专题13 数列（4大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版

第第④2、几种数列求和的常用方法（1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．（5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．【数列常用结论】1、数列的递推公式（1）若数列的前项和为，通项公式为，则注意：根据求时，不要忽视对的验证．（2）在数列中，若最大，则若最小，则2、等差数列（1）等差数列中，若，则．（2）等差数列中，若，则．（3）等差数列中，若，则．（4）若与为等差数列，且前项和为与，则．3、等比数列（1）若，则．（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为．（4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．（5）为等比数列，若，则成等比数列．（6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．（8）若为正项等比数列，则为等差数列．（9）若为等差数列，则为等比数列．（10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．4、数列求和（1）裂项技巧①等差型（1）（2）（3）②根式型（1）（2）（3）③指数型（1）一、单选题1．（2024·江西九江·三模）已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据等比中项的定义得出；再根据等差数列的通项公式得出，化简即可解答.【详解】因为是与的等比中项，所以.又因为数列为等差数列，公差为，所以，化简得，即，所以.故选：A.2．（2024·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】由数列的递推式，分别令，结合等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案．【详解】设等差数列公差为，∵，∴当时，，解得，∴，当时，，∴，∴．故选：D．3．（2024·天津北辰·三模）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（

）A．60 B．54 C．42 D．36【答案】C【分析】首先根据等比数列的性质计算出，然后得出等差数列的，最后再根据等差数列求和公式即可求解.【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，，所以.故选：C4．（2024·新疆喀什·三模）已知等差数列满足，记的前项和为，则（

）A．18 B．24 C．27 D．45【答案】D【分析】根据等差中项可得，即可由等差数列求和公式求解.【详解】由可得，所以，故选：D5．（2024·陕西西安·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】根据题意结合等比数列性质求得，，即可得结果.【详解】设等比数列的公比为q，可得，则，所以．故选：B.6．（2024·广东汕头·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项及公差，再结合前项和及通项公式求解即得.【详解】由，，得，解得，则等差数列的公差，于是，由，得，所以.故选：B7．（2024·浙江·三模）已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据题意，分和两种情况讨论，结合等差数列的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】当时，，得；当时，，得，所以“”是“”的充要条件，故选：C．8．（2023·天津和平·三模）已知数列满足，，是数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，可得数列是以2为公比的等比数列，从而可求出，进而可求出.【详解】因为，所以，由于，则，所以，所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，所以，所以，所以，故选：D9．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（

）A．2290 B．2540 C．2650 D．2870【答案】D【分析】由题意总结规律得，再利用累加法求得的通项公式，然后再进分组求和，建立一个关于的方程，解方程可得.【详解】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，记第n层球的个数为，则，得，其中也适合上式，则，在第n堆中，，当时，，解得.故选：D.10．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得.【详解】因为，所以，，且，所以，记，则，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，，记的前n项和为，则.故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求的前50项和.11．（2024·浙江绍兴·三模）设，已知，若恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，推出，得到答案.【详解】由题意得，故，故，故，由于，故.故选：C【点睛】关键点点睛：二、多选题12．（2024·江西·三模）已知数列满足，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是等差数列C．数列的前项和为 D．能被3整除【答案】BCD【分析】利用构造法得到数列是等比数列，从而求得通项，就可以判断选项，对于数列求和，可以用分组求和法，等比数列公式求和完成，对于幂的整除性问题可以转化为用二项式定理展开后，再加以证明.【详解】由可得：，所以数列是等比数列，即，则显然有，所以不成等比数列，故选项A是错误的；由数列是等比数列可得：，即，故选项B是正确的；由可得：前项和，故选项C是正确的；由，故选项D是正确的；方法二：由，1024除以3余数是1，所以除以3的余数还是1，从而可得能补3整除，故选项D是正确的；故选：BCD．13．（2024·湖南益阳·三模）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（

）A．若是正项数列，则是单调递增数列B．一定是等比数列C．若存在，使对都成立，则是等差数列D．若，且，，则时取最小值【答案】ACD【分析】对于A，由题意易得，，可判断结论；对于B，在时，通过取反例即可排除B；对于C，分析时数列的特征即可判断；对于D，先求出的表示式，通过作商分析的大小关系即得.【详解】对于A，设数列的公比为，由可得，，因，则得，解得或，因是正项数列，故，，故是单调递增数列，即A正确；对于B，由上分析知，或，当时，，此时，若为偶数，则都是0，故不符合，即B错误；对于C，若，则是递增数列，此时不存在，使对都成立；若时，易得，故存在，使得对都成立，此时为常数列，故是公差为0的等差数列，故C正确；对于D，因，，故由上分析知，则，由，当时，，故，数列递减，且；当时，，故，数列递增，且；则当时，取最小值，故D正确.故选：ACD.14．（2024·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（

