专题08 排列组合与二项式定理（2大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版

第第⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．2、系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．六、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：1、设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．2、若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若，同理可得．注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．【排列组合常用结论】一、解决排列组合综合问题的一般过程1、认真审题，确定要做什么事；2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．二、常见排列组合类型及解法1、如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种．2、错位排列公式3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种．6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种．一、单选题1．（2024·重庆·三模）重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分层抽样的性质计算即可。【详解】为保证调研结果的代表性，设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人，则，解得，即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为故选：C2．（2024·北京·三模）已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（

）A． B．240 C．60 D．【答案】B【分析】根据二项式系数之和可得，结合二项展开式分析求解.【详解】由题意可知：二项式系数之和为，可得，其展开式的通项为，令，解得，所以其展开式的常数项为.故选：B.3．（2024·陕西·三模）2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【答案】C【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的两人分别在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即得.【详解】要使五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：第一步，先从五人中任选三人，有种方法；第二步再选这三人所在的区域，有种方法；第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法.由分步乘法计数原理，共有种方法.故选:C.4．（2024·四川成都·三模）成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率结合组合数的计算求解即可.【详解】从11所学校中任选3所学校共有种选法.其中排名为第一名或第五名的学校，可以分为三种情况：第一类：只含有排名为第一名的学校的有种选法；第二类：只含有排名为第五名的学校的有种选法；第三类：同时含有第一名和第五名学校的有种选法；共种选法.根据概率公式可得.故选：D.5．（2024·重庆九龙坡·三模）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4，6也相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出数字1，3相邻时的六位数个数以及数字1，3相邻，数字2，4，6也相邻的六位数的个数，根据条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】设“数字1，3相邻”，设“数字2，4，6相邻”，则数字1，3相邻时的六位数有个，数字1，3相邻，数字2，4，6也相邻的六位数的个数为，则.故选：A.6．（2024·新疆喀什·三模）展开式中，的系数为（

）A．20 B．30 C．25 D．40【答案】B【分析】分不含项和含有一个项两种情况求解．【详解】展开式中，的项为，则的系数为30．故选：．7．（2024·新疆·三模）西安、洛阳、北京、南京和开封并称中国的五大古都.某旅游博主为领略五大古都之美，决定用两个月的时间游览完五大古都，且每个月只游览五大古都中的两个或三个（五大古都只游览一次），则恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出事件的总数以及目标事件的数量，再用古典概型计算即可..【详解】将古都分成2个、3个两组，再在两个月安排旅游顺序，故事件总数为，分2个古都组中含西安、洛阳，或3个古都组中含西安、洛阳，故恰好在同一个月游览西安和洛阳的事件数为：，所以恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为：故选：B8．（2024·北京·三模）在的展开式中，项的系数为（

）A． B． C．16 D．144【答案】C【分析】写出的展开式通项，即可列式求解.【详解】，其展开式通项公式为，，所以所求项的系数为，故选：C．9．（2024·河北秦皇岛·三模）三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（

）A．8种 B．12种 C．16种 D．24种【答案】B【分析】根据参加晚会的人数分类讨论，利用排列组合数求解即可.【详解】第一种情况，只有两人参加晚会，有种去法；第二种情况，三人参加晚会，有种去法，共12种去法.故选：B10．（2024·安徽芜湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（

）种A．186 B．264 C．284 D．336【答案】D【分析】先考虑A和B不相邻的排法，再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况，相减后得到答案.【详解】先考虑A和B不相邻的排法，将C、D、E、F四个人进行全排列，有种情况，C、D、E、F四个人之间共有5个空，选择2个排A和B，有种情况，故有种选择，再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况，先从两端选择一个位置安排C，有种情况，再将D、E、F三个人进行全排列，有种情况最后D、E、F三个人之间共有4个空，选择2个排A和B，有种情况，故有种情况，则要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的安排有种情况.故选：D11．（2024·浙江绍兴·三模）在的展开式中，含项的系数是10，则（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数项即可写出含的项，则可得出答案.【详解】根据二项展开式可知含项即从5个因式中取4个，1个常数项即可写出含的项；所以含的项是，可得；即可得.故选：C12．（2024·湖北荆州·三模）已知，则被3除的余数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】先对二项展开式中的进行赋值，得出，再将看作进行展开，再利用二项展开式特点分析即得.【详解】令，得，令，得，两式相减，，因为，其中被3整除，所以被3除的余数为1，综上，能被3整除．故选：D.二、多选题13．（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（

