江苏省南通市2025届高三数学下学期4月模拟考试试题含解析

PAGE24-江苏省南通市2025届高三数学下学期4月模拟考试试题（含解析）一、填空题.1.设复数z满意（i为虚数单位），则______.【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：由，得，∴.故答案为：.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.2.设全集，集合，，则______.【答案】【解析】【分析】先求出，再依据交集的运算法则计算即可【详解】解：∵全集，集合，∴∵，∴故答案为：【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题3.箱子中有形态、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为______.【答案】【解析】【分析】先求出基本领件总数和摸到的2球颜色不同包含的基本领件个数，由此能求出摸到的2球颜色不同的概率.【详解】解：箱子中有形态、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，基本领件总数，摸到的2球颜色不同包含的基本领件个数，∴摸到的2球颜色不同的概率.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要仔细审题，留意等可能事务概率计算公式的合理运用.4.某学校从高三年级共名男生中随机抽取名测量身高．据测量被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[、其次组、…、第八组．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高以上（含）的人数为．【答案】【解析】【分析】依据频率和为，求出男生身高在以上（含）的频率和频数．【详解】依据频率分布直方图知，男生身高在以上（含）的频率为；对应的人数有．故答案为：．【点睛】本题考查利用频率直方图计算出频数，要熟识频率、样本容量与频数之间的关系，考查计算实力，属于基础题.5.阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是______.【答案】240【解析】【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当时，满意条件，退出循环，输出S的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解.【详解】解：执行程序框图，有，；不满意条件，，；不满意条件，，；不满意条件，，；…不满意条件，，；不满意条件，，；满意条件，退出循环，输出.故答案为：240.【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，等差数列求和，属于基本学问的考查.6.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为________.【答案】【解析】【分析】设抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，进而可得出抛物线的焦点到准线的距离.【详解】设抛物线的标准方程为，代入点得，得.因此，抛物线的焦点到准线的距离为.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的焦点到准线的距离，解答的关键在于求出抛物线的标准方程，考查计算实力，属于基础题.7.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为__________．【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点，再求双曲线的渐近线，再求焦点到渐近线的距离.【详解】由题得抛物线的焦点为（1,0），双曲线的渐近线为所以焦点到渐近线的距离为.故答案为【点睛】(1)本题主要考查抛物线和双曲线的简洁几何性质，意在考查学生对这些学问的驾驭水平和分析推理实力.(2)点到直线的距离.8.已知四棱锥的底面是边长为2，锐角为的菱形，侧棱底面，，若点M是的中点，则三棱锥的体积为______.【答案】【解析】【分析】由可知，则.【详解】解：∵底面是边长为，锐角为的菱形，，∵底面，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题.9.以抛物线的焦点为焦点，以直线为渐近线的双曲线标准方程为______.【答案】【解析】【分析】设以直线为渐近线的双曲线的方程，再由双曲线经过抛物线焦点，能求出双曲线方程.【详解】解：设以直线为渐近线的双曲线的方程为（），∵双曲线经过抛物线焦点，∴，∴，∴双曲线方程为：.故答案：.【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查抛物线的方程，是基础题，解题时要仔细审题，留意双曲线简洁性质的合理运用.10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是____cm3.【答案】【解析】【分析】依据圆锥的侧面积等于底面面积的倍，计算圆锥的母线长,得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，设，，解得，圆锥的高，圆锥的，故答案为.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式、圆锥的体积公式以及圆锥的几何性质，意在考查空间想象实力，意在考查综合应用所学学问解决问题的实力.11.设是上的奇函数，当时，，记，则数列的前项和为________．【答案】【解析】【分析】通过是上的奇函数及当时的表达式可求出的值.【详解】由于函数是上的奇函数，且当时，，所以，数列的前项和为.故答案为：.【点睛】本题考查的是有关奇函数性质的应用，以及对应的数列的求和问题，考查计算实力，属于中等题.12.过曲线上一点处的切线分别与轴，轴交于点、，是坐标原点，若的面积为，则_．【答案】【解析】【分析】求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x=0和y=0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式，解方程可得切点的横坐标．【详解】由题意可得y0=x0﹣，x0＞0，∵y′=1+，∴切线的斜率为1+，则切线的方程为y﹣x0+=（1+）（x﹣x0），令x=0得y=﹣；令y=0得x=，∴△OAB的面积S=，解得x0=（负的舍去）．故答案为【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些学问的驾驭水平和分析推理实力.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.13.在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满意的点有且只有两个，则实数的取值范围是________．【答案】.【解析】【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b的不等式即可求得实数的取值范围.【详解】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y)，则∵PB=2PA，，∴(x−4)2+y2=4(x2+y2)，∴x2+y2+=0，圆心坐标为,半径为，∵动点P在直线x+y−b=0上，满意PB=2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+=0相交，∴圆心到直线的距离，∴，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若集合，则实数的取值范围为．【答案】【解析】【分析】把时的改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得时的函数的最大值，条件等价为对，都有，进行转化求解即可求解该不等式得答案．详解】若，则等价为恒成立，即恒成立，当时，．若，则当时，，是奇函数，若，则，则，则，，综上，此时函数为增函数，则恒成立，若，若时，；当时，；当时，．