2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用章末检测含解析新人教A版必修第二册

PAGEPAGE10平面对量及其应用(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式恒成立的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C．(a·b)·c＝a·(b·c) D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c解析：选Deq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，故A错误；eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，故B错误；(a·b)·c表示与c共线的向量，而a·(b·c)表示与a共线的向量，故C错误；依据平面对量数量积的运算性质可知D正确．故选D.2．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－2 D．2解析：选C因为a＝(1，2)，b＝(－2，3)，所以a＋λb＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C.3．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq\r(2)，则c等于()A．1 B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：选B∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(2\r(2)sin30°,sin45°)＝2.故选B.4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2eq\r(2)，c＝2，coseq\f(A,2)＝eq\f(\r(14),4)，则b＝()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．4解析：选D∵a＝2eq\r(2)，c＝2，coseq\f(A,2)＝eq\f(\r(14),4)，∴cosA＝2cos2eq\f(A,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),4)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(3,4)，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(2eq\r(2))2＝b2＋22－2×b×2×eq\f(3,4)，整理得b2－3b－4＝0，∴解得b＝4或－1(舍去)．故选D.5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B由已知得BC＝eq\r(2)，∠BCD＝135°，所以eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·(eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)×cos180°＋eq\f(\r(2),2)×1×cos135°＋2×eq\f(\r(2),2)×cos45°＋2×1×cos0°＝2.6．在平面上有A，B，C三点，设m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，若m与n的长度恰好相等，则有()A．A，B，C三点必在一条直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD(图略)，则m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形肯定是矩形．故选C.7.如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的随意一点，若P为半径OC上的动点，则(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值是()A．2 B．0C．－1 D．－2解析：选D由平行四边形法则得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，故(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2－|eq\o(PO,\s\up6(→))|，且eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))反向，设|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝t(0≤t≤2),则(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．∵0≤t≤2，∴当t＝1时，(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))取得最小值，为－2，故选D.8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝eq\r(7)，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(7\r(3),6)C.eq\f(\r(21),3) D.eq\f(3\r(3),4)或eq\f(7\r(3),6)解析：选D∵sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA，sin(B－A)＝sinBcosA－cosBsinA，sin2A＝2sinAcosA，sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，∴2sinBcosA＝6sinAcosA．当cosA＝0时，A＝eq\f(π,2)，B＝eq\f(π,6).又c＝eq\r(7)，所以b＝eq\f(\r(21),3).由三角形的面积公式，得S＝eq\f(1,2)bc＝eq\f(7\r(3),6)；当cosA≠0时，由2sinBcosA＝6sinAcosA，得sinB＝3sinA．依据正弦定理，可知b＝3a，再由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋9a2－7,6a2)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，解得a＝1，b＝3，所以此时△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),4).综上可得△ABC的面积为eq\f(7\r(3),6)或eq\f(3\r(3),4)，故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．下列条件推断三角形解的状况，正确的是()A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝15，b＝2，A＝90°，有一解D．a＝40，b＝30，A＝120°，有一解解析：选CDA中，a＝bsinA，有一解；B中csinB<b<c，有两解；C中A＝90°且a>b，有一解；D中a>b且A＝120°，有一解．综上，C、D正确．10．下列说法中，正确的是()A．(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝0B．若a·b<0，则a与b的夹角是钝角C．向量e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))能作为平面内全部向量的一个基底D．若a⊥b，则a在b上的投影向量为0解析：选AD(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))－(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，A正确；当|a|＝|b|＝1，且a与b反向时，a·b＝－1<0，此时a与b的夹角为180°，B不正确；因为e1＝4e2，所以e1∥e2，所以向量e1，e2不能作为基底，C不正确；由投影向量的定义知D正确．故选A、D.11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是()A．若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC肯定是等边三角形B．若acosA＝bcosB，则△ABC肯定是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC肯定是等腰三角形D．若a2＋b2－c2＞0，则△ABC肯定是锐角三角形解析：选AC由eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，利用正弦定理可得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，即tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形，A正确；由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，△ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正确；由正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，即sin(B＋C)＝sinB，即sinA＝sinB，则A＝B，△ABC是等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＞0，C为锐角，A，B不肯定是锐角，D不正确．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是()A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为eq\f(8\r(7),7)解析：选ACD因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝9x，,a＋c＝10x，,b＋c＝11x))(x＞0)，解得a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确；由上可知，c边最大，所以三角形中角C最大，又cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(（4x）2＋（5x）2－（6x）2,2×4x×5x)＝eq\f(1,8)＞0，所以角C为锐角，所以B错误；由上可知a边最小，所以三角形中角A最小，又cosA＝eq\f(c2＋b2－a2,2cb)＝eq\f(（6x）2＋（5x）2－（4x）2,2×6x×5x)＝eq\f(3,4)，所以cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,8)，所以cos2A＝cosC，由三角形中角C最大且角C为锐角可得，2A∈(0，π)，C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2A＝C，所以C正确；由正弦定理得2R＝eq\f(c,sinC)，又sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(3\r(7),8)，所以2R＝eq\f(6,\f(3\r(7),8))，解得R＝eq\f(8\r(7),7)，所以D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b＝________．