重庆市西南大学附属中学2024-2025学年高二数学下学期阶段性测试试题含解析

PAGE19-重庆市西南高校附属中学2024-2025学年高二数学下学期阶段性测试试题（含解析）（全卷共150分，考试时间为120分钟）留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）．一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的共轭复数是()A. B. C.1i D.1＋i【答案】B【解析】由题意，复数，所以的共轭复数为，故选B．2.已知随机变量ξ的分布列为，则实数m＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由随机变量ξ的分布列的性质得：，由此能求出实数m．【详解】∵随机变量ξ的分布列为解得实数故选：C【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．3.随机变量听从正态分布，若，则的值（）A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2【答案】C【解析】分析：由随机变量听从正态分布，可得正态曲线的对称轴，依据正态曲线的特点，得到，从而可得结果.详解：随机变量听从正态分布，，得对称轴是，，，，所以，故选C.点睛：本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算实力.4.假如函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据原函数的增减性确定导函数值的正负.【详解】由函数的图象可知，在上先增后减，所以在上先正后负，又函数为偶函数，所以为奇函数.故答案选：A.【点睛】本题考查导函数图象与原函数图象之间的关系，比较简洁.一般地，依据原函数图象确定导函数图象时，只须要依据原函数图象的增减性确定导数值的正负分布即可.5.二项式的绽开式中的常数项是（）A.﹣2024 B.672 C.﹣144 D.144【答案】B【解析】【分析】在二项绽开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【详解】二项式绽开式的通项公式为,令，求得r＝6，故绽开式中的常数项为T7•23＝672，故选：B．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项绽开式的通项公式，属于中档题．6.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种3粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A.100 B.200 C.300 D.400【答案】C【解析】【分析】种子每粒发芽的概率都为0.9，则不发芽的概率是，现播种了1000粒，不发芽的种子数，由题意又有，由二项分布的期望公式可计算出期望．【详解】每粒种子发芽概率是0.9，则不发芽概率是，由题意，播种了1000粒种子，没有发芽的种子数听从二项分布，即，不发芽每粒补种3粒，则补种的种子数，∴．故选：C．【点睛】本题考查二项分布的期望，考查随机变量的性质，属于基础题．7.甲、乙等人排一排照相，要求甲、乙人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【解析】依据题意，甲、乙看做一个元素支配中间位置，共有种排法，其余人排其它个位置，共有种排法，利用乘法原理，可得不同的排法有种．故选．点睛：本题考查的是排列组合问题.（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．详细地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满意特别元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的安排问题，往往是先分组再安排．在分组时，通常有三种类型：①不匀称分组；②匀称分组；③部分匀称分组．留意各种分组类型中，不同分组方法的求解．8.已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：将记为横坐标，将记为纵坐标，可知总共有9个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根，，满意题中条件为，即，所以满意条件的基本领件有共6个基本领件，所以所求的概率为，故选D．考点：古典概型．9.直线与曲线相切于点,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线与曲线相切于点,可得求得的导数,可得,即可求得答案.【详解】直线与曲线相切于点将代入可得:解得:由,解得:.可得,依据在上,解得:故故选:A.【点睛】本题考查了依据切点求参数问题,解题关键是驾驭函数切线的定义和导数的求法,考查了分析实力和计算实力,属于中档题.10.西大附中为了增加学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的赛，、两队各由名选手组成，每局两队各派一名选手，除第三局胜者得格外，其余各胜者均得分，每局的负者得分．假设每局竞赛队选手获胜的概率均为，且各局竞赛结果相互独立，竞赛结束时队的得分高于队的得分的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】竞赛结束时队的得分高于队的得分的状况有种：全胜；三胜一负、第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式可求得所求事务的概率.【详解】竞赛结束时队的得分高于队的得分的状况有种：全胜；三胜一负、第三局胜，另外三局一胜两负.所以，竞赛结束时队的得分高于队的得分的概率为.故选：A.【点睛】本题考查概率的求解，考查独立重复试验概率的求解，考查计算实力，属于中等题.11.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满意，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据条件，构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论.【详解】构造函数，，当时，∵，即，∴，所以，∴在上单调递减，又∵，因为定义域为正实数，∴，即，∴，∴，∴，解之得：，∴不等式的解集为.故选：D．【点睛】本题考查利用导数的单调性解不等式，解题关键是正确构造新函数，从而将不等式进行转化进而求解，考查逻辑思维实力和运算求解实力，考查转化思想，属于常考题.12.已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（）A B. C. D.【答案】A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13.（i为虚数单位）的模是________．【答案】【解析】【分析】依据复数模的定义计算．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查求复数的模，属于简洁题．14.袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则事务“第一次取得白球的状况下，其次次恰好取得黄球”的概率为_____．【答案】【解析】分析：依据条件概率进行求解即可．详解：设“第一次取得白球”为事务A，“其次次恰好取得黄球”为事务B．由题意得，∴．点睛：解决概率问题时，若条件中含有“在……发生的条件下，求……发生的概率”的字样，则一般为条件概率类型．求解时可依据条件概率的定义进行，即进行求解．15.若函数在上单调递减，则实数的值为_______.【答案】【解析】【分析】由于函数在上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得实数的值.