流体力学-3-1-3-2扩散方程及其基本解

第二部分水流运动的基本规律第三部分流体中物质输运的基本理论及解析解分子扩散第五部分射流、羽流及浮射流第六部分水质模拟第七部分数值模拟方法基础第一部分绪论紊动扩散剪切流离散第四部分污染物在河流中的扩散与混合移流扩散前面所讨论的基本方程（连续性方程、动量方程、能量方程）反映了质量、动量、能量在流体中的“输运”过程。实际上就是在流体运动过程中，流体挟带其自身所具有的质量、动量和能量，由一处输运到另一处。这是一种完全由宏观流动所决定的随流输运。质量、动量、能量的随流输运分别和质量守恒定律、牛顿第二定律和热力学第一定律（能量守恒定律）相联系。质量、动量和能量的输运还可以通过不同的物理机制，即通过分子运动和分子相互作用而输运的机制。这些输运有一个显著的共同点，就是在宏观上表现为：存在着浓度、温度或动量梯度，从而产生某种“驱动力”，使质量、热量、动量朝着浓度、温度、动量减小的方向输运。流体中质量的分子输运现象又称为质量扩散，以下讨论的分子扩散方程描述的是污染物在水中的分子输运现象。同时考虑污染物的分子输运和随流输运，即可得到移流扩散方程。流体中含有的污染物是示踪质，在扩散和输移过程中不发生化学或生化反应，且其存在不改变流体质点的流动特性，即不影响流动。整个运动过程中，流体质点带有的示踪质在数量上是保持不变的，流体质点与质点之间不发生示踪质的转移，示踪质的扩散完全是由于带有示踪质的流体发生掺混的结果。环境流体力学的迁移扩散理论中有以下假定：因此对于不可压缩流体，带示踪质的流体质点的总体积在扩散过程中保持不变，其占据的空间范围即其轮廓的形态则是随时间变化的。注：由于扩散质的存在而对流动产生影响的情况在实际中是存在的，如热污染的散布、海水和淡水的掺混等问题需要考虑流体密度变化的影响，更复杂的还牵涉到生化作用所产生物质的发生与衰减。

第三部分(1)扩散理论§2

分子扩散的费克定律，分子扩散方程§3

移流扩散方程§4

紊动扩散§1

几个基本概念单位体积流体中含有物的质量浓度工程中常用的浓度表示方法1千克水中含有1毫克含有物时，浓度为1ppm1千克水中含有1微克含有物时，浓度为1ppb常用单位：mg/L或g/L一般而言，水体中含有物的浓度是时间和空间坐标的函数§1.1浓度与稀释度平均浓度时间平均浓度空间平均浓度流量平均浓度样品组合平均浓度相对浓度P与稀释度S若S=1，P=1，表明污水未得到任何稀释若

，P=0，表明样品中不含污水，为纯净水体把受纳水体中原本已含有的某种物质的浓度称为背景浓度用Cs表示背景浓度，Cd表示排入污水中含有物的质量浓度，则该物质最终在受纳水体中存在的实际浓度（质量浓度）C:背景浓度

第三部分(1)扩散理论§2

分子扩散的费克定律，分子扩散方程§3

移流扩散方程§4

紊动扩散§1

几个基本概念§2分子扩散的费克定律，分子扩散方程两种不同物质通过它们的分子运动而互相渗透的现象称为分子扩散。物质的分子扩散可以借助四种推动力发生：浓度梯度、温度梯度、压力梯度或其他作用力梯度。由这些不同原因而引起的扩散分别称为：浓度扩散、温度扩散、压力扩散和强制扩散。实际问题中，污染物扩散过程中分子扩散所占的比重通常很小，就分子扩散本身而言，除了微观的化学与生物反应外，在环境问题中并没有直接的重要意义。但是在许多情况下，环境中的污染物扩散与分子扩散有类似之处，其研究可借用分子扩散的基本思想。一、费克（Fick)第一定律单位时间内通过单位面积的溶质量与溶质浓度在该面法线方向上的梯度成正比，即式中：F—溶质在