）A． B．数列是等比数列C．数列是等差数列 D．若，则【答案】BC【分析】由数列的前项和为求出判断B；由递推公式探讨数列的特性判断C；求出判断A；由求出，再利用裂求和法求解即得.【详解】由，得，，当时，，满足上式，因此，数列是等比数列，B正确；由，得，，解得，，A错误；当时，，两式相减得，于是，两式相加得，整理得，因此数列是等差数列，C正确；当时，等差数列的公差为1，通项，，所以，D错误.故选：BC15．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．当最大B．使得成立的最小自然数C．D．中最小项为【答案】BD【分析】根据题意，结合条件即可得到，即可判断AC，结合等差数列的求和公式即可判断B，再由，或时，；时，即可判断D,【详解】根据题意：，即，两式相加，解得：，当时，最大，故A错误由，可得到，所以，，所以，故C错误；由以上可得：，，而，当时，；当时，；所以使得成立的最小自然数，故B正确.当，或时，；当时，；由，所以中最小项为，故D正确.故选：BD.三、填空题16．（2024·湖北荆州·三模）若实数成等差数列，成等比数列，则=.【答案】【分析】根据等差数列的公差计算求出，再根据等比中项求出即可.【详解】实数成等差数列，则等差数列的公差为，成等比数列，则，由于等比数列奇数项同号，所以，所以，则.故答案为：.17．（2024·山东青岛·三模）已知等差数列的公差，首项，是与的等比中项，记为数列的前项和，则【答案】105【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可求出公差，再根据等差数列求和公式计算可得.【详解】等差数列中，，是与的等比中项，设公差为，所以，即，解得或（不合题意，舍去）；所以．故答案为：．18．（2024·湖南邵阳·三模）已知数列与均为等差数列，且，则.【答案】1012【分析】根据等差数列通项公式的性质可设，结合题意可得，，进而可得结果.【详解】因为数列与均为等差数列，可设，则，可知，即，则，则，解得，即，所以.故答案为：1012.19．（2024·宁夏银川·三模）设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，.【答案】6【分析】设等差数列的公差为，则由可求出，再由、、成等比数列，可求出，从而可求出，配方后可求得结果.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，由、、成等比数列，得，解得，因此，则，当且仅当时取等号，所以.故答案为：620．（2024·上海浦东新·三模）已知数列为等比数列，，，则.【答案】255【分析】根据题意结合通项公式求，进而结合等比数列求和公式运算求解.【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，解得，所以.故答案为：255.21．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则.【答案】5【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意得，，因为，，，，成等比数列，故，即，解得，则，所以，，故.故答案为：22．（2024·四川·三模）在数列中，已知，，则数列的前2024项和．【答案】【分析】由，得到，利用累乘法得到数列的通项公式，再用裂项相消，即可求解.【详解】因为，所以，所以，因此，故答案为：.23．（2024·浙江绍兴·三模）记为正项数列的前项积，已知，则；．【答案】22025【分析】由数列的前项积，利用赋值法令可求得，将表达式化简可得数列是等差数列，即可求得.【详解】根据题意令，可知，又数列的各项均为正，即；解得；由可得，即，可得；所以数列是以为首项，公差为的等差数列；因此，所以.故答案为：2；2025.四、解答题24．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）．(1)求证：数列为等比数列；(2)记，求数列的前项和，并证明．【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析【分析】（1）由等比数列的定义即可求证，（2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证.【详解】（1）由得，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，，所以所以，当时，单调递增，故．25．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．(1)证明：数列为等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据作差得到，结合等差数列的定义证明即可；（2）根据等比中项的性质及等差数列通项公式求出，即可得到的通项公式，结合的单调性及求和公式计算可得.【详解】（1）数列满足①，当时，有②，①②可得：，即，变形可得，故数列是以为等差的等差数列；（2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列，若，，成等比数列，则有，即，解得，所以，所以单调递减，又当时，，当时，，当时，，故当或时，取得最大值，且．26．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列的前n项和为，且，，设．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）借助与的关系可消去，得到，借助将其转换为后结合等比数列定义即可得证；（2）借助错位相减法计算即可得.【详解】（1），即，即，则，即，即，又，故数列是以为首项、以为公比的等比数列.（2）由（1）易得，即，则，则，有，则，故.27．（2024·新疆·三模）若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列，，，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）应用累乘法求出通项公式即可；（2）裂项相消法求前n项和即可.【详解】（1）设，由题意得数列是等比数列，，，则，即，由累乘法得：，于是，故.（2）由（1）得，令，则，∴.28．（2024·重庆九龙坡·三模）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求使取得最大值时的值.【答案】(1)，(2)或【分析】（1）根据等差数列的通项及前项和公式求出首项与公差，即可求出数列的通项公式，再求出数列的首项与公比，即可得的通项公式；（2）先求出的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以，设等比数列的公比为，则，解得，所以；（2）由（1）得，则，，当时，，当时，，当时，，所以当或时，取得最大值.29．（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“比差等数列”的定义可得，令，则为常数列，可得，可求的通项公式；（2）分为奇数与偶数两种情况求解可得数列的前项和.【详解】（1）由为“比差等数列”，得，从而.设，则，所以数列为等差数列.因为，所以为常数列，因此，，即，所以是首项为，公比为的等比数列，因此.（2）当为偶数时，；当为奇数时，.综上，.30．（2024·陕西·三模）数列的前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”．(1)设数列的“生成数列”为，求证：；(2)若，求其生成数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由“生成数列”的定义证明即可；（2）由分组求和求解即可.【详解】（1）由题意可知，所以，因此，即是单调递增数列，且，由“生成数列”的定义可得．（2）当时，．，又，，当时，．设数列的前项和为．则．当时，又符合上式，所以．31．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足；①求证：数列是等差数列；②若，设数列的前n项和为，求证：．【答案】(1)(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）变形得到，结合，故，从而得到；（2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列；②求出，结合，得到公差，得到通项公式，所以，裂项相消法求和证明出结论.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以n=1时，，所以数列是各项为0的常数列，即，所以．（2）①由得所以①所以②②-①得：③所以④④-③得，所以即所以数列是等差数列．②当时，由得，所以，又，故的公差为1，所以，所以，即．【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型：分式型：，，等；指数型：，等，根式型：等，对数型：，且；32．（2024·天津滨海新·三模）已知等差数列的前项和为，，，数列是公比大于1的等比数列，且，．(1)求，的通项公式；(2)数列，的所有项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，，…，求数列的前7项和及前项和；(3)是否存在数列，满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)，(3)存在；【分析】（1）利用等差数列和等边数列通项公式及求和公式，列出方程组即可求解；（2）利用分组求和及等