2024-2025学年高一数学必修第一册（配湘教版）教学课件 4.1.1 有理数指数幂-4.1.2 无理数指数幂

第4章幂函数、指数函数和对数函数4.1.1有理数指数幂4.1.2无理数指数幂课标要求1.通过对有理指数幂(a>0,m,n∈N且n≥2)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.2.通过对实数指数幂au(a>0,且u∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.3.掌握指数幂的运算性质.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一根式1.n次方根的定义若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,则称x是

.

2.n次方根的性质a的n次方根03.根式的定义

4.根式的性质

名师点睛1.在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a.2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广.3.n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.|a|过关自诊

提示

不一定,当n为大于1的奇数时,a∈R;当n为大于1的偶数时,a≥0.知识点二分数指数幂当a>0,m,n∈N且n≥2时,规定

(3)0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂.那么,对于任意有理数r,s仍有下列运算法则:ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).名师点睛

2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.3.我们可以类似得出:一般地,给定正数a,对任意有理数α,aα都是一个确定的实数.这就把整数指数幂推广为有理指数幂了.过关自诊

知识点三有理数指数幂的基本不等式名师点睛有理数指数幂的基本不等式为我们提供了比较大小的另一种方法:过关自诊比较大小(填“>”或“<”):(1)2.32.1

1;

(2)0.490.59

1;

(3)2.3-0.21

1;

(4)0.49-1.7

1;

(5)2.3-0.59

2.3-0.51;

(6)0.352.59

0.353.1.

><<><>知识点四实数指数幂在幂的表达式au(a>0)中,a叫作底数,u叫作指数.可以证明,有理数指数幂的前述运算规律,对实数指数幂仍然成立.类似地,我们有更一般的幂运算基本不等式:对任意的正实数u和正实数a,若a>1,则au>1;若a<1,则au<1.对任意的负实数u和正实数a,若a>1,则au<1;若a<1,则au>1.名师点睛实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个常用性质:(1)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);过关自诊化简:(2)1.14-π·1.1π-2.解

1.14-π·1.1π-2=1.14-π+π-2=1.12=1.21.重难探究·能力素养速提升探究点一根式的概念【例1】

(1)27的立方根是

;16的4次方根是

.

(2)已知x6=2021,则x=

.

3±2[-3,+∞)规律方法

根式概念问题应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;(2)n为奇数时,被开方数a的正负决定着n次方根的符号.变式训练1已知a∈R,n∈N+,给出下列4个式子:A.1个

B.2个

C.3个

D.0个

A探究点二根式的化简(求值)【例2】

求下列各式的值:解

原式=a-b+b-a=0.∵-3<x<3,∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.变式探究(1)该例中的(2),若x<-3呢?(2)该例中的(2),若x>3呢?解

由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.(1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0,故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.(2)若x>3,则x-1>0,x+3>0,故原式=(x-1)-(x+3)=-4.探究点三指数幂的简单计算【例3】

计算:规律方法

1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.3.规定了无理数指数幂的意义以后,幂ax中指数x的取值范围就扩展到了全体实数,指数幂的运算性质也就扩展到了全体实数.变式训练2计算:(1)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)(a>0,b>0,c≠0);探究点四幂运算基本不等式的应用【例4】

(1)比较大小(填“>”或“<”):><<><<(2)已知a>1,β<0,∀α∈R,试比较aα+2β-aα+β与aα+β-aα的大小.规律方法

1.熟练记忆并能应用指数幂基本不等式;2.作商法的应用——注意适用条件:a>0,b>0.探究点五条件求值(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2-a-2.得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.规律方法

解决条件求值问题的一般方法——整体法对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.变式训练3解

∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.学以致用·随堂检测促达标123456C1234562.下列各式正确的是(

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