n

方向的单位扩散量，kg/m2s；

D—溶质的扩散系数，随溶质与溶液种类和温度、压力而变化，单位为m2/s；

C—溶质的浓度，kg/m3

；费克第一定律该公式是一个梯度型的经验公式，公式中负号表明溶质扩散的方向与浓度梯度的方向相反，即从浓度高处向浓度低处扩散。

为建立污染物浓度随时间和空间的关系式，在静止流体中

设微元六面体边长分别为dx，dy，dz，中心点坐标（x,y,z）,单位扩散量F在三个坐标上的分量分别为Fx

，Fy，Fzx取微元六面体，分析污染物扩散量的变化规律。yzoxyzdxdydz二、分子扩散方程——费克第二定律流出六面体污染物的扩散量为

x方向流入与流出六面体污染物扩散量的差值则为

首先分析dt

时间内

x方向上污染物的扩散量变化。

按泰勒级数展开得流入六面体污染物的扩散量为同理

y方向流入与流出六面体污染物扩散量的差值为

根据质量守恒原理，dt

时间内进出微元六面体污染物扩散量之差的总和应等于该时段内六面体内因浓度变化引起

的污染物的增量，即

z方向流入与流出六面体污染物扩散量的差值为或者

上式可改写为

由费克第一定律若污染物扩散为各向同性，即Dx=Dy=Dz=D，上式可改写为或者

若扩散发生在二维空间，扩散方程可简化为或对一维扩散，则有分子扩散方程（费克第二定律）或

第三部分(1)扩散理论§2

分子扩散的费克定律，分子扩散方程§3

移流扩散方程§4

紊动扩散§1

几个基本概念§3移流扩散方程如果环境流体是流动的，示踪质除因分子扩散而发生迁移外，还会随流体质点一起流动而产生迁移，这种随流迁移现象称为移流输送（或随流传输）。因此在流动的流体中，示踪质浓度的变化要把分子扩散和随流传输两部分都考虑在内。假定分子扩散传输和移流传输可以分别计算然后迭加：

上式中的第一项为移流输送引起的污染物通量，第二项为分子扩散引起的通量。

根据质量守恒定律，从微元六面体流入流出的污染物质量差应等于相同时段内六面体中污染物质量的增量，参照分子扩散的分析，得三维移流扩散方程为

同理二维移流扩散方程为

一维移流扩散方程为

移流扩散方程移流扩散方程表达了在层流情况有分子扩散作用下示踪质的浓度时空变化规律。

第三部分(1)扩散理论§2

分子扩散的费克定律，分子扩散方程§3

移流扩散方程§4

紊动扩散§1

几个基本概念在紊动扩散研究中，有拉格朗日法和欧拉法之分。实验证明，拉格朗日法扩散方程形同分子扩散，只需将分子扩散系数D

换成紊动扩散系数

E

即可。§4紊动扩散——紊流扩散方程紊动扩散指紊流脉动引起的物质传递。实践证明，紊动引起的物质扩散远大于分子扩散，因此在紊流条件下通常忽略分子扩散的作用。本节仅讨论欧拉法。分子扩散方程表达的是静止流体中示踪质的迁移规律；移流扩散方程表达的是层流情况下示踪质的迁移规律（含分子扩散）；而实际问题中的流动通常是紊流，需要研究紊动扩散。一、概述未考虑流场和浓度场的脉动，流动仅限层流，前面讨论过的移流扩散方程在该层流移流扩散方程的基础上，考虑流场和速度场的脉动，将方程转化为适合紊流情况的移流扩散方程——紊流扩散方程。二、紊流扩散方程推导根据紊流时均化理论：瞬时值等于时均值与脉动值之和代入移流扩散方程，并对方程取时均，可得紊流扩散方程式中为时均运动产生的移流扩散项，等项则为脉动引起的的紊动扩散项。雷诺时均法：紊流=时均流动+脉动附：雷诺时均法则运算法则：设f，g为二随机变量的瞬时值，为它们的时均值，为脉动值，根据雷诺时均的定义可以得到以下时均法则：根据紊流时均化理论：瞬时值等于时均值与脉动值之和代入移流扩散方程，并对方程取时均，可得紊流扩散方程式中为时均运动产生的移流扩散项，等项则为脉动引起的的紊动扩散项。对紊动相关项需要进行模化，参照流体力学紊流理论

