重点05函数的应用

重点05函数的应用近几年四川中考看，几乎年年会出现函数的应用的题目，经常以解答题的形式出现，难度中等，属于各市中考考查的重点，考查主要内容是一次函数、二次函数应用，方程与不等式（组）的综合应用。圆的基本性质，扇形的面积公式；圆周角定理，理解圆周角与圆心角的区别于练习；切线的两种证明方法（练圆心，证垂直；作垂直，证半径）；圆与相似综合，相似基本模型与辅助线的方法【中考真题】1．（2022·四川巴中·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．【答案】(1)每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元(2)1800元【详解】（1）设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，由题意得：解得：每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元．（2）．当时，w最大值为1800元．∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．2．（2022·四川广安·统考中考真题）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．(1)求A、B两厂各运送多少吨水泥?(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由【答案】(1)A厂运送了250吨，B厂运送270吨；(2)；A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨；【详解】（1）解：根据题意，设A厂运送x吨，B厂运送y吨，则，解得，∴A厂运送了250吨，B厂运送270吨；（2）解：根据题意，则，整理得：；∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，∴，∴；当时，总运费最低；此时的方案是：A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨3．（2022·四川内江·统考中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？(3)学校租车总费用最少是多少元？【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆(3)学校租车总费用最少是2800元．【详解】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；（2）师生总数为247+8＝255（人），∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，根据题意得：，解得3≤m≤5.5，∵m为整数，∴m可取3、4、5，∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），答：学校租车总费用最少是2800元．4．（2022·四川雅安·统考中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）(2)若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．【答案】(1)A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．(2)利润w（元）与m（件）的函数关系式为：【解析】（1）解：设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则解得：，答：A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．（2）解：由题意可得：即总利润w（元）与m（件）的函数关系式为：5．（2022·四川凉山·统考中考真题）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价．(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．【答案】(1)型羽毛球拍的单价为40元，型羽毛球拍的单价为32元(2)最省钱的购买方案是采购20副型羽毛球拍，10副型羽毛球拍；最少费用为1120元，理由见解析【详解】（1）解：设型羽毛球拍的单价为元，型羽毛球拍的单价为元，由题意得：，解得，答：型羽毛球拍的单价为40元，型羽毛球拍的单价为32元．（2）解：设该班采购型羽毛球拍副，购买的费用为元，则采购型羽毛球拍副，由（1）的结论得：，型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，，解得，在内，随的增大而增大，则当时，取得最小值，最小值为，此时，答：最省钱的购买方案是采购20副型羽毛球拍，10副型羽毛球拍；最少费用为1120元．6．（2022·四川德阳·统考中考真题）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍．(1)求、两种树苗的单价分别是多少元？(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？【答案】(1)种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元(2)有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．【详解】（1）解：设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得：，解得：，∴1.25x=5，答：种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元；（2）解：设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100a）棵，其中a为正整数，根据题意得：，解得：，∵a为正整数，∴a取20，21，22，23，24，25，∴有6种购买方案，设总费用为w元，∴，∵1＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a=25时，w最小，最小值为475，此时100a=75，答：有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．【模拟题】1．（2022年四川省绵阳市高中阶段招生暨初中毕业水平考试数学诊断卷（七））某景点投入40辆同型号电动代步车，准备成立代步车租赁公司，市运管所规定每辆代步车的日租金按10元的整数倍收取，但不得超过250元．经市场调研发现：当每辆代步车的日租金不超过150元时，40辆代步车可以全部租赁出去；当每辆代步车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的代步车数量将减少2辆．已知租赁出去的代步车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的代步车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出其他各项费用共1800元．(1)若40辆代步车能全部租出，当每天总租金不低于总支出时，每辆代步车的日租金至少是多少元？(2)求该代步车租赁公司一天的总利润最多是多少元？【答案】(1)至少是90元(2)该代步车租赁公司一天的总利润最多是3580元【详解】（1）设每辆代步车的日租金为x元，由题意可得，解得．答：每辆代步车的日租金至少为90元．（2）设每辆代步车的日租金为m元，该公司一天的总利润为W元．①当时，，∵W随m的增大而增大，∴当时，W有最大值，（元）；②当时，每天可租出的代步车为辆，，整理可得，∴当时，W有最大值，（元），又∵，∴该代步车租赁公司一天的总利润最多是3580元．