实战演练07 立体几何中的垂直问题（5大常考点归纳）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版

第第页实战演练07立体几何中的垂直问题①证线面垂直（五种常见垂直关系）②由线面垂直证线线垂直③证面面垂直④面面垂直的性质定理应用⑤垂直关系中相似、全等的应用一、直线与平面垂直的定义如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．二、直线与平面垂直判定定理文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a平行与垂直的关系一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直__平行与垂直的关系两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直_b_a三、直线与平面垂直性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行_b_a文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行__线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直四、平面与平面垂直如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．五、平面与平面垂直判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直__六、平面与平面垂直性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a①证线面垂直（五种常见垂直关系）解题技法一、解答题1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，(1)求证：EF⊥平面PBC；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判断定理证明平面，再证明，即可证明；【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面。所以，因为是的直径，知，因为，且平面，所以平面，由分别是的中点，所以，所以平面．2．（2024·青海·二模）如图，在三棱柱中，所有棱长均相等，，，.

(1)证明；平面.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）设D为的中点，先证明平面，以此得到，再证明，结合线面垂直的判定定理即可得解；【详解】（1）

设D为的中点，连接，，.因为在三角形中，，所以三角形是等边三角形，而是的中点，故由三线合一可知，，因为，是三角形的中位线，即，所以.因为，平面，所以平面.因为平面，所以.在中，，O为的中点，所以.因为，平面，所以平面.3．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的表面积【答案】(1)证明见解析【分析】（1）求出各边，由勾股定理逆定理求出，结合得到线面垂直；【详解】（1）由题可知，，，，，为等边三角形，，，．，平面，平面．4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）如图，在三棱锥中，为上的动点.(1)若，求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）两次利用勾股定理分别证明，，即可得证；【详解】（1）在中，，则，又，所以由勾股定理可得为直角三角形，,所以，所以在中，因为，由余弦定理可得：则，所以，又，在中由余弦定理可得：，则，所以，又平面平面，所以平面5．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，点M，N分别在，上，且，．

(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）分析题意，利用线面垂直的判定定理求解即可.【详解】（1）

如图，连接，∵，且，，∴，又因为直三棱柱，所以，所以面，故，所以四边形是平行四边形，而，所以平行四边形是菱形，因为，所以菱形是正方形，∴．∵，，，面∴平面，∵平面，∴，又∵，面，∴平面．②由线面垂直证线线垂直一、解答题1．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.

(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先根据线面垂直的性质得，再根据线面垂直的判定定理得平面，从而利用线面垂直的性质定理即可证明；【详解】（1）在四棱台中，延长后必交于一点，故四点共面，因为平面，平面，故，连接，因为底面四边形为菱形，故，平面，故平面，因为平面，所以.

2．（2024·四川宜宾·三模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段AB上，且．(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线线垂直去证明线面垂直，即可得到线线垂直；【详解】（1）证明：在正方形中，，又，∴在中，点E为线段PC的中点，，DE平分，在中，，过E作交CD于H，连接FH，则，在正方形中，，∴四边形AFHD是矩形，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴．3．（24-25高三上·广东·阶段练习）如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）侧面是边长为2的正方形得到和的关系，、和的长度，根据侧面是平行四边形得到和，在中，由余弦定理得，判断的形状，证明平面，证明；【详解】（1）侧面是边长为2的正方形，，，，侧面是平行四边形，，在中，由余弦定理有，解得，是直角三角形，，，，平面，平面，又平面，；4．（24-25高三上·广东·开学考试）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）在内任取点，作，交于点，作，交于点，利用面面垂直推得平面，即得，同理，再由线线垂直证得线面垂直即得；【详解】（1）如图1，取为内一点，作，交于点，作，交于点，因为平面平面且平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，同理，因为，且平面，所以平面.5．（2024·青海·二模）如图，在三棱柱中，所有棱长均相等，，，.

(1)证明；平面.(2)若二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）设D为的中点，先证明平面，以此得到，再证明，结合线面垂直的判定定理即可得解；【详解】（1）

设D为的中点，连接，，.因为在三角形中，，所以三角形是等边三角形，而是的中点，故由三线合一可知，，因为，是三角形的中位线，即，所以.因为，平面，所以平面.因为平面，所以.在中，，O为的中点，所以.因为，平面，所以平面.③证面面垂直解题技法一、解答题1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，．

(1)证明：平面平面；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.【详解】（1）在中，由余弦定理得．由，得，而，，则，又平面EDB，因此平面EDB，而平面ABCD，所以平面平面ABCD．2．（2024·黑龙江大庆·三模）如图，在四棱锥中，，，且是的中点.