（Boussinesq假设），找出脉动项与时均特性的联系。式中Ex，Ey，Ez

为三个坐标方向的紊动扩散系数，通常为各采用比拟分子扩散费克定律的方法，即向异性，并且可能是空间坐标的函数。将上述式代入紊流扩散方程并略去分子扩散项，得若只考虑一个方向的流动，即ux=u，uy=uz=0，上式可为假定紊动扩散系数均为常数，则有紊流扩散方程紊流的移流扩散方程与层流的移流扩散方程相比，增加了由于脉动而引起的扩散项，其扩散通量和紊动扩散系数E密切相关。三、对紊动扩散系数的几点说明分子扩散系数D是由物质特性决定的一个系数，而紊动扩散系数E和流场特性密切相关，主要取决于大尺度的涡旋运动。对于不同的扩散质，如动量、能量、热量和各种含有物质，其扩散系数是否相同？因为假定在扩散过程中，示踪质在质点之间没有任何转移和交换，在此假设下，不论哪种示踪质，扩散系数应该是相等的。这种假说成为雷诺比拟。实际上，不同示踪质的扩散系数是有一定差异的，与各种扩散质的特性有关。按已有研究，认为热量和含有物浓度的扩散，其紊动扩散系数是一样的。分子扩散方程（费克第二定律）总结：描述污染物（示踪质）迁移规律的基本方程组1.污染物在静止流体中发生分子扩散层流移流扩散方程2.污染物在层流中发生分子扩散和随流传输运动方程：连续方程：总结：描述污染物（示踪质）迁移规律的基本方程组3.污染物在紊流中发生分子扩散、随流传输和紊动扩散连续方程：雷诺方程：紊流扩散方程总结：描述污染物（示踪质）迁移规律的基本方程组严格来说，物质扩散方程应和流体运动的基本方程组（连续方程和运动方程）耦合求解包含浓度的所有基本量。在示踪质假定下，因为示踪质的存在不影响流场特性，因此可以将流场和浓度场分开求解，先由流动基本方程组（连续方程和运动方程）求出流场，然后在已知流速分布的条件下求解扩散方程。基本方程组由物质扩散方程和流体运动的基本方程组（连续方程和运动方程）组成。基本方程组的求解方法概述本暂不讨论流动基本方程组（连续方程和运动方程）的求解问题，仅讨论在已知流速分布的条件下扩散方程的求解。对于静止或均匀流动中的扩散问题，在一些简单情况下，可以求得解析解。①在静止和均匀流动中的扩散扩散方程的求解途径②剪切流中的一维纵向离散将三维的扩散方程通过积分简化成一维，采用过流断面上的平均流速和平均浓度来计算，求得的解是断面平均浓度沿纵向的分布，这方面工作已有较多研究成果，是目前解决实际问题的重要途径。③剪切流中的二维离散将三维的扩散方程通过积分简化成二维，采用垂线上的平均流速和平均浓度来计算，求得的解释垂线平均浓度在平面上的分布。对于河流、湖泊、水库中的污染物扩散，由于受岸边建筑物和地形的影响，一维简化不能满足计算要求，需按二维离散分析。二维以上的计算通常都采用数值解法，针对通用微分方程编制计算程序进行求解，常用有限差分法和有限元法。④数值解法扩散方程的求解途径⑤物理模型复杂边界条件下的扩散问题常采用缩尺物理模型进行研究，通过实验量测流速和污染物浓度分布情况。⑥现场观测在天然流场中进行污染物浓度观测，得到的资料最真实可靠。但是受条件限制，一般难以获得全面系统的资料。比较常用的方法是利用现场观测得到的资料来确定扩散方程中的经验系数，然后利用数学方法对扩散方程进行求解。

第三部分（2）扩散方程的基本解§1

静止流体中瞬时源和连续源的扩散§2

移流扩散方程的求解§3

均匀紊流中的扩散§1静止流体中瞬时源和连续源的扩散分子扩散方程（费克第二定律）描述静止流体中污染物扩散的基本方程本节的主要任务就是讨论不同具体情况下该方程的解析解，分别针对以下情况加以讨论：静止流体中的扩散只有分子扩散。点源扩散（一维、二维、三维)分布源扩散（一维、二维、三维）瞬时源连续源（一维、二维、三维）固体边界的反射大气中扩散的逆温层反射一侧有边界的情况两侧有边界的情况有边界反射情况的扩散无限空间中的扩散静止流体中的扩散问题一、瞬时源的扩散1.点源（集中投入的情况）①瞬时点源一维扩散取一水平放置的无限长水管，管径较小，管中充满水。在管中间断面瞬时投放颜色水。假定颜色水在投放断面上浓度均匀，密度与水相同。

