2024-2025学年高一数学必修第一册（配湘教版）教学课件 4.5.2 形形色色的函数模型

第4章幂函数、指数函数和对数函数4.5.2形形色色的函数模型课标要求1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一常见的函数模型(1)一次函数模型y=kx+b(k,b为常数,k≠0)(2)二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)(3)指数函数模型y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0,且a≠1)(4)对数函数模型y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0,且a≠1)(5)幂函数模型y=axn+b(a,b为常数,a≠0)(6)分段函数模型

过关自诊某城市现有人口数为100万,如果20年后该城市人口总数不超过120万,那么该市年人口自然增长率大约应控制在多少?解

设该市年人口自然增长率为x,依题意得100×(1+x)20≤120,所以(1+x)20≤1.2,两边取常用对数,得20lg(1+x)≤lg

1.2,即lg(1+x)≤

lg

1.2,解得x近似小于或等于0.9%.所以该市年人口自然增长率大约应控制在0.9%.知识点二拟合函数模型数学建模的步骤:(1)正确理解并简化实际问题;(2)建立数学模型;(3)求得数学问题的解;(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较,验证模型的准确性、合理性和适用性.过关自诊某商场在空调销售旺季的4天内的利润如下表所示:时间1234利润/千元23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的(

)A.y=log2x

B.y=2xC.y=x2

D.y=2xB重难探究·能力素养速提升探究点一指数函数模型【例1】

一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的

,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的

.(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?规律方法

1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数函数模型.变式训练1为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)该企业从第几年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元?(参考数据:lg0.11≈-0.959,lg1.1≈0.041,lg11≈1.041,lg2≈0.301)解

(1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,第二年投入的资金数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元,第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式为y=100(1+10%)x,其定义域为{x∈N+|x≤10}.即企业从第8年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元.探究点二对数函数模型【例2】

科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=(a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.(1)已知生活中几种声音的强度如下表:声音来源风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路强度I/(瓦/平方米)1×10-111×10-101×10-3强弱等级L/分贝10m90求a和m的值.(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.规律方法

1.基本类型:有关对数函数模型的应用题一般都会给出函数解析式,然后根据实际问题再求解.2.求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.变式训练2大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与

成正比,且当Q=900时,v=1.(1)求出v关于Q的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高1m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?探究点三拟合函数模型的应用题【例3】

为了估计山上积雪融化对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度xcm与当年灌溉面积yhm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示:年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描出灌溉面积yhm2随积雪深度xcm变化的数据点(x,y);(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉的土地面积是多少?解

(1)数据点分布如图1所示.

(2)从图1中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y

hm2和最大积雪深度x

cm满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),解得a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图2,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25

cm时,可以灌溉土地47.4

hm2.规律方法

对于此类实际应用问题,关键是先建立适当的函数关系式,再解决数学问题,然后验证并结合问题的实际意义作出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:(1)能够根据原始数据、表格,描出数据点.(2)通过数据点,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般是不会发生的.因此,使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.变式训练3某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离,他在每个测试点投篮30次,得到投篮命中数量y(单位:个)与测试点投篮距离x(单位:米)的部分数据如下表:x3568y25292820为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系,现有以下三种y=f(x)函数模型供选择:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式;(2)在第(1)问的条件下,若函数f(x)在闭区间[0,m]上的最大值为29,最小值为4,求m的取值范围.解

(1)由表中数据可知,f(x)先单调递增后单调递减,∵f(x)=ax3+b与f(x)=abx都是单调函数,∴不符合题意;∵f(x)=-x2+ax+b先单调递增后单调递减,∴符合题意.∴f(x)=-x2+10x+4.

(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故对称轴为直线x=5,∴f(x)在(-∞,5]上单调递增,在(5,+∞)上单调递减,∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x)=-x2+10x+4=4时,x=0或10,∴m≤10.综上所述,5≤m≤10,故m的取值范围是[5,10].学以致用·随堂检测促达标123451.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,则图象所对应的函数模型是(

)A解析

由题图知,在不同的时间段内,对应的图象不同,故对应函数模型应为分段函数.A.分段函数 B.二次函数C.指数函数 D.对数函数123452.有一组实验数据如表所示:

t1.93.04.05.16.1v1.54.07.512.018.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(

)B12345解析

(方法1)从图表数据可知,随着t的变大,v变大,则函数单调递增,且增加速度越来越快.∵A选项为线性增加的函数,C选项为递减函数,D选项为比线性增加较为缓慢的函数,∴排除选项A,C,D.故选B.(方法2)取t=4,对于A选项,v=2×4-2=6,故选项A错误;对于C选项,v=log0.5t=-2,故选项C错误;对于D选项,v=log3t=log34,故选项D错误;当t=5.1时,v=12.505,当t=6.1时,v=18.105,故以上只有B选项最接近.故选B.

123453.某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a倍,那么该工厂这一年的月平均增长率