专题06 导数及其应用、基本不等式（4大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版

第第②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．三、讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；四、极值与最值1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．2、函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【导数及其应用常用结论】1、恒成立和有解问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．一、单选题1．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可.【详解】由，得，则，，所以曲线在点处的切线方程为.令，得，令，得，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选：C2．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数结合导函数求出，再根据点斜式得出直线方程.【详解】当时，，当时，，则，所以，．则所求的切线方程为，即．故选：B.3．（2024·河北保定·三模）已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数求解直线l的斜率，即可根据垂直关系得，结合，即可求解.【详解】易知，设，联立与可得，故，由得，所以，，因为，所以，即，又，所以.故选：B.4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出.【详解】设切点为因为切线，所以，解得（舍去）代入曲线得，所以切点为代入切线方程可得，解得.故选：D.5．（2024·湖南长沙·二模）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用已知条件求出切点的横坐标，从而得到，利用基本不等式即可求解.【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以，则切点的横坐标，则，即.又，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为1.故选：D6．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数，满足，则的最大值为（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据等式关系构造函数，由其单调性可得，于是结合基本不等式可得的最大值.【详解】由题，构造函数，则，显然在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当，时等号成立.所以的最大值为0.故选：A.【点睛】关键点点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.7．（2024·福建泉州·二模）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（

）A． B． C．4 D．5【答案】C【分析】首先求函数的导数，利用韦达定理求得，并根据等比数列的性质，代入条件等式，即可求解.【详解】，所以是方程的两个实数根，则，，，根据等比数列的性质，，且所以，即，得.故选：C8．（2024·天津和平·三模）已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（

）A． B．． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案.【详解】，，，函数在区间上恰有3个极大值点，故，解得.故选：D9．（2024·辽宁·二模）已知正实数，记，则的最小值为（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】由已知得出，结合得出，根据基本不等式即可求解．【详解】由得，，所以，即，因为，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故选：A．【点睛】关键点睛：当时，有；即且，两式相乘，进而得出最小值．10．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可得，即可得结果.【详解】因为在内单调递增，则，即，又因为在内单调递增，则，，可得；令，则，，构建，则，可知在上递减，则，即；综上所述：.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据构建，利用导数判断其单调性，进而可得.11．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意令，利用导数及题干所给条件求得的单调性，利用函数的对称性，可得，对其进行比较即可判断各选项.【详解】令，则，函数满足，当时在上单调递增，当时在上单调递减，又由，即函数的图象关于对称，从而，对于A，，，，A错误；对于B，，，，B错误；对于C，，，，C正确；对于D，，，，D错误.故选：C【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数，利用导数法研究函数的单调性，结合函数的对称性即可.二、多选题12．（2024·河北衡水·三模）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（

）A． B．函数在区间上单调递减C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数有5个零点【答案】AD【分析】求得，根据，可判定A正确；由，利用导数的符号求得函数的单调区间，可判定B错误；设过点且与函数相切的切点为，求得切线方程，列出方程求得的值，可判定C错误；令，作出函数的图象，得到，进而的函数零点的个数，可判定以D正确．【详解】对于A中，由函数，可得，因为是函数的一个极值点，可得，解得，经检验适合题意，所以A正确；对于B中，由，令，解得或，当时，；当时，；当时，，故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误；对于C中，设过点且与函数相切的切点为，则该切线方程为，由于切点满足直线方程，则，整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误；对于D中，令，则的根有三个，如图所示，，所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，故有5个零点，所以D正确．故选：AD．13．（2024·重庆·三模）若函数既有极小值又有极大值，则（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据题意，求得，转化为在上有两个不同的实数根，根据二次函数的性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.【详解】由函数，可得，因为既有极小值又有极大值，可得方程在上有两个不同的实数根，则满足，可得，所以，，，例如：时，满足上式，此时不成立．故选：ABC.14．（2024·山西太原·三模）已知是函数的极值点，若，则下列结论正确的是（

）A．的对称中心为 B．C． D．【答案】AC【分析】利用，可判断A；令，解得，代入可判断B；利用导数判断出的单调性并求出极值点，结合图像分情况由解出，可得可判断C；利用C选项，若，，得出可判断D.【详解】对于A，因为，所以的对称中心为，故A

正确；对于B，，令，解得，当时，，因为，所以，可得，当时，，因为，所以，可得，故B错误；对于C，令，解得，当或时，，是单调递增函数，当时，，是单调递减函数，所以在时有极大值，在时有极小值，如下图，当时，若，则，可得，即，解得，所以；当时，如下图，若，则，可得，即，解得，所以；综上所述，，故C正确；对于D，由C选项可知，若，，所以，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点.15．（2024·河北·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称． B．的图象关于点对称．C． D．【答案】BD【分析】对于A，直接得到即可判断；对于B，由为偶函数，所以，求导可得即可判断；对于D，求出的周期为，再根据即可判断；对于C，由题意举出反例即可淘汰.【详解】对于A，因为为奇函数，所以，即，所以的图象关于中心对称，故A错误；对于B，由为偶函数，所以，所以，即，即，则，所以的图象关于中心对称，故B正确；对于D，由，，知，又，，所以，所以，即，所以为周期是的函数，即，故D正确.对于C，由题意及上述分析知是以为周期的函数，且，不妨设，所以，周期均为且，所以，所以C错误；故选：BD.【点睛】关键点点睛：对于选项C，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设，所以，所以周期为，且，所以.三、填空题16．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为.【答案】2【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求.【详解】由已知得，解得，又，所以得，所以，所以.故答案为：217．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围.【详解】因为，所以，令得，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，有极小值，因为函数在上存在最小值，又，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.18．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为.【答案】【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可.【详解】不妨设，，则，，所以，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号，所以，（）所以当时，取得最小值.故答案为：19．（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为.【答案】/【分析】令，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得，结合基本不等式和计算即可．【详解】因为，所以,所以，当且仅当即时等号成立，即的最小值为.故答案为：.20．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是．【答案】【分析】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.【详解】由，则，即，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.21．（2024·河北·三模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】将原不等式变形为，设，通过求导求的最小值，然后解不等式即可.【详解】因为，，所以，即，设，，令，，即在上单调递增，令，，即在上单调递减，则，所以，解得.故答案为：.22．（2024·福建南平·二模）函数在区间上单调递增，且在区间上恰有两个极值点，则的取值范围是.【答案】【分析】利用正弦型函数的单调性可得，利用正弦型函数的极值点可得.【详解】由在区间上单调递增，可得，，，即，，，即，又在区间上恰有两个极值点，可得，即.综上，.故答案为：.23．（2024·云南昆明·三模）过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对【答案】（答案不唯一）【分析】设切点坐标为，利用导数表示出切线方程，代入点，通过构造函数，研究新函数的单调性和极值，对的取值范围进行讨论，得到解的个数，可得对应的切线条数.【详解】，，设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为，得切线方程为，由切线过点，有，化简得，设，则，，解得或；，解得，在和上单调递减，在上单调递增，极大值，极小值，且或时，时，，的函数图象如图所示，则当时，无解，；当或时，有一个解，；当或时，有两个解，；当时，有三个解，.故答案为：（答案不唯一）24．（2024·河北沧州·三模）若不等式，对于恒成立，则