为公差的单调递增数列.要使对恒成立，只需，而，，则，解得.法二：由，得，两式相减得，又，则，，要使对恒成立，即，即，解得.故答案为：.题型六：递推数列问题【典例6-1】（2024·天津·二模）在数列中，若（），则的值为（

）A．1 B．3 C．9 D．27【答案】D【解析】当时，，当时，，所以，当时，，所以.故选：D.【典例6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（

）A．511 B．677 C．1021 D．2037【答案】B【解析】.故选：B.【方法技巧】列举法【变式6-1】（2024·贵州遵义·一模）数列满足，对任意正整数p，q都有，则（

）A．4 B． C．6 D．【答案】B【解析】由，得，令，依题意，对任意正整数p，q都有，令，则，，而，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，，即，，所以.故选：B【变式6-2】（2024·广东汕头·三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（

）A．464 B．465 C．466 D．467【答案】B【解析】设三角垛第层小球的个数为.由题意可知，，，，，所以，当时，有.所以，，，，，，两边同时相加可得，，所以，.当时，，满足题意.所以，.所以，.故选：B.【变式6-3】图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（

）

A．；n B．；C．；n D．；【答案】D【解析】第一代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为2，第二代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为3，第三代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为4，…第n代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为，故选：D【变式6-4】某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．(1)写出前五排座位数．(2)第排与第排座位数有何关系？(3)第排座位数与第排座位数能用等式表示吗？【解析】（1）由题意可知，后一排都比前一排多2个座位，所以前五排座位分别为：20，22，24，26，28；（2）由题意可知，后一排都比前一排多2个座位，故第排与第排座位数的关系为：第排比第排多两个座位；（3）由（2）可知，能用等式表示第排座位数与第排座位数的关系，即.【变式6-5】观察下面的图形及相应的点数，回答(1)写出图中点数构成的数列的一个递推公式；并根据这个递推公式，求出数列的通项公式；(2)若是数列的前项和，证明：.【解析】（1）由题可得，，，，可得，，，…，所以数列的递推公式为，，；，所以数列的通项公式为，.（2）由（1）知，，，，，所以.1．（2023年北京高考数学真题）已知数列满足，则（

）A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立【答案】B【解析】法1：因为，故，对于A，若，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立，由数学归纳法可得成立.而，，，故，故，故为减数列，注意故，结合，所以，故，故，若存在常数，使得恒成立，则，故，故，故恒成立仅对部分成立，故A不成立.对于B，若可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立即由数学归纳法可得成立.而，，，故，故，故为增数列，若，则恒成立，故B正确.对于C，当时，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立即由数学归纳法可得成立.而，故，故为减数列，又，结合可得：，所以，若，若存在常数，使得恒成立，则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.对于D，当时，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立由数学归纳法可得成立.而，故，故为增数列，又，结合可得：，所以，若存在常数，使得恒成立，则，故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.故选：B.法2：因为，令，则，令，得或；令，得；所以在和上单调递增，在上单调递减，令，则，即，解得或或，注意到，，所以结合的单调性可知在和上，在和上，对于A，因为，则，当时，，，则，假设当时，，当时，，则，综上：，即，因为在上，所以，则为递减数列，因为，令，则，因为开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，故，所以在上单调递增，故，故，即，假设存在常数，使得恒成立，取，其中，且，因为，所以，上式相加得，，则，与恒成立矛盾，故A错误；对于B，因为，当时，，，假设当时，，当时，因为，所以，则，所以，又当时，，即，假设当时，，当时，因为，所以，则，所以，综上：，因为在上，所以，所以为递增数列，此时，取，满足题意，故B正确；对于C，因为，则，注意到当时，，，猜想当时，，当与时，与满足，假设当时，，当时，所以，综上：，易知，则，故，所以，因为在上，所以，则为递减数列，假设存在常数，使得恒成立，记，取，其中，则，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C错误；对于D，因为，当时，，则，假设当时，，当时，，则，综上：，因为在上，所以，所以为递增数列，因为，令，则，因为开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，故，所以，故，即，假设存在常数，使得恒成立，取，其中，且，因为，所以，上式相加得，，则，与恒成立矛盾，故D错误.故选：B.2．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】[方法一]:常规解法因为，所以，，得到，同理，可得，又因为，故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.[方法二]：特值法不妨设则故D正确.4．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；

②为等比数列；③为递减数列；

④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【解析】由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，②错；当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；假设对任意的，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.1．根据下列条件，写出数列的前5项：（1），；（2），.【解析】（1）因为，，所以，，，，故数列的前5项分别为1，3，7，15，31.（2）因为，所以，，，，故数列的前5项分别为3，3，3，3，3.2．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.【解析】，，，.猜想.3．写出下列数列的前项，并绘出它们的图像：（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；（2）欧拉函数的函数值按自变量从小到大的