解析：依题意得a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4.答案：414．平面对量a，b满意|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．解析：(a＋b)·(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，即a⊥b.故a，b的夹角为eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)15．在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，则sinA＝________，a＝________．解析：因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，且eq\f(sinA,cosA)＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sinA＝eq\f(2\r(5),5)，再由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，代入数据解得a＝2eq\r(10).答案：eq\f(2\r(5),5)2eq\r(10)16.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，则DE＝________．解析：由题意知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝44100.∴AB＝DE＝210.答案：210四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－6；②b2＋c2＝52；③△ABC的面积为3eq\r(15)，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，________．(1)求a；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C＋\f(π,6)))的值．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：选择条件①：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bccosA＝－6.∵cosA＝－eq\f(1,4)，∴bc＝24，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bc＝24，,b－c＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝6，,c＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,c＝－6))(舍去)，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16－2×6×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，∴a＝8.(2)cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(64＋36－16,2×8×6)＝eq\f(7,8)，∴sinC＝eq\r(1－\f(49,64))＝eq\f(\r(15),8)，∴cos2C＝2cos2C－1＝eq\f(17,32)，sin2C＝2sinCcosC＝eq\f(7\r(15),32)，∴cos(2C＋eq\f(π,6))＝cos2Ccoseq\f(π,6)－sin2Csineq\f(π,6)＝eq\f(17\r(3)－7\r(15),64).选择条件②：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＋c2＝52，,b－c＝2))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝6，,c＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,c＝－6))(舍去)，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16－2×6×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，∴a＝8.(2)同条件①.选择条件③：(1)∵cosA＝－eq\f(1,4)，∴sinA＝eq\f(\r(15),4)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(15),8)bc＝3eq\r(15)，∴bc＝24，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bc＝24，,b－c＝2))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝6，,c＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,c＝－6))(舍去)，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16－2×6×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，∴a＝8.(2)同条件①.18．(本小题满分12分)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量eq\o(OP,\s\up6(→))在坐标系xOy中的坐标．已知eq\o(OP,\s\up6(→))＝3e1＋2e2.(1)计算|eq\o(OP,\s\up6(→))|的大小；(2)设向量a＝(m，－1)，若a与eq\o(OP,\s\up6(→))共线，求实数m的值；(3)是否存在实数n，使得eq\o(OP,\s\up6(→))与向量b＝(1，n)垂直？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．解：(1)e1·e2＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，则|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝|3e1＋2e2|＝eq\r(（3e1＋2e2）2)＝eq\r(9|e1|2＋12e1·e2＋4|e2|2)＝eq\r(19).(2)因为a＝(m，－1)＝me1－e2，且a与eq\o(OP,\s\up6(→))共线，所以存在实数λ，使得a＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，即me1－e2＝λ(3e1＋2e2)＝3λe1＋2λe2.由平面对量基本定理，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3λ，,－1＝2λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(3,2)，,λ＝－\f(1,2)，))所以实数m的值为－eq\f(3,2).(3)若存在实数n，使得eq\o(OP,\s\up6(→))与向量b＝(1，n)垂直，则eq\o(OP,\s\up6(→))·b＝0，即(3e1＋2e2)·(e1＋ne2)＝3eeq\o\al(2,1)＋(3n＋2)e1·e2＋2neeq\o\al(2,2)＝3＋(3n＋2)×eq\f(1,2)＋2n＝0，解得n＝－eq\f(8,7).所以存在实数n＝－eq\f(8,7)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))与向量b＝(1，n)垂直．19．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，cosB＝eq\f(1,3)，b＝3，求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解：(1)由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，得c·acosB＝2.又cosB＝eq\f(1,3)，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×eq\f(1,3)＝13.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac＝6，,a2＋c2＝13，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,c＝2.))因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(2),3)，由正弦定理，得sinC＝eq\f(c,b)sinB＝eq\f(2,3)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(4\r(2),9).因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),9)))\s\up12(2))＝eq\f(7,9).于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝eq\f(1,3)×eq\f(7,9)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(23,27).20．(本小题满分12分)已知向量a＝(2＋sinx，1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3，1)，d＝(1，k)(x∈R，k∈R)．(1)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且a∥(b＋c)，求x的值；(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)∵b＋c＝(sinx－1，－1)，a∥(b＋c)，∴－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－eq\f(1,2).又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴x＝－eq\f(π,6).(2)∵a＝(2＋sinx，1)，b＝(2，－2)，∴f(x)＝a·b＝2(2＋sinx)－2＝2sinx＋2.∵x∈R，∴－1≤sinx≤1，∴0≤f(x)≤4，∴f(x)的最小值为0.(3)∵a＋d＝(3＋sinx，1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，∴k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5，由sinx∈[－1，1]，得k∈[－5，－1]，∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．21．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asineq\f(A＋C,2)＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，