取坐标如图，原点与投放断面重合。

由于管壁的限制，颜色水沿管轴向两端做一维扩散。ox

采用量纲分析法探讨浓度分布的组成。根据分析，任意根据量纲分析法，可得浓度与其相关量的函数关系为时刻在x

方向某一点浓度C与污染物投放质量M、扩散系数D、坐标

x与时间

t

有关。在一维问题中，C

的量纲是[M/L]，该量等于由M、D、t

组合而成的量纲

对一维扩散有令将上式分别对时间t和坐标x

求导，即于是代入一维扩散方程，得即

特解为此式的通解为解此常微分方程，得于是式中A

为积分常数。

将前式代入并积分

假定扩散物质质量守恒，即任何时刻分布在扩散空间内可以证明两边比较得常数A=1。污染物总量保持不变，那么，于是上式可为

最终得瞬时点源一维扩散方程的基本解为：利用此式可求出任何时刻沿

x

方向污染物的浓度。

显然，此式为高斯分布的表达式。

若以时间t

为参量，则可画出浓度C

沿x

轴的分布。

由图中可见，随着时间的增长，扩散范围变宽而峰值浓度变低。在t接近零时，峰值浓度最大。Coxt1t2t3t1＜t2＜t3为浓度分布函数的p

阶浓度矩。如：

浓度分布特性

浓度分布曲线的许多特性常借助于浓度矩来说明。

定义

零阶浓度矩

一阶浓度矩

二阶浓度矩

三阶浓度矩

令浓度分布曲线的重心与坐标原点间的距离为μ，由浓

显然，零阶浓度矩代表浓度分布曲线与x轴所围面积，即全部扩散物质的质量，因此任何时刻零阶矩M0

均为常数。度矩的定义可知或

若将x

轴坐标原点取在源平面处，质量中心坐标μ=0，此时一阶浓度矩为零。浓度分布曲线为轴对称。

令σ2为浓度分布的方差，则有

将上式展开并将浓度矩表达式代入，得显然，方差随时间

t

的增

方差σ2是衡量浓度分布曲线扩展宽度的一种尺度，σ2越小，表示曲线越是集中在均值附近。

将前面解得的浓度分布函数代入前式，得方差和标准差分别为和加而增大，时间越久，扩

散宽度越大。

o

x

-x

C

σ=0.5

σ=1.0

σ=2.0

将方差对时间求导，得

假定在较小的时间段内，以差分式代替微分式

已知不同时刻的浓度分布，根据上式可计算出分子扩散系数D

的值。

从理论上讲，浓度分布曲线向x

轴两端无限延伸。但可以证明，在以对称轴为中心的分布宽度为4σ的范围内，浓度分布曲线与x

轴所围面积可达总面积的95%，因此从实用的观点考虑，可认为其分布宽度为4σ。若坐标原点与源平面重合，分布区间为[-2σ,2σ]，若相距μ，则为[μ-2σ,μ+2σ]。

将方差表达式代入浓度分布公式，得oxC-3σ-2σ-σ3σ2σσ0.10.34σ

[例1]有一长直矩形断面明渠，宽100m，水深5m，水流近似为均匀流，断面平均流速为0.3m/s。为求横向扩散系数，在渠道某断面（x=0）水面中心以瞬时点源方式投放示踪剂。下表为下游x=450m处水面的横向浓度分布，其中y=0为水面中心点。首先根据一阶浓度矩和零阶浓度矩求实测浓度分布的形心：y(m)272421181512963C1716223142558086860-3-6-9-12-15-18-21-24878774666052453022解：瞬时点源沿河宽作分子扩散，浓度沿河宽方向呈正态分布其中零阶矩浓度M0与一阶矩浓度M1采用数值法（差分）算得再求浓度分布的方差：μ=-0.13m

