专题05一元二次方程九种题型归类（原卷版）

专题五一元二次方程九种题型归类目录一、热点题型归纳【题型一】一元二次方程及其解法【题型二】配方法的应用【题型三】根的判别式【题型四】根与系数的关系【题型五】握手问题【题型六】增长率问题【题型七】面积问题【题型八】销售问题【题型九】动点问题二、最新模考题组练【题型一】一元二次方程及其解法【典例分析】1.关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A．0 B．±3 C．3 D．﹣32.已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．40443.解方程：（1）（2x+3）2＝（3x+2）2． （2）x2﹣2x﹣3＝0．【提分秘籍】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为(a≠0)．解法：（1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．【变式演练】1.解方程：（1）x（x﹣7）＝8（7﹣x）． （2）x2+4x﹣1＝0．（3）x2﹣5x+6＝02若关于x的一元二次方程x2ax+6=0的一个根是2，则a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53.若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根，则m+n的值是（）A．1 B．2 C．1 D．2【题型二】配方法的应用【典例分析】1.若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8【提分秘籍】将一般形式的的一元二次代数式（方程），化成a(xh)2+k的形式，当a>0时，代数式有最小值，当a<0时，代数式有最大值。【变式演练】1.已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b﹣c的值为（）A．1 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣72.如图，在△ABC中，AB＝BC＝x，AC＝y，且满足x2+y2﹣20x﹣24y+244＝0，求△ABC的面积．【题型三】根的判别式【典例分析】1.关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣【提分秘籍】一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为．△>0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根．注：△≥0方程有实数根.上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．【变式演练】1.已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或32.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．【题型四】根与系数的关系【典例分析】1.已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【提分秘籍】如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．【变式演练】1.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2＝5，求k的值．2.已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．（1）化简T；（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．【题型五】握手问题【典例分析】1.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（）A．8 B．10 C．12 D．142.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8 B．10 C．7 D．9【提分秘籍】单循环问题：12n（n1）双循环问题：n（n1）（如互赠礼物问题）【变式演练】1.“五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是（）A．7 B．8 C．9 D．102.有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染人的个数为（）A．10 B．11 C．60 D．123.新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（）A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64 C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝644.新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14 B．15 C．16 D．175.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【题型六】增长率问题【典例分析】1．某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨，预计2023年蔬菜产量将达到121吨.若蔬菜产量的年平均增长率相同，则年平均增长率为（）A．210% B．10% C．5% D．10%2．随着“二胎政策”出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．2x=8.5C．2(1+x)2【提分秘籍】增长问题：原量（x+1）²=增长后的量下降问题：原量（x1）²=下降后的量【变式演练】1.某公司今年4月份的营业额为2500万元，按计划5、6月份总营业额要达到6600万元，设该公司5、6两个月的营业额的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2500(1+x)2=6600 C．2500(1+x)2.某商场将进货价火为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变.（1）求2，3两个月的销售量月平均增长率；（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？【题型七】面积问题【典例分析】1.如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要504m2，则修建的路宽应为（）A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m2.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余面积为30m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为（）A．6m B．7m C．8m D．9m【提分秘籍】归边法：将“路”归再一起，形成整体（规则图形）面积，利用含x的代数式表示长与宽，再表示出面积即可。【变式演练】1.为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为米（用含x的代数式表示）；（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．2.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？3.如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．（1）当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？（2）所得长方体盒子的侧面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．4.2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．（1）BC＝米（用含x的代数式表示）；（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．【题型八】销售问题【典例分析】1.某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．（1）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？（2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？2.某经销商以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价10元．那么每月就可以多售出50个．（1）求销售量y（个）与售价x（元）的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机的售价应降为多少元？（3）如果采用降价的方式销售，该销售商每月的利润能否达到10600元．如果能，请求出相应的售价；如果不能，请说明理由．【提分秘籍】其中的几个关系式：利润＝售价成本价(进价)，利润率＝×100%．【变式演练】1.近年来，故宫不断推陈出新，将文化底蕴和流行时尚元素融合，设计出了众多的爆款文创产品，600岁的故宫成为新晋网红，小赵看到了商机，打算采购一批故宫文创商品进行销售，他以每条45元的价格购进150条编织红绳手链，再以每条65元卖出，结果编织红绳手链很受欢迎，销售一空，于是小赵准备购进第二批编织红绳手链．（1）若第二次购进的编织红绳手链成本是每条40元，售价不变且全部卖完，要使两次销售的手链总利润不低于14250元，那么第二次至少得购进多少条编织红绳手链？（2）在第二次销售中，小赵按照（1）中的最低数量购进编织红绳手链，由于市场受限，编织红绳手链购进成本比预计的40元多，为保证利润，小赵将售价提高m%，在销售过程中，因质量问题，有的编织红绳手链下架不售卖，结果第二次销售的获利比第一次销售的获利多了8250元，求m的值．2.（2023•泸县校级一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y与之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？3.2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【题型八】动点问题【典例分析】1.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．点P从点B开始沿边BA向点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形APQC的面积为11cm2时，点P的运动时间为（）A．1s B．1s或2.5s C．2s D．2s或5s【提分秘籍】用未知数表示各个边长，再应用相关公式，正确列出一元二次方程。【变式演练】1.△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代数式表示）；（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．2.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点P运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从点B出发，B→A→C向终点B运动，同时动点Q以1ms的速度从点C出发，沿C→B向终点B移动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，设运动时间为t．（1）当点P在AB上运动时，当t为何值时，S△PCQ＝4；（2）当PC＝CQ时，求t的值；（3）当点P运动到AC的中点时，求△PCQ的面积．4.如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．一．选择题1．（2023•中原区校级一模）关于一元二次方程x2+3x＝4根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定2．（2023•伊川县一模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根3．（2023•河北区一模）方程x2+7x+12＝0的两个根为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣4 B．x1＝﹣3，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣4 D．x1＝3，x2＝44．（2023•衡水模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+b+2＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限​5．（2023•白碱滩区一模）已知一元二次方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有解，则k的取值范围是（）A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≥46．（2023•越秀区校级一模）关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，则的值是（）A．4 B．±2 C．2 D．7．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则的值是（）A．2 B．﹣4 C．﹣6 D．2或﹣68．（2023•沛县校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．79．（2023•虎林市校级一模）某种植物的主干长出若干为数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出小分支的个数是（）A．6 B．4 C．3 D．510．（2023•平房区一模）华海中学初三学年举行篮球比赛，要求参赛的每两个队之间都要比赛一场，若每天安排3场比赛，共需要5天，设初三学年有n个球队，根据题意所列方程正确的是（）A．n（n+1）＝3×5 B．n（n﹣1）＝3×5 C． D．11．（2023•荔湾区一模）已知方程x2﹣2023x+1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为（）A．1 B．2023 C．﹣1 D．﹣2023二．填空题12．（2023•商河县一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则a的值等于．13．（2023•高新区校级模拟）某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，经市场预测，定价为50元时，可销售200个，定价每增