2024-2025学年高一数学必修第一册（配湘教版）教学课件 4.2.1 指数爆炸和指数衰减-4.2.2 指数函数的图象与性质

第4章幂函数、指数函数和对数函数4.2.1指数爆炸和指数衰减4.2.2指数函数的图象与性质课标要求1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.2.运用指数爆炸和指数衰减类的函数模型解决简单的实际问题,理解该模型所蕴含的运算规律.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一指数函数的概念1.在幂的表达式au中,让底数为常数而使

为自变量x,则得到一类新的函数y=ax(x∈R),这叫作指数函数,其中

.

2.指数函数的特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)ax的系数是1.名师点睛根据指数函数的定义,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数才叫指数函数,如

都不是指数函数,它们的函数表达式含有指数式,应将它们看作复合函数.指数a>0且a≠1过关自诊指数函数为什么要规定a>0,且a≠1?提示

如果a<0,那么ax对某些x值没有意义,如

无意义;如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.所以规定a>0,且a≠1,此时x可以是任意实数.知识点二指数爆炸和指数衰减1.当底数a>1时,指数函数值随自变量的增长而增大,底数a较大时指数函数值增长速度惊人,被称为指数爆炸.2.当底数a满足0<a<1时,指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0,这叫作指数衰减.3.指数增长(缩小)百分比把自变量x看成时间,在长为T的时间周期[u,u+T]中,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值从au变化到au+T,变化率为(au+T-au)÷au=aT-1,增长(缩小)百分比是一个常量,当a>1时,这个量就被描述为指数式增长,也称指数增长.过关自诊1.下列函数是指数函数的是

.

①④2.若函数y=2x,求其在区间[2,6]上的增长百分比.解

增长百分比为(au+T-au)÷au=aT-1=24-1=15.知识点三指数函数的图象与性质表达式y=ax(0<a<1)y=ax(a>1)图象

定义域(-∞,+∞)值域

性质函数图象过定点(0,1),即a0=1在R上递减可用幂运算基本不等式加以论证在R上递增(0,+∞)过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)指数函数y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函数.(

)(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数.(

)(3)所有的指数函数图象过定点(0,1).(

)(4)函数y=a|x|与函数y=|ax|(a>0,且a≠1)的图象是相同的.(

)2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么?具体变化特征是什么?提示

指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时,图象具有上升趋势,且当x>0时底数a的值越大,函数图象“越陡”,函数值增长得越快;当0<a<1时,图象具有下降趋势,且当x<0时,底数a的值越小,函数减少得越快.×√√×重难探究·能力素养速提升探究点一指数函数的概念【例1】

(1)如果指数函数y=f(x)的图象经过点,那么f(4)f(2)等于

.

64(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.规律方法

指数函数是一个形式定义,其特征如下:变式训练1下列以x为自变量的函数是指数函数的为(

)A.y=(π-1)x B.y=(1-π)xC.y=3x+1 D.y=x2A解析

π-1为正实数,A是指数函数;B式中,1-π<0,B不是指数函数;C式中,指数位置不是x,C不是指数函数;D式中,自变量不在指数上,D不是指数函数.探究点二指数爆炸和指数衰减【例2】

(1)将一张足够大的纸进行对折,如果不考虑折叠过程中的阻力,那么对折100次之后,纸的厚度约为

km(假设一张纸的厚度大约是0.08mm).

解析

2100×0.08≈1.27×1030×0.08(mm)≈1.02×1023(km).(2)一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的76%,则经过12年后,残留量约为原来的

.

解析

0.7612≈0.037,即残留量约为原来的3.7%.1.02×10233.7%规律方法

1.通过例2(1)我们可以体会出指数爆炸的威力,它反映了当a>1时,指数函数的值的增长速度是非常大的,另外“人口增长”“病毒繁殖”都是这一模型.2.例2(2)是一个指数衰减问题,它是0<a<1的指数函数模型,随着自变量x的增大,函数值y无限接近于0,关于“能量衰退”的相关问题都是这一模型.变式训练2(1)某种细胞每小时分裂一次,即第一次由1个分裂成2个,第2次由2个分裂成4个,第3次由4个分裂成8个,如此下去,则24小时后得到

个细胞.(不需算出具体数字)

224(2)清洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过原有污垢的1%,则至少要清洗

次.

4探究点三指数函数的图象及应用1.指数型函数图象过定点问题【例3】

已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是

.

(-1,4)解析

∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象恒过点(-1,4).变式探究若将本例中的函数改为f(x)=5a3x-2+3呢?规律方法

指数型函数图象过定点问题的解法因为函数y=ax的图象恒过定点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,f(x),则点(x,f(x))为所求点.2.指数函数图象的识别【例4】

函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(

)A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0D解析

由于f(x)的图象单调递减,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故选D.规律方法

指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点、特殊点的函数的值的符号等;(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移);(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.变式训练3已知1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx的图象为(

)C解析

由于0<m<n<1,所以y=mx和y=nx都是减函数,故排除A,B;作直线x=1与两个图象相交(图略),交点在下面的是函数y=mx的图象.C符合题意.3.画指数函数的图象【例5】

画出函数y=的图象,这个图象有什么特征?你能根据图象指出它的值域和单调区间吗?∴原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(0,+∞).规律方法

指数函数y=ax与y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.变式训练4画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.解

(1)如图1,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)如图1,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.(3)如图1,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.(4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x≥0上的图象与y=2x的图象一致,可得y=2|x|的图象如图2所示.图1图2探究点四利用指数函数的单调性比较幂值大小【例6】

比较下列各题中两个值的大小:(1)2.53,2.55.7;解

(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(3)2.3-0.28,0.67-3.1;解

(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解

∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.规律方法

比较幂的大小的常用方法

变式训练5利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:(1)0.8-0.1与0.8-0.2;(2)2.5a与2.5a+1.解

因为0.8-0.1与0.8-0.2都是以0.8为底的幂值,所以考察函数y=0.8x,由于这个函数在实数集R上是减函数,又因为-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.解

因为2.5a与