即当时，函数的最小值为，由于函数是定义在上的奇函数，当时，的最大值为，作出函数的图象如图：由于，，故函数的图象不能在函数的图象的上方，结合图可得，即，求得，综上，故答案为：.【点睛】本题考查函数不等式恒成立，考查数形结合思想与分类探讨思想的应用，属于难题.二、解答题；本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且.（1）求角B的大小；（2）若，的外接圆的半径为1，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用平面对量垂直的坐标运算，结合正弦定理和余弦定理可求的值，结合B的范围即可求出B的值；（2）由已知利用余弦定理，勾股定理的逆定理可得，依据三角形的内角和定理可求，进而利用正弦定理可求a，b的值，依据三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）∵，，且，∴，∴，∴，∴由，可得；（2）∵，∴，整理可得：，可得，∴，∵的外接圆的半径为1，由正弦定理可得，∴解得：，，∴.【点睛】本题主要考查了平面对量垂直的坐标运算，正弦定理和余弦定理，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等学问在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.16.如图，在直四棱柱中，、分别是、的中点，与交于点．（1）求证：、、、四点共面；（2）若底面是菱形，且，求证：平面．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连接，由中位线的性质可得，并证明出，利用平行线的传递性得出，进而可证得结论；（2）先由直棱柱证得侧棱，再由菱形得从而可推得平面，即．最终结合已知条件，推证平面．【详解】（1）连接，因为、分别是、的中点，所以．由直棱柱知且，所以四边形为平行四边形，所以．所以，故、、、四点共面；（2）连接，因为直棱柱中平面，平面，平面，所以．因为底面是菱形，所以．又，所以平面．因为平面，所以．又，，平面，平面，所以平面．【点睛】本题考查四点共面的证明，同时也考查了线面垂直的证明，考查推理实力，属于中等题.17.已知函数.（1）若函数（，）的定义域为，求实数a的取值范围；（2）当时，恒有不等式成立，求实数a的取值范围.【答案】（1），且；（2）【解析】分析】（1）由题可知在上恒成立，利用二次函数的性质可得a的范围；（2）整理不等式得，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可.【详解】（1）由题意可知，在上恒成立，∴，∴，且；（2）∵，∴，令，∴，令，解得，当时，，递增；当时，，递减；∴，∴.【点睛】考查了对数函数，二次函数的性质和恒成立问题的转换.难点是利用导函数求出构造函数的最小值，考查计算实力，属于中等题.18.如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面2米，视察者从距离墙米，离地面高米的处欣赏该壁画，设欣赏视角（1）若问：视察者离墙多远时，视角最大？（2）若当改变时，求的取值范围.【答案】（1）（2）3≤x≤4．【解析】试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，依据基本不等式求最值，最终依据正切函数单调性确定最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分别得，再依据a的范围确定范围，最终解不等式得的取值范围.试题解析：（1）当时，过作的垂线，垂足为，则，且，由已知视察者离墙米，且，则，所以，，当且仅当时，取“”．又因为在上单调增，所以，当视察者离墙米时，视角最大．（2）由题意得，，又，所以，所以，当时，，所以，即，解得或，又因为，所以，所以的取值范围为．19.在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：的切线l，过点O且垂直于的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.【答案】（1）；（2）在，证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得，，，则椭圆方程可求；（2）设（），当时和时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当时，求出过点O且垂直于的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上.【详解】（1）由题意得：，，又，联立以上可得：，，.∴椭圆C的方程为；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为，不妨取，设（），则，∴过原点且与垂直的直线方程为，当时，过P点的圆的切线方程为，过原点且与垂直的直线方程为，联立，解得：，代入椭圆方程成立；同理可得，当时，点A在椭圆上；当时，联立，解得，，所在直线方程为.此时原点O到该直线的距离，∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种状况的A也在椭圆C上.综上可得，点A在椭圆C上.【点睛】本题是新定义题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算实力，属难题.20.已知数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项是公差为的等差数列，是数列的前项和，（1）若，求；（2）已知，且对随意的，有恒成立，求证：数列是等差数列；（3）若，且存在正整数，使得，求当最大时，数列的通项公式.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用题意列出方程组，求得、的值，据此可得的值；（2）结合（1）的结论证得，即可说明数列是等差数列；（3）分类探讨的奇偶性即可得到数列的通项公式为.【详解】（1）依据题意，有，，，，，由，得，解得，因此，；（2）证明：当为偶数时，恒成立，，，且，当为奇数时，恒成立，，，，，，，，，则，因此，数列是等差数列；（3）若，且存在正整数、，使得，在、中必定一个是奇数，一个是偶数.不妨设为奇数，为偶数.，，，，为奇数，为偶数，的最小正值为，此时，，因此，数列的通项公式为.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等差数列通项公式的求解，考查计算实力，属于中等题.[选做题]本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.求矩阵的特征值及对应的特征向量.【答案】，特征向量为；，特征向量为【解析】【分析】先依据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.【详解】解：特征多项式，由，解得，；将代入特征方程组，得，，可取为属于特征值的一个特征向量.同理，当时，由,所以可取为属于特征值的一个特征向量.综上所述，矩阵有两个特征值，；属于的一个特征向量为，属于的一个特征向量为.【点睛】本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础学问，属于矩阵中的基础题.22.在平面直角坐标系中，曲线C：（为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线l的极坐标方程为，求曲线C上的点到直线l的最大距离.【答案】【解析】【分析】由，，可得直线的一般方程，由点到直线的距离公式可得曲线C上的点到直线的距离，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求最大距离.【详解】解：由，，可得：直线l的一般方程为，曲线C上的点到直线l的距离为.当，即，，取得最大值.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式和正弦函数的值域的运用，考查运算实力，属于中档题.23.设、均为正数，且，求证：.【答案】见解析【解析】【分析】作差再利用均值不等式得.【详解】因为，，，=，所以．【点睛】本题考查不等式的证明，考查三元基本不等