5.1相交线-2022-2023学年七年级数学下册(人教版)（原卷版）

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.1相交线知识点一知识点一邻补角、对顶角的概念及其性质◆1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．◆3、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．◆4、对顶角的性质：对顶角相等．知识点二知识点二垂线的概念、画法及其性质◆1、概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．◆2、画法一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．◆3、性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以．知识点三知识点三垂线段与点到直线的距离◆1、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．◆2、垂线段的性质：连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．◆3、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．知识点四知识点四同位角、内错角、同旁内角◆1、同位角两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．◆2、内错角两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．◆3、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．题型一利用基本图形识别对顶角和邻补角题型一利用基本图形识别对顶角和邻补角【例题1】（2022秋•南岗区校级期中）如图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（）A．∠AOC和∠BOE是对顶角 B．∠COE和∠AOD是对顶角 C．∠BOC和∠AOD是对顶角 D．∠AOE和∠DOE是对顶角解题技巧提炼分析图形特征，根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再判断两个角的两边是否互为反向延长线.【变式11】（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A． B． C． D．【变式12】（2021春•荆门期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（）A．B．C．D．【变式13】（2021秋•兰西县期末）如图，图中邻补角有几对（）A．4对 B．5对 C．6对 D．8对【变式14】（2021春•朝阳县期末）下列说法正确的是（）A.互补的两个角是邻补角；B．相等的角必是对顶角；C．对顶角一定相等；D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.【变式15】（2022春•迁安市期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有

对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有

对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有

对．题型二有关对顶角和邻补角的计算题型二有关对顶角和邻补角的计算【例题2】（2021秋•桃江县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE是直角．（1）直接写出∠DOE的补角；（2）直接写出∠DOE的余角；（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度数．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式21】（2022春•仓山区校级期末）如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的度数是（）A．42° B．48° C．96° D．132°【变式22】（2022春•交城县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，并且∠AOD＝3∠AOC，则∠AOD的度数为．【变式23】（2021秋•凤庆县期末）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠1+∠2＝80°，求∠3的度数．【变式24】（2022•西华县三模）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，则∠DOB的度数为．【变式25】（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度数．【变式26】（2021秋•连城县期末）如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）．（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；（2）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如图2），求∠AEG﹣∠CEG的值．题型三有关垂线的综合应用题型三有关垂线的综合应用【例题3】（2022春•天府新区月考）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠DOC的度数为（）A．20° B．70° C．110° D．90°解题技巧提炼结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算.【变式31】（2021秋•北林区期末）如图，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT＝（）A．48° B．32° C．24° D．66°【变式32】（2022春•潼南区期末）如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB，垂足为E，∠CEA＝60°，则∠DEF的度数为（）A．100° B．120° C．150° D．160°【变式33】（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为．【变式34】（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的度数为（）A．10° B．50° C．10°或130° D．10°或50°【变式35】（2022春•西安月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．【变式36】（2021秋•梁河县期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，射线OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝35°．（1）求∠EOF的度数；（2）试判断射线OE是否平分∠AOF，并说明理由．题型四垂线段最短的实际应用题型四垂线段最短的实际应用【例题4】（2022春•青龙县期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有A、B、C、D四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在（）点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处解题技巧提炼抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解.【变式41】（2021秋•朝阳区期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【变式42】（2022•兴宁区校级开学）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．垂线段最短C．两点之间，线段最短D．两点确定一条直线【变式43】（2022•馆陶县二模）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A.两个现象均可用两点之间线段最短来解释；B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释；C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释；D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释．【变式44】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是；（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是．【变式45】（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；（3）在以上的图中，互余的角为，互补的角为．（各写出一对即可）题型五点到直线的距离题型五点到直线的距离【例题5】（2022春•逊克县期末）如图，线段AB外有一点P过点P作PE⊥AB垂足为E，连接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是线段AB上任意一点，则P到M的最短距离为（）A．8cm B．6cm C．4.5cm D．无法确定解题技巧提炼分析图形特征，结合已知条件利用点到直线的距离的定义:直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离得出答案.【变式51】（2022秋•道里区校级月考）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是点D，则下列说法正确的是（）A．线段AC的长表示点C到AB的距离 B．线段CD的长表示点A到CD的距离 C．线段BC的长表示点B到AC的距离 D．线段BD的长表示点C到DB的距离【变式52】（2022春•渠县校级期中）下列说法中正确的个数有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一直线的两条直线互相平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式53】（2022春•九龙坡区校级期中）点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设点P到直线l的距离是dcm，则（）d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤4【变式54】（2022春•巨野县期中）直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P点到直线l的距离是（）A．等于2cmB．小于2cmC．不大于2cmD．大于2cm且小于3cm【变式55】（2021春•珠海校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．（1）画出点C到AB的最短路径CD；（2）请指出B到AC的距离是线段的长度．【变式56】（2022春•平桥区校级月考）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．（1）点B到AC的距离是cm；点A到BC的距是cm．（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．题型六同位角、内错角、同旁内角的识别题型六同位角、内错角、同旁内角的识别【例题6】（2022春•丛台区校级期末）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（）A．同位角、同旁内角、内错角B．同位角、内错角、同旁内角C．同位角、对顶角、同旁内角D．同位角、内错角、对顶角解题技巧提炼本题运用了定义法，识别同位角、内错角、同旁内角，其关键是看两个角所涉及的直线是否只有三条，并且有没有一条边在同一直线（截线）上，如果没有，就不是；如果有，再根据角的位置特征判断.【变式61】（2022春•八步区期末）如图，下列说法中，错误的是（）A．∠1和∠4是内错角B．∠4和∠5是同旁内角C．∠2和∠4是对顶角D．∠3和∠5是同位角【变式62】（2021春•渠县期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是．（只填序号）【变式63】（2022春•赵县月考）如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是