。计算，即二阶矩浓度为：方差为：最后求横向扩散系数：因此，当t1=0时，σ1=0，故而设有一质量为M

的瞬时点源投放于一无限宽平面上。将坐标原点取在源上。污染物在通过原点的二维空间（xoy平面）扩散，其浓度在xoy

平面上的分布符合二维扩散方程：

假设在xoy

平面上任一点的浓度C(x,y,t)由两部分浓度C1(x,t)和C2(y,t)的乘积构成，即

代入二维扩散方程得②瞬时点源二维扩散或者显然，上式成立的条件是各括号内的量分别为零，即解则应为C1

和C2

各自满足瞬时点源一维扩散方程的解，故二维扩散的式中为瞬时投放质量。同理可求得瞬时点源在三维无限空间扩散的浓度函数式中为瞬时投放质量。③瞬时点源三维扩散①一维起始无限分布源的扩散

设一无限长管道，左半部充满各点初始浓度均相同的污染物液体，右半部为清水。2.分布源（空间上分布投入的情况）这种型式的污染源称为一维其实无限分布源。

取x

轴与管轴一致，坐标原点设在分界面。原点左侧的污距离为ξ，根据瞬时平面源一维扩散解，任意微元面源扩散至分布源扩散区x-xo染物连续体可看作由无数个微元面源组成，每个面源的厚度为无穷小dξ，每个微元面源的质量为dM=C0dξ，C0为起始浓度。设o

点右侧一点p，p到

o

点的距离为x，到某微元面源的p点的浓度dC

为pxξdξ在指定时刻，p

点的污染浓度应等于各微元面源扩散至该点浓度的叠加，即

在数学上，称为误差函数。

误差函数具有如下性质：

此外，余误差函数可表示为误差函数与余误差函数间存在下列关系:引入误差函数后，p

点污染物浓度可表示为或者利用上式，可画出某一指定时刻相对浓度C/C0沿x

轴的分布。0

可以看出，虽然分布源在左半部为无限长，但实际上起作反，当0.20.40.60.81.0-2-1012用的只是其中一部分。因为当时，C/C0

近乎等于1.0，即当的那部分的浓度几乎没有降低。相的那部分的浓度几乎没有增加。设沿x

轴有一起始浓度均匀、分布宽度为2a

的有限分布源，坐标原点设在有限分布源中心

一维有限分布源与前面o

dξ

2a

Cξx讨论的一维无限分布源仅仅是积分区间不同，因此其沿x

方向扩散区内任意点浓度为②一维起始有限分布源的扩散或者

二维起始有限分布源也就是瞬时有限面源。分布浓度为②二维起始有限分布源的扩散③三维起始有限分布源的扩散

三维起始有限分布源也就是瞬时有限体积源。分布浓度

误差函数值可通过已知图表查得。点源扩散（一维、二维、三维)分布源扩散（一维、二维、三维）瞬时源连续源（一维、二维、三维）固体边界的反射大气中扩散的逆温层反射一侧有边界的情况两侧有边界的情况有边界反射情况的扩散无限空间中的扩散静止流体中的扩散问题

设

x

轴坐标原点有一浓度为C0

的点源，应用一维扩散方程：

初始条件：

当t=0时，对各处，C=0；边界条件：

在x=0处，对t＞0个时刻，C=C0。二、时间连续源的扩散本节只讨论恒定状态下，即单位时间污染物投放量不变的情况。①时间连续点源的一维扩散

采用量纲分析法，组成如下形式：令于是式中于是而因为所以得扩散方程

或者采用拉普拉斯变换求解上述方程，得浓度函数的解为利用上式，可画出以

t

为参数的相对浓度C/C0沿x

轴的分布。1.0t=t1

t=t2

t=t3

t1＜t2＜t3xr2=x2+y2+z2。对于时间连续点源的三维扩散有式中m

为单位时间投放的污染物质量；②时间连续点源的三维扩散点源扩散（一维、二维、三维)分布源扩散（一维、二维、三维）瞬时源连续源（一维、二维、三维）固体边界的反射一侧有边界的情况两侧有边界的情况有边界反射情况的扩散无限空间中的扩散静止流体中的扩散问题

