艺术生专用2025版高考数学总复习第三章三角函数解三角形第5节三角恒等变换课时冲关

PAGEPAGE1第5节三角恒等变换1．(2024·全国Ⅲ卷)已知sinα－cosα＝eq\f(4,3)，则sin2α＝()A．－eq\f(7,9) B．－eq\f(2,9)C.eq\f(2,9) D.eq\f(7,9)解析：A[sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(sinα－cosα2－1,－1)＝－eq\f(7,9).故选A.]2．已知α，β都是锐角，若sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，则α＋β等于()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4)和eq\f(3π,4) D．－eq\f(π,4)和－eq\f(3π,4)解析：A[由于α，β都为锐角，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(3\r(10),10).所以cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝eq\f(\r(2),2)，所以α＋β＝eq\f(π,4).]3．(2024·新乡市三模)已知eq\f(π,2)<α<π且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))等于()A.eq\f(－4－3\r(3),10) B.eq\f(4＋3\r(3),10)C.eq\f(4－3\r(3),10) D.eq\f(3\r(3)－4,10)解析：D[∵eq\f(π,2)<α<π，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，∴eq\f(2π,3)＜α＋eq\f(π,6)＜eq\f(7π,6)，可得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝－eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\f(π,3)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sineq\f(π,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(1,2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3)－4,10).]4．若函数f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－ωx))sinωx＋cos(2π－2ωx)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))上单调递增，则正数ω的最大值为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)解析：B[因为f(x)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)cosωx－cos\f(2π,3)sinωx))·sinωx＋cos2ωx＝2eq\r(3)sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx＝eq\r(3)sin2ωx＋2·eq\f(1－cos2ωx,2)＋cos2ωx＝eq\r(3)sin2ωx＋1.由函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))上单调递增知，所以eq\f(3π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)))≤eq\f(T,2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(T,2ω)))，即3π≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,2ω)))，结合ω>0，可得0<ω≤eq\f(1,6).所以正数ω的最大值为eq\f(1,6)，故选B.]5．若锐角φ满意sinφ－cosφ＝eq\f(\r(2),2)，则函数f(x)＝cos2(x＋φ)的单调增区间为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(5π,12)，2kπ＋\f(π,12)))，(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))，(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,12)，2kπ＋\f(7π,12)))，(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))，(k∈Z)解析：D[锐角φ满意sinφ－cosφ＝eq\f(\r(2),2)，∴1－2sinφcosφ＝eq\f(1,2)，∴sin2φ＝eq\f(1,2)；又sinφ＞eq\f(\r(2),2)，∴2φ＝eq\f(5π,6)，解得φ＝eq\f(5π,12)；∴函数f(x)＝cos2(x＋φ)＝eq\f(1＋cos2x＋2φ,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6)))，∴2kπ－π≤2x＋eq\f(5π,6)≤2kπ，k∈Z，解得kπ－eq\f(11π,12)≤x≤kπ－eq\f(5π,12)，k∈Z；∴f(x)的单调增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(11π,12)，kπ－\f(5π,12)))(k∈Z)，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))，k∈Z.]6．已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.解析：∵θ是第四象限角，∴－eq\f(π,2)＋2kπ<θ<2kπ，则－eq\f(π,4)＋2kπ<θ＋eq\f(π,4)<eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z.又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝－eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)),coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))＝－eq\f(\f(4,5),\f(3,5))＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)7．(2024·贵阳市一模)已知tan(π＋α)＝2，则cos2α＋sin2α＝________.解析：∵tan(π＋α)＝tanα＝2，∴sin2α＋cos2α＝eq\f(2sinαcosα＋cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα＋1－tan2α,tan2α＋1)＝eq\f(2×2＋1－22,22＋1)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8.eq\f(\r(3)tan12°－3,4cos212°－2sin12°)＝________.解析：原式＝eq\f(\f(\r(3)sin12°,cos12°)－3,22cos212°－1sin12°)＝eq\f(\f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin12°－\f(\r(3),2)cos12°)),cos12°),2cos24°sin12°)＝eq\f(2\r(3)sin－48°,2cos24°sin12°cos12°)＝eq\f(－2\r(3)sin48°,sin24°cos24°)＝eq\f(－2\r(3)sin48°,\f(1,2)sin48°)＝－4eq\r(3).答案：－4eq\r(3)9．(2024·泉州市模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，eq\r(3))．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))－2f2(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，eq\r(3))，∴sinα＝eq\f(1,2)，cosα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\f(\r(3),3).∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),6).(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，∴g(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))－2cos2x＝eq\r(3)sin2x－1－cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1，∵0≤x≤eq\f(2π,3)，∴－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6).∴－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤1，∴－2≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1≤1，故函数g(x)＝eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))－2f2(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的值域是[－2,1]．10．(2024·南京市模拟)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为eq\f(2\r(7),7)，点Q的纵坐标为eq\f(3\r(3),14).(1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值．解：(1)因为点P的横坐标为eq\f(2\r(7),7)，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝eq\f(2\r(7),7)，所以cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(1,7).(2)因为点Q的纵坐标为eq\f(3\r(3),14)，所以sinβ＝eq\f(3\r(3),14).又因为β为锐角，所以cosβ＝eq