）A．所有奇数项的二项式系数的和为128B．二项式系数最大的项为第5项C．有理项共有两项D．所有项的系数的和为【答案】AB【分析】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A；二项式系数的最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式，再对赋值，即可确定C；令，可求出所有项的系数的和，从而确定D.【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确；对于B,二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误；对于D,令，则所有项系数和为，故D错误.故选：AB.14．（2024·江西南昌·三模）已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】先计算出的展开式中二项式系数最大值，根据二项式定理得到展开式的通项公式，从而得到方程，求出.【详解】的展开式中二项式系数最大值为，的展开式通项公式为，令得，，故展开式中的系数为，故，解得.故选：AB15．（2024·山西·三模）已知函数，则（

）A． B．展开式中，二项式系数的最大值为C． D．的个位数字是1【答案】BD【分析】对于A：根据二项展开式分析求解；对于B：根据二项式系数的性质分析求解；对于C：利用赋值法，令、即可得结果；对于D：因为，结合二项展开式分析求解.【详解】对于选项A：的展开式的通项为，令，可得，所以，故A错误；对于选项B：因为为偶数，可知二项式系数的最大值为，故B正确；对于选项C：令，可得；令，可得；所以，故C错误；对于选项D：因为，且的展开式的通项为，可知当，均为20的倍数，即个位数为0，当时，，所以的个位数字是1，故D正确；故选：BD.三、填空题16．（2024·山东烟台·三模）展开式的中间一项的系数为.【答案】【分析】中间一项是第4项，结合二项展开式的系数的计算公式即可求解.【详解】因为展开式共有7项，它的中间一项是第4项，所以展开式的中间一项的系数为.故答案为：.17．（2024·安徽合肥·三模）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有．【答案】504【分析】本题考查排列中分类加法计数原理和分步乘法计数原理.根据题目要求，分两类进行讨论，第一类叶光富在最右侧，第二类叶光富不在最右侧.然后根据分类加法计数原理相加即可得到答案.【详解】根据叶光富不站最左边，可以分为两种情况：第一种情况：叶光富站在最右边，此时剩余的5人可以进行全排列，共有种排法.第二种情况：叶光富不站在最右边，根据题目条件叶光富不站最左边，此时叶光富有4种站法.根据题目条件汤洪波不站在最右边，可知杨洪波只有4种站法.剩余的4人进行全排列,共有种排法，由分类加法计数原理可知，总共有种排法．故答案为：50418．（2024·福建福州·三模）的展开式中常数项为．【答案】49【分析】利用多项式乘法法写出展开式的通项，令次数为0即为常数项．【详解】展开式的通项公式为，，当时，常数项为1；当时，得常数项为；当时，得常数项为；所以展开式中的常数项为.故答案为：.19．（2024·新疆喀什·三模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为．【答案】96【分析】利用捆绑法即可求解.【详解】从3，4，5，9中选择一个数字放入两个1之间，将其与两个1看作一个整体，与剩下元素全排列，故不同的密码个数为，故答案为：9620．（2024·河北衡水·三模）的展开式中的系数为（用数字作答）【答案】【分析】根据题意，结合二项式的展开式的性质，准确计算，即可求解.【详解】由题意，多项式的展开式中含有的项为：，所以的系数为．故答案为：.21．（2024·河南·三模）若的展开式中存在常数项，则的值可以是（写出一个值即可）【答案】（答案不唯一，满足的即可）【分析】写出展开式的通项，令，求出，再根据且，即可确定的取值.【详解】二项式展开式的通项为（且），令，则，又且，所以故答案为：（答案不唯一，满足的即可）22．（2024·上海闵行·三模）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有种.【答案】4050【分析】先考虑两对混双的组合，再从余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，利用分步乘法原理可求得结果.【详解】先考虑两对混双的组合有种不同的方法，余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有.故答案为：405023．（2024·上海·三模）2024年重庆市高考数学科目采用新试卷结构，我校高三年级将对来自三个班级的9名学生（每个班级3名学生）做一