实际工程中，由于存在水体岸边，污染物扩散至岸边时，有两种极端可能，一种是污染物被岸边完全吸收，另一种则是被岸边完全反射。本节仅讨论后者。三、有边界反射情况下的扩散有一瞬时平面源沿

x方向一维扩散，且在距其L

处存在一完全反射的固体边界。现引入镜象原理。设现有的瞬时平面源为真源，设想在固体壁面即反射面另一侧L

处也存在一强度相等的瞬时平面源，称之为虚拟源。真源虚拟源边界xCLL①一侧有边界反射1.固体边界的反射

由于真源与虚拟源扩散量相同，扩散方向相反，因此在壁面当x=L

时（在固体壁面上），上形成了扩散物质净通量为零，与真实情况相同。

在x轴上，任意点的污染物浓度应为真源与虚拟源所产生的浓度之和，即

[例]在室内水槽进行扩散试验，设水槽右端为封闭，左端很长。在水槽距右端10m的断面A-A以平面源方式瞬时投放示踪剂。试计算投放后10分钟，在距右端5m的B-B断面及A-A断面左方10m的C-C断面上的示踪剂浓度。投放量M=1kg/m2,已知扩散系数为200cm2/s。计算中要考虑右边界反射。若不计边界反射，B-B断面及C-C断面的浓度又是多少？（1）考虑右端边界的反射作用，应在右端边界的右侧10m处再设一虚拟像源解：瞬时平面源一维分子扩散，一侧（右侧）有边界，令水槽长度方向为x方向，原点位于投放源点（断面A-A）位置，水槽右端边界距投放源L=10m。

B-B断面，x=5m，代入数据计算得：

C-C断面，x=-10m，代入数据计算得：则x轴上任一点的浓度应该为真源和像源所产生的浓度之和：

（2）若不考虑右端边界的反射作用，则为简单的瞬时平面源一维分子扩散，浓度计算式为：

B-B断面，x=5m，代入数据计算得：

C-C断面，x=-10m，代入数据计算得：

由计算结果可见，边界反射对距边界较近的B-B断面有一定影响，对距边界较远的C-C边界影响很小。如果实际源在两个平行边界中间，一个边界在x=-L处，另一个边界在x=+L处。求解时要叠加两个虚拟源，其位置分别为x2=-2L和x2=+2L以满足边界条件；在x2=-2L处的源所产生的浓度场扩散至x2=+L的边界时仍会有一个浓度梯度，而需要在x2=+4L处的映像虚拟源来抵消这个浓度，依此类推，需要设置一系列的映像虚拟源才能完全代替边界反射作用。真源虚拟源边界xCLL②两侧有边界反射L边界L虚拟源叠加后的浓度分布可由下式表示：实际应用时，求有限项，如，已可得到较好的近似解。

[例3]一废弃的采石场集水后形成底面积为200×200m、水深为50m的立方体水池。附近工厂将含有4000kg有害物质的废水用水泵送入池底。设有害物质在池底均匀分布，且池底与池壁对该物质完全不吸收。若该物质在水体中的扩散系数为1.0cm2/s，试估算一年后水池水面有害物的浓度。

水面：x=50m；t=365d；D=1.0cm2/s=8.64m2/d；解：有害物质在池底均匀分布，可按瞬时平面源一维分子扩散考虑。因底部完全不吸收，即底部边界发生完全反射，按镜像法计算，相当于源点的有害物质投放质量为2M根据瞬时平面源一维分子扩散的基本解：若不考虑水面的反射作用，则底部一年后底部污染物质扩散至水面的浓度为：=0.82×10-3kg/m3到达水面后不再继续扩散，因此需计及水面的反射作用。在距水面以上50m处设一虚拟像源，其浓度与池底浓度相等。若只计因此一年后水面污染物的真实浓度应为:通常情况下扩散到水面的污染物不向空气中挥发，即污染物一次反射，一年后此虚拟源扩散至水面的浓度亦为0.82×10-3kg/m3，C=2×0.82×10-3=1.64×10-3kg/m3移流扩散方程污染物在层流中发生分子扩散和随流传输描述层流中污染物迁移规律的基本方程组§2移流扩散方程的求解本节的主要任务是讨论不同具体情况下移流扩散方程的解析解，仍针对瞬时源和连续源分别进行讨论。通常情况下，水流均具有明确的主流方向，流速在其他两方向的分量，如uy