(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明线面垂直再根据面面垂直判定定理证明即可；【详解】（1）因为，由余弦定理得，所以.因为，所以，所以.因为，所以四边形为平行四边形，所以.因为，所以，即.因为平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.3．（2024·新疆·二模）如图，三棱锥的所有棱长都是，为的中点，且为FG的中点．

(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面即得；【详解】（1）连结，因为，，且点是的中点，

所以，，，且平面，所以平面，因为，所以共面，所以平面和平面是同一平面，所以平面，且平面，所以平面平面；4．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在三棱柱中，与的距离为，，.(1)证明：平面平面ABC；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面；【详解】（1）取棱中点D，连接BD，因为，所以因为三棱柱，所以所以，所以因为，所以，；因为，，所以，所以，同理，因为，且，平面，所以平面，因为平面ABC，所以平面平面ABC；5．（2024·四川内江·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面平面.(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取PB的中点M，连接AM.利用面面垂直的性质定理证明平面，从而利用线面垂直的性质及线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理即可证明.【详解】（1）取PB的中点M，连接AM.∵，∴.又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.∵底面ABCD是直角梯形，且，∴，∴.又，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面.④面面垂直的性质定理应用一、解答题1．（24-25高三上·广东·开学考试）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）在内任取点，作，交于点，作，交于点，利用面面垂直推得平面，即得，同理，再由线线垂直证得线面垂直即得；【详解】（1）如图1，取为内一点，作，交于点，作，交于点，因为平面平面且平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，同理，因为，且平面，所以平面.2．（2024·陕西西安·三模）在四棱锥中，平面平面，，，，．(1)证明：．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明，再由面面垂直的性质定理求解；【详解】（1）因为，，所以，，由余弦定理可得，所以AD2+BD因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面PAD．因为平面PAD，所以．3．（2024·天津南开·二模）在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证明出，平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；【详解】（1）因为，O为CD的中点，所以．又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，所以平面ABCD．因为，，，所以．取的中点，连接，则⊥，以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，则O0,0,0，，，，P0,0,1，．，，因为，所以．4．（2024·四川绵阳·三模）如图，在四棱锥中，，平面平面，平面平面.(1)点是的中点，求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据平面平面，即可求证，【详解】（1）延长交于，连接，显然面面，由面面，面面，所以面，由于平面平面，两个平面的交线为，由于，是的中点，所以，BP⊂平面，故平面，所以，由平面，面，则平面.5．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，.(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，结合面面垂直的性质可得平面，然后根据等腰三角形的性质结合条件可得.【详解】（1）证明：因为是等腰直角三角形，为的中点，所以，平面，又因为平面平面，平面平面，所以平面因为平面，所以，又为的中点，所以是等腰三角形，故.⑤垂直关系中相似、全等的应用一、解答题1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知四棱锥中，底面是矩形，，，点是线段的中点．(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）首先证明，取中点，连接，，即可证明平面，从而得到，即可得证；【详解】（1）因为点是线段CD的中点且矩形中，所以，根据，，得，又根据矩形得，所以．于是，根据，得，所以．取中点，连接，，因为，所以AM⊥PB．因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面．2．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥中，已知是的中点.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）求证且即可由线面垂直判定定理得证平面.【详解】（1）是的中点，连接，，，在和中，，，平面，平面.3．（2024·四川德阳·三模）如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，，D为的中点，过的平面交棱于E，交于F.(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据三角形全等，可得，又，即可得平面，进而可求解，【详解】（1）证明：连接，.因为，，所以，所以.因为为的中点，所以.因为为的中点，所以.因为，，平面所以平面.又，所以平面.又平面所以平面平面.4．（2024·辽宁锦州·模拟预测）如图，在四棱锥中，为的中点，平面．(1)求证：；(2)若，．（i）求证：平面；【答案】(1)证明见解析(2)（i）证明见解析；【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；（2）（i）借助线面垂直的判定定理即可得；【详解】（1）取的中点，连接，因为为的中点，所以，，因为，所以，所以四点共面，因为平面，平面平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以；（2）（i）取的中点，连接，由（1）知，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以，即，因为，所以，因为，所以与全等，所以，即，因为，又因为，、平面，所以平面；5．（2024·四川雅安·三模）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）分析题意，利用线面垂直的判定定理求解即可.【详解