【详解】依题意，在上恒成立，则需恒成立，有两个相等的实数根，故.【点睛】本小题主要考查利用导数探讨函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.16.若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为________．【答案】【解析】【分析】先采纳参变分别将等价转化为，结合题意应当是m小于等于右边函数的最大值，利用导数求出其最大值即可.【详解】因为所以等价于，记，由题意知，因为，所以当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以当时，，而，，又，所以，所以所以实数的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的能成立问题，区间能成立或恒成立问题常常采纳参变分别法转化为函数的最值问题，困难函数最值可利用导数求解，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数．（1）求在点处的切线；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1）；（2）函数的增区间是和，减区间为；极大值是，微小值是【解析】【分析】（1）利用解析式求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，依据直线点斜式方程写出切线方程；（2）利用导数得到原函数的单调性，依据极值定义可知极值点，代入求得极值.【详解】（1），则则，故切线为，即（2），列表如下：极大值微小值所以函数的增区间是和，减区间为极大值是，微小值是.【点睛】本题考查求解函数的切线方程、单调区间和极值的问题，能够明确导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系是解决本题的关键，属于基础题.18.高新区某中学德育处为了调查学生对“一带一路”的关注状况,在全校组织了“一带一路知多少”的学问问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成果(百分制)的茎叶图如下：（1）写出该样本的中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成果在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记表示测试成果在80分以上的人数,求的分布列和数学期望【答案】（1）200；（2）见解析【解析】分析：（1）依据茎叶图中的数据可得中位数，然后依据样本中70分以上的成果所占的比例可得总体中70分以上的人数．（2）依据题意得到的可能取值，分别求出对应的概率得到分布列，然后可得期望．详解：（1）由茎叶图可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为，故可估计该校测试成果在70分以上的约为3000×2000人．（2由题意可得的可能取值为0，1，2，3，4．,,,.∴分别列为：01234∴.点睛：本题考查茎叶图的应用以及用样本估计总体，同时考查分布列、期望的求法，主要考查学生应用所学学问解决实际问题的实力和计算实力，属中等题．19.2024年，在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威高校留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信挚友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的宠爱程度，随机调查了观看了该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计宠爱4060100不宠爱202040总计6080140（1）依据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与宠爱该演讲有关．（精确到0．001）（2）从这60名男观众中按对该演讲是否宠爱实行分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都宠爱该演讲的概率．附：临界值表0.100.050.0250.0100.0052.7053.8415.0246.6357.879参考公式：，．【答案】（1）见解析；（2）0.4【解析】【分析】(1)依据独立性检验求出，即得不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与宠爱该演讲有关．（2）利用古典概型求选到的两名观众都宠爱该演讲的概率．【详解】（1）假设：观众性别与宠爱该演讲无关，由已知数据可求得，∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与宠爱该演讲有关．（2）抽样比为，样本中宠爱的观众有40×=4名，不宠爱的观众有6﹣4=2名．记宠爱该演讲的4名男性观众为a，b，c，d，不宠爱该演讲的2名男性观众为1，2，则基本领件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．其中选到的两名观众都宠爱该演讲的事务有6个，故其概率为P（A）=【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些学问的理解实力，驾驭水平和应用实力.20.2024年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避开外出是削减相互交叉感染最有效的方式．在家中适当熬炼，合理休息，能够提高自身免疫力，反抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动状况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的熬炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a的值，并估计这100位居民熬炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的熬炼时长：序号n1234567熬炼时长m（单位：分钟）10151220302535（Ⅰ）依据数据求m关于n的线性回来方程；（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？附；在线性回来方程中，，．【答案】（1），30.2；（2）（Ⅰ），（Ⅱ）估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为1，即可求出a的值，再依据平均值等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；（2）（Ⅰ）依据最小二乘法，分别计算出和，即可求出m关于n的线性回来方程；（Ⅱ）依据线性回来方程，令，求出预料值，再验证是否满意，即可推断．【详解】（1），．（分钟）．（2）（Ⅰ），，，，，关于n的线性回来方程为．（Ⅱ）当时，．，估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回来方程，以及利用线性回来方程进行预料，意在考查学生的数学运算实力和数据分析实力，属于基础题．21.已知函数，（），（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间（-∞，-1]上的最大值．【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】（1），∵曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线∴，∴（2）令，当时，令，得时，的状况如下：x+0-0+所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为当，即时，函数在区间上单调递增，在