与uz

可忽略不计，并设主流方向的流速ux为平均流速u

。

采用动坐标系法求解移流扩散方程。设坐标系随移流按主

就可直接使用分子扩散情况瞬时点源的解，即

流平均流速随主流一同运动，于是在坐标系上只有分子扩散，

没有移流问题。这样只要对运动方向的坐标进行变换，即

一、瞬时点源的移流扩散对于二维问题对于一维问题

时间连续点源可看作是无穷多个瞬时点源mdτ的叠加，其中

m为单位时间污染物的投放强度，

dτ为微元时间段。

同样采取动坐标系，引用分子扩散的结果，得浓度分布函数关系为

二、时间连续点源的移流扩散令

则且当

令τ=0时，

τ=t

时，

代入前面的浓度分布函数关系中，得假设时间足够，即

t→∞，则那么可以证明，当β1＞0时，于是可得

由于移流作用，沿流动方向等浓度线将形成狭长的椭圆状，因此在源下游较远处区域，r

值可由下列近似关系表示或

以及

从而可得时间连续点源三维移流扩散浓度分布的简化式

二维分布则为

[例2]有一长直矩形断面明渠，宽100m，水深5m，水流近似为均匀流，断面平均流速为0.3m/s。若在

y=0断面中心以强度不变的恒定时间连续点源投放示踪剂，试问在下游什么位置水面上可出现岸边浓度为中心浓度的40%？令y=0得明渠中心线上浓度分布为

计算岸边浓度时应考虑边界反射的影响。鉴于对岸的反射的影响较之同一岸发射影响小得多，因而可以略去，故只考虑同岸的一次反射，而不计及对岸的影响。

解：时间连续点源二维移流扩散问题，水流沿主流方向（x方向）流速为u，其他方向流速为0，此情况下时间连续点源二维移流扩散的基本解为：

在同岸后方距岸为W/2处设一虚拟像源，任一点的浓度应该为真源和像源所产生的浓度之和：yCW/2W/2真源像源河岸真源产生浓度（将y=W/2代入基本解)：像源产生浓度（将y=W/2代入基本解)：岸边浓度等于两者之和：故投放点下游2428m处岸边浓度为中心浓度的40%。则§3均匀紊流中的扩散紊流中的污染物迁移规律应该按紊流扩散方程分析。紊流扩散方程在复杂的流动情况下求解是非常困难的，但在单向均匀流动中，即假设各处流速均为的情况，能求出解析解。紊流扩散方程取动坐标系，动坐标系以速度u移动，则：代入紊流扩散方程可得：坐标变换后的方程形式和静止流体中的分子扩散方程相同，可参照静止流体中分子扩散方程的求解方法。差别在于：坐标变为，分子扩散系数D变为紊动扩散系数E。一、均匀紊流中瞬时源扩散①瞬时（面）源的一维扩散这种情况只需将静止流体中瞬时源的扩散的解按上述原则改写即得。浓度解为：（为书写方便，略去时均符号，以下同）②瞬时（线）源的二维扩散浓度解为：③瞬时点源的三维扩散浓度解为：均匀紊流中分布源和连续源的扩散也可参照同样的方法分析。

[例4]在长20m，宽1m，水深5m的封闭矩形水槽中进行紊动扩散试验，紊动是借助一个垂直平面系统的振动来发生。在t=0时刻，将0.4kg/m的示踪物质以瞬时平面源的形式释放于槽中，释放位置距水槽左端2.5m。若紊动扩散系数E=0.01m2/s，试计算在源平面与左端面之间的中间断面A-A上出现最大浓度的时间及最大浓度值。源AA2.520解：瞬时平面源在静止水体中作一维紊动扩散，其基本解可参照瞬时平面源的一维分子扩散方程基本解，将分子扩散系数D换成紊动扩散系数为E即可计水槽长度方向为x方向，坐标原点位于投放源的位置，则瞬时平面源一维紊动扩散的基本解为：xO源A-A断面，x=1.25m，代入基本解AA2.520t为未知量，令dC/dt=0得出现最大浓度的时间和最大浓度为若不考虑边界的反射作用，则直接按基本解可求得A-A断面的浓度xO源AA2.520xO2.5若考虑左侧端部的反射，仅计一次反射，则应在水槽左侧边界以左2.5m处设一虚拟像源，真源和像源相距2L=5m.则任一点浓度为真源与像源浓度之和：式中，x=1.25m，L=2.5m，t为未知量，为简化分析，令令

dC/dt=0得反射后出现最大浓度的时间和最大浓度为试算得

[例5]设一烟囱所排废气的有效点源距地面高度为50m，气流速度与x

同方向，u=5