2．（贵州省黔东南苗族侗族自治州凯里市第六中学20222023学年九年级上学期期中数学试题）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是个；(2)求w与x之间的函数关系式；(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)(2)(3)该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元【详解】（1）解：在中，令得，，故答案为：；（2）解：根据题意得，，即w与x之间的函数关系式为：；（3）解：，∵，∴当时，w取最大值，最大值为，即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．3．（2022年四川省眉山市中考数学模拟试题）某商场销售的一种进价为元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量（台）与销售单价（元）满足，设销售这种台灯每天的利润为（元）(1)求与之间的函数关系式(2)在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？【答案】(1)(2)元【详解】（1）解：根据题意得，，故与之间的函数关系式．（2）解：当时，，解方程得，，，当时，，每天的销售量为台，符合题意；当时，，每天的销售量为台，与保证销售量尽可能大不符合．故应将销售单价定为元．4．（四川省成都市成都市第七中学20222023学年九年级上学期第三次质量检测数学试题）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元）．(1)求与之间的函数关系式；(2)求与之间的函数关系式；(3)该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？【答案】(1)(2)(3)30元【详解】（1）设与之间的函数关系式为，由所给函数图象可知∶，解得，故与的函数关系式为；（2），即与之间的函数关系式为；（3），（舍），，每件商品的售价应定为30元．5．（2022年四川省乐山市峨眉山市第九年级二次调研检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；(2)若点，在抛物线上，试比较、的大小；(3)，是抛物线上的两点，且均满足，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)5【详解】（1）由题可得：二次函数的对称轴为．（2）∵点，在抛物线上∴抛物线的开口向上，对称轴为，又∵，，，∴点离抛物线的对称轴距离较大，∴；（3）∵抛物线的开口向上，对称轴为，∴点在抛物线对称轴的右侧，∵，①当点在对称轴的右侧，且在点的左侧时满足条件，∴且，解得；②当点在对称轴的左侧，且离对称轴距离小于点时满足条件，∴，，解得；综上所述：当时，满足题意；∴的最大值为．6．（湖北省天门市六校联考20222023学年九年级上学期期中考试数学试卷）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于元，且每天的总成本不超过元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）【答案】(1)(2)销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元(3)销售单价应该控制在元至元之间【详解】（1）解：根据题意，得，故每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）解：，∵，∴抛物线开口向下．，对称轴是直线，∴当时，，答：销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元；（3）解：当时，，解得，．∴当时，每天的销售利润不低于元．由每天的总成本不超过元，得，解得．∴，∵，∴，∴销售单价应该控制在元至元之间．7．（江苏省宿迁市钟吾初级中学20212022学年八年级上学期期末数学试题）如图1，甲、乙两车分别从相距的两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达地后因有事按原路原速返回地．乙车从地直达地，两车同时到达地．甲、乙两车距各自出发地的路程（千米）与甲车出发所用的时间（小时）的关系如图2，结合图像信息解答下列问题：(1)乙车的速度是千米/时，乙车行驶的时间t=小时；(2)求甲车从地按原路原速返回地的过程中，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式；(3)求甲车出发多长时间两车相距千米．【答案】(1)，(2)(3)甲车出发小时或小时或两车相距千米【详解】（1）∵乙车比甲车先出发小时，由图象可知乙行驶了千米，∴乙车速度为：千米/时，乙车行驶全程的时间（小时）；故答案为：，；（2）根据题意可知甲从出发到返回地需小时，∵甲车到达地后因立即按原路原速返回地，∴结合函数图象可知，当时，；当时，；设甲车从C地按原路原速返回A地时，即，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间的函数关系式为：，将函数关系式得：，解得：，故甲车从地按原路原速返回地时，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式为：；（3）由题意可知甲车的速度为：（千米/时），设甲车出发小时两车相距千米，有以下两种情况：①两车相向行驶时，有：，解得：；②两车同向行驶时，有：，解得：；③两车相遇之后，甲返回前，有，解得：；∴甲车出发小时或小时或两车相距千米．8．（2021年四川省成都市金牛区五校中考数学联合监测试卷（5月份））习近平主席在第七十五届联合国大会一般性辩论上的讲话中指出，中国宣布将提高“国家自主贡献”力度，力争2030年前二氧化碳排放达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．为了响应习近平主席的号召，某新能源汽车制造商一次性投资9000万研发一款新型新能源汽车，如果按每辆20万元定价能卖出4000辆，如果每辆车定价每提高1万元少卖出200辆．设销售数为y（辆），销售价格为x（万元）．(1)求销售数y（辆）与销售价格x（万元）之间的关系式；(2)如果每生产一辆汽车，需要再投入18万元，当销售价格定为多少时，才能使得利润最大，最大利润为多少？【答案】(1)y=200x+8000(2)销售价格定为29万元时，才能使得利润最大，最大利润为15200万元【解析】（1）解：由题意得：y=4000200（x20）=200x+8000（x≥20），∴销售数y与销售价格x之间的关系式为y=200x+8000；（2）解：设利润为w万元，由题意得：w=yx900018y=（x18）y9000=（x18）（200x+8000）9000=200x2+11600x153000=200（x29）2+15200，∵200＜0，∴当x=29时，w最大，最大值为15200万元，∴销售价格定为29万元时，才能使得利润最大，最大利润为15200万元．9．（2022年四川省广安市邻水县九年级中考模拟考试数学试题）新冠肺炎疫情是百年来全球最严重的传染病，面对严重威胁人民生命健康的传染病，中国共产党不惜一切代价保护人民生命安全．某市政府为了进行疫情防控，改善市内河流水质，审批市环保部门再购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表，经调查：购买3台A型设备和2台B型设备共用56万元，购买4台A型设备比购买5台B型设备少2万元．A型B型价格（万元/台）ab处理污水量（吨/月）240200(1)求a，b的值；(2)若政府规定购买污水处理设备的资金不超过106万元，每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为